1、 二次函数知识点总结和题型总结 一、二次函数概念： 1二次函数的概念：一般地，形如（是常数，）的函 数，叫做二次函数。 这里需要强调：这里需要强调：a a 0 0 最高次数为最高次数为 2 2 代数式一定是整式代数式一定是整式 2. 二次函数的结构特征： 等号左边是函数，右边是关于自变量 的二次式， 的最高次数是 2 是常数， 是二次项系数， 是一次项系数， 是常数项 例题： 例 1、已知函数 y=(m1)xm2 +1+5x3 是二次函数，求 m 的值。 练习、若函数 y=(m2+2m7)x2+4x+5 是关于 x 的二次函数，则 m 的取值范围 为 。 二、二次函数的基本形式 1. 二次函数
2、基本形式：的性质： a 的绝对值越大，抛物线的开口越小。 2 yaxbxcabc， ， 0a 2 yaxbxc xx abc， ， abc 2 yax 2. 的性质： 上加下减。 3. 的性质： 左加右减。 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 向上 轴 时，随 的增大而增大；时， 随的增大而减小；时，有最 小值 向下 轴 时，随 的增大而减小；时， 随 的增大而增大；时，有最 大值 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 向上 轴 时，随 的增大而增大；时， 随 的增大而减小；时，有最 小值 向下 轴 时，随 的增大而减小；时， 随 的增大而增大；时，有最 大值 的符号 开
3、口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 向上 X=h 时，随 的增大而增大；时， 2 yaxc 2 ya xh a 0a 00，y 0 x yx0 x yx0 x y 0 0a 00，y 0 x yx0 x yx0 x y 0 a 0a 0c，y 0 x yx0 x yx0 x y c 0a 0c，y 0 x yx0 x yx0 x y c a 0a 0h，xhyxxh 4. 的性质： 二次函数的对称轴、顶点、最值二次函数的对称轴、顶点、最值 （技法：如果解析式为顶点式 y=a(xh)2+k，则最值为 k；如果解析式为一般式 y=ax2+bx+c 则最值为4ac - b 2 4a ） 1抛物线
4、y=2x2+4x+m2m 经过坐标原点，则 m 的值为 。 2抛物 y=x2+bx+c 线的顶点坐标为（1，3） ，则 b ，c . 3抛物线 yx23x 的顶点在( ) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 4 若抛物线 yax26x 经过点(2， 0)， 则抛物线顶点到坐标原点的距离为( ) A. B. C. D. 随 的增大而减小；时，有最 小值 向下 X=h 时，随 的增大而减小；时， 随 的增大而增大；时，有最 大值 的符号 开口方 向 顶点坐 标 对称 轴 性质 向上 X=h 时，随 的增大而增大 ；时， 随 的增大而减小；时，有最 小值 向下 X=h 时，随 的
5、增大而减小 ；时， 随 的增大而增大；时，有最 大值 2 ya xhk 13101514 yxxhy 0 0a 0h， xhyxxh yxxhy 0 a 0a hk， xhyxxh yxxhy k 0a hk， xhyxxh yxxhy k 5若直线 yaxb 不经过二、四象限，则抛物线 yax2bxc( ) A.开口向上，对称轴是 y 轴 B.开口向下，对称轴是 y 轴 C.开口向下，对称轴平行于 y 轴 D.开口向上，对称轴平行于 y 轴 6已知二次函数 y=mx2+(m1)x+m1 有最小值为 0，则 m 。 三、二次函数图象的平移 1. 平移步骤： 方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式
6、，确定其顶点坐标 ； 保持抛物线的形状不变，将其顶点平移到处，具体平移方法 如下： 2. 平移规律 在原有函数的基础上“ 值正右移，负左移； 值正上移，负下移” 概括成八个字“左加右减，上加下减” 方法二： 沿轴平移:向上（下）平移个单位，变成 2 ya xhk hk， 2 yaxhk， hk cbxaxy 2 ymcbxaxy 2 （或） 沿轴平移：向左（右）平移个单位，变成 （或） 函数函数 y=ax2+bx+c 的图象和性质例题：的图象和性质例题： 1抛物线 y=x2+4x+9 的对称轴是 。 2 抛物线 y=2x212x+25 的开口方向是 ， 顶点坐标是 。 3通过配方，写出下列函数
7、的开口方向、对称轴和顶点坐标： （1）y=1 2x 22x+1 ； （2）y=3x2+8x2； （3）y=1 4x 2+x4 4、把抛物线 y=x2+bx+c 的图象向右平移 3 个单位，在向下平移 2 个单位，所得 图象的解析式是 y=x23x+5，试求 b、c 的值。 5、 把抛物线 y=2x2+4x+1 沿坐标轴先向左平移 2 个单位， 再向上平移 3 个单位， 问所得的抛物线有没有最大值，若有，求出该最大值；若没有，说明理由。 四、二次函数与的比较 从解析式上看，与是两种不同的表达形式，后者 通过配方可以得到前者，即，其中 mcbxaxy 2 mcbxaxy 2 cbxaxy 2 mc
8、bxaxy 2 cmxbmxay)()( 2 cmxbmxay)()( 2 2 ya xhk 2 yaxbxc 2 ya xhk 2 yaxbxc 2 2 4 24 bacb ya x aa 2 4 24 bacb hk aa ， 五、二次函数图象的画法 五点绘图法 ： 利用配方法将二次函数化为顶点式， 确定其开口方向、对称轴及顶点坐标，然后在对称轴两侧，左右对称地描点 画图.一般我们选取的五点为：顶点、与轴的交点、以及关于 对称轴对称的点、与 轴的交点，（若与 轴没有交点， 则取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向，对称轴，顶点，与 轴的交点，与 轴的交点. 六、二次
9、函数的性质 1. 当时，抛物线开口向上，对称轴为，顶点坐标为 当时，随 的增大而减小；当时，随 的增大而增大；当 时，有最小值 2. 当时，抛物线开口向下，对称轴为，顶点坐标为 当时，随 的增大而增大；当时，随 的增 大而减小；当时，有最大值 例题：例题：函数函数 y=a(xy=a(xh)h)2 2的图象与性质的图象与性质 1填表： 抛物线 开口方向 对称轴 顶点坐标 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 ()ya xhk y0c，0c， 2hc，x 1 0 x ， 2 0 x ，x xy 2 yaxbxc 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa ， 2 b x a yx 2 b
10、 x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 0a 2 b x a 2 4 24 bacb aa ， 2 b x a yx 2 b x a yx 2 b x a y 2 4 4 acb a 223xy 23 2 1 xy 2试说明函数 y=1 2(x3) 2 的图象特点及性质（开口、对称轴、顶点坐标、增 减性、最值） 。 3二次函数 y=a(xh)2的图象如图：已知 a = 1 2，OAOC，试求该抛物线的解 析式。 二次函数的增减性二次函数的增减性 1.二次函数 y=3x26x+5，当 x1 时，y 随 x 的增大而 ； 当 x 2 时,y 随 x 的增大而增大；当 x 2 时
11、，y 随 x 的增大而减少；则 x1 时,y 的值为 。 3.3.已知二次函数 y=x2(m+1)x+1，当 x1 时，y 随 x 的增大而增大，则 m 的取 值范围是 . 4.已知二次函数 y=1 2x 2+3x+5 2的图象上有三点 A(x1,y1),B(x2,y2),C(x3,y3)且 3x1x20,b0,c0 B.a0,b0,c=0 C.a0,b0,b0,c 0 Bb -2a Ca-b+c 0 Dc0； a+b+c 0 a-b+c 0 b2-4ac0 abc 0 ；其中正确的为 （ ） A B C D 4.当 bbc，且 abc0，则它的图象可能 是图所示的( ) 1 x A y O
12、1 x B y O1x C y O 1x D y O 6二次函数 yax2bxc 的图象如图 5 所示，那么 abc，b24ac， 2ab， abc 四个代数式中，值为正数的有( ) A.4 个 B.3 个 C.2 个 D.1 个 7.在同一坐标系中，函数 y= ax2+c 与 y= c x(a 0 时， y 随 x 的增大而增大， 则二次函数 ykx 2+2kx 的图象大致为图中的（ ） A B C D 二次函数解析式的确定： 根据已知条件确定二次函数解析式，通常利用待定系数法用待定系数法求 二次函数的解析式必须根据题目的特点，选择适当的形式，才能使解题简便一 般来说，有如下几种情况： 1.
13、 已知抛物线上三点的坐标，一般选用一般式； 2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值，一般选用顶点式； 3. 已知抛物线与 轴的两个交点的横坐标，一般选用两根式； 4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点，常选用顶点式 例题：函数解析式的求法例题：函数解析式的求法 一、已知抛物线上任意三点时，一、已知抛物线上任意三点时，通常设解析式为一般式通常设解析式为一般式 y=axy=ax2 2+bx+c+bx+c，然后解三，然后解三 元方程组求解；元方程组求解； 1已知二次函数的图象经过 A（0，3） 、B（1，3） 、C（1，1）三点，求该二 次函数的解析式。 2已知抛物线过 A（1，0）和 B（4，0）
14、两点，交 y 轴于 C 点且 BC5，求该二 次函数的解析式。 二、已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点已知抛物线的顶点坐标，或抛物线上纵坐标相同的两点和抛物线上另一点 x 时，时，通常设解析式为顶点式通常设解析式为顶点式 y=a(xy=a(xh)h)2 2+k+k 求解求解。 3已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，6） ，且经过点（2，8） ，求该二 次函数的解析式。 4已知二次函数的图象的顶点坐标为（1，3） ，且经过点 P（2，0）点，求二 次函数的解析式。 三、 已知抛物线与轴的交点的坐标时已知抛物线与轴的交点的坐标时， 通常设解析式为交点式通常设解析式为交
15、点式y=a(xy=a(xx x1 1)(x)(xx x2 2) )。 5二次函数的图象经过 A（1，0） ，B（3，0） ，函数有最小值8，求该二次 函数的解析式。 九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种情况，可以用一般式或顶点式表达 1. 关于 轴对称 关于 轴对称后，得到的解析式是； x 2 yaxbxcx 2 yaxbxc 关于 轴对称后，得到的解析式是； 2. 关于轴对称 关于轴对称后，得到的解析式是； 关于轴对称后，得到的解析式是； 3. 关于原点对称 关于原点对称后，得到的解析式是； 关于原点对称后，得到的解析式是； 4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转 180）
16、 关于顶点对称后，得到的解析式是； 关于顶点对称后，得到的解析式是 5. 关于点对称 关 于 点对 称 后 ， 得 到 的 解 析 式 是 根据对称的性质，显然无论作何种对称变换，抛物线的形状一定不会发生变 化，因此永远不变求抛物线的对称抛物线的表达式时，可以依据题意或方便 运算的原则，选择合适的形式，习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物 线）的顶点坐标及开口方向，再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向，然后 再写出其对称抛物线的表达式 十、二次函数与一元二次方程： 1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与 轴交点情况）： 一元二次方程是二次函数当函数值时的特殊 情况. 2 ya
17、xhkx 2 ya xhk y 2 yaxbxcy 2 yaxbxc 2 ya xhky 2 ya xhk 2 yaxbxc 2 yaxbxc 2 ya xhk 2 ya xhk 2 yaxbxc 2 2 2 b yaxbxc a 2 ya xhk 2 ya xhk mn， 2 ya xhkmn， 2 22ya xhmnk a x 2 0axbxc 2 yaxbxc0y 图象与 轴的交点个数： 当时， 图象与 轴交于两点， 其中的 是一元二次方程的两根这两点间的距离 . 当时，图象与 轴只有一个交点； 当时，图象与 轴没有交点. 当时，图象落在 轴的上方，无论 为任何实数，都有； 当 时，图象
18、落在 轴的下方，无论 为任何实数，都有 2. 抛物线的图象与轴一定相交，交点坐标为，； 3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶 点式； 根据图象的位置判断二次函数中 ， ， 的符号，或由二次 函数中 ， ， 的符号判断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称，可利用这一性质，求和已知一点对称的 点坐标，或已知与 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式本身就是 所含字母 的二次函数；下面以时为例，揭示二次函数、二
19、次三项式和一 元二次方程之间的内在联系： 抛 物 线 与轴 有两个交点 二次三项式的值可 正、可零、可负 一元二次方程有两个不相等实 根 抛 物 线 与轴 只有一个交点 二次三项式的值为 非负 一元二次方程有两个相等的实 数根 抛 物 线 与轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根. x 2 40bac x 12 00A xB x， ， 12 ()xx 12 xx， 2 00axbxca 2 21 4bac ABxx a 0 x 0 x 10a xx0y 20a xx0y 2 yaxbxcy(0)c x 2 yaxbxcabc abc x 2 (0)axbxc a x0a 0 x 0 x 0 x
20、 例题：例题：二次函数与二次函数与 x x 轴、轴、y y 轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系）轴的交点（二次函数与一元二次方程的关系） 1. 如果二次函数 yx24xc 图象与 x 轴没有交点，其中 c 为整数，则 c （写一个即可） 2.2. 二次函数 yx2-2x-3 图象与 x 轴交点之间的距离为 3. 抛物线 y3x22x1 的图象与 x 轴交点的个数是( ) A.没有交点 B.只有一个交点 C.有两个交点 D.有三个交点 4. 如图所示，二次函数 yx24x3 的图象交 x 轴于 A、B 两点， 交 y 轴于 点 C， 则ABC 的面积为( ) A.6 B.4 C.3 D.1
21、5. 已知抛物线 y5x2(m1)xm 与 x 轴的两个交点在 y 轴同侧， 它们的距离 平方等于为 49 25，则 m 的值为( ) A.2 B.12 C.24 D.48 6. 已知抛物线 yx2-2x-8， （1）求证：该抛物线与 x 轴一定有两个交点； （2）若该抛物线与 x 轴的两个交点为 A、B，且它的顶点为 P，求ABP 的 面积。 无交点 为正 十一、函数的应用 二次函数应用 二次函数图像与性质口诀:二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶二次函数抛物线，图象对称是关键；开口、顶 点和交点点和交点, ,它们确定图象现；开口、它们确定图象现；开口、大小由大小由 a a 断断, ,c
22、 c 与与 Y Y 轴来相见轴来相见, ,b b 的符号较特的符号较特 别，别，符号与符号与 a a 相关联相关联；顶点位置先找见，顶点位置先找见，Y Y 轴作为参考线，轴作为参考线，左同右异中为左同右异中为 0 0，牢，牢 记心中莫混乱；顶点坐标最重要记心中莫混乱；顶点坐标最重要, ,一般式配方它就现，横标即为对称轴一般式配方它就现，横标即为对称轴, ,纵标函纵标函 数最值见。若求对称轴位置数最值见。若求对称轴位置, ,符号反符号反, ,一般、顶点、交点式，不同表达能互换。一般、顶点、交点式，不同表达能互换。 二次函数抛物线二次函数抛物线， 选定需要三个点选定需要三个点， a a 的正负开口
23、判的正负开口判， c c 的大小的大小 y y 轴看轴看， 的符号的符号 最简便，最简便，x x 轴上数交点，轴上数交点，a a、b b 同号轴左边抛物线平移同号轴左边抛物线平移 a a 不变，顶点牵着图象转，不变，顶点牵着图象转， 三种形式可变换，配方法作用最关键。三种形式可变换，配方法作用最关键。 例题：二次函数应用例题：二次函数应用 (一）经济策略性 1.某商店购进一批单价为 16 元的日用品，销售一段时间后，为了获得更多的利 润，商店决定提高销售价格。经检验发现，若按每件 20 元的价格销售时，每月 能卖 360 件若按每件 25 元的价格销售时，每月能卖 210 件。假定每月销售件数
24、 y(件）是价格 X 的一次函数. (1)试求 y 与 x 的之间的关系式. (2)在商品不积压，且不考虑其他因素的条件下，问销售价格定为多少时，才 能使每月获得最大利润， 每月的最大利润是多少？（总利润=总收入总成本） 2.有一种螃蟹，从海上捕获后不放养最多只能活两天，如果放养在塘内，可以延 长存活时间， 但每天也有一定数量的蟹死去， 假设放养期内蟹的个体重量基本保 持不变，现有一经销商，按市场价收购了这种活蟹 1000 千克放养在塘内，此时 市场价为每千克 30 元，据测算，以后每千克活蟹的市场价每天可上升 1 元，但 是放养一天需各种费用支出 400 元，且平均每天还有 10 千克蟹死去
25、，假定死蟹 刹车距离 何时获得最大利润 最大面积是多少 均于当天全部售出，售价都是每千克 20 元。 （1）设 X 天后每千克活蟹的市场价为 P 元，写出 P 关于 X 的函数关系式。 （2）如果放养 X 天后将活蟹一次性出售，并记 1000 千克蟹的销售额为 Q 元，写 出 Q 关于 X 的函数关系式。 （2）该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润（利润=销售总额收 购成本费用） ，最大利润是多少？ 3.某商场批单价为 25 元的旅游鞋。 为确定 一个最佳的销售价格， 在试销期采用 多种价格进性销售，经试验发现 ： 按每双 30 元的价格销售时，每天能卖出 60 双 ； 按每双 32 元的价格销售时，每天能卖出 52 双，假定每天售出鞋的数量 Y（双） 是销售单位 X 的一次函数。 (1)求 Y 与 X 之间的函数关系式； (2)在鞋不积压，且不考虑其它因素的情况下，求出每天的销售利润 W（元） 与销售单价 X 之间的函数关系式； (3)销售价格定为多少元时，每天获得的销售利润最多？是多少？
