1、7.2.37.2.3 同角三角函数的基本关系式同角三角函数的基本关系式 课标阐释 1.理解同角三角函数的基本关系式: 2.会利用同角三角函数的基本关系式解决相关问题. sin2+cos2=1, =tan 及其公式的证明. 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 美国气象学家爱德华 罗伦兹1963年提出一个观 点:“一只南美洲亚马孙河流域热带雨林中的蝴蝶, 偶尔扇动几下翅膀,可以在两周以后引起美国得克 萨斯州的一场龙卷风.”这就是闻名于世的“蝴蝶效 应”.此效应的本义是事物初始条件的微弱变化可 能会引起结果的巨大变化. 从这个比喻我们还可以看出,南美洲亚马孙热带雨林中的一只蝴蝶 与美国得克萨斯州的一场龙卷
2、风看起来是毫不相干的两种事物,却 有这样的联系,这也验证了哲学理论中事物之间是普遍联系的这一 观点. 看似不相关的事物间都是相互联系的,那么“同一个角”的三角函数 间会存在什么样的关系呢?本节课我们就来探索这个问题. 激趣诱思 知识点拨 知识点:同角三角函数的基本关系 如果 P(x,y)是 终边上不同于坐标原点的点,记 r= x2+ y2,则 sin =y r,cos = x r,tan = y x. 由此可看出 sin2+cos2=1,tan = . 激趣诱思 知识点拨 名师点析 (1)基本关系成立的前提是“同角”,它揭示了同角而不同 名的三角函数关系,公式中的角可以是具体的数值,也可以是变
3、量, 可以是单项式表示的角,也可以是多项式表示的角. (3)sin2是(sin )2的简写,读作“sin 的平方”,不能将sin2写成sin 2, 前者是的正弦的平方,后者是2的正弦,两者是不同的. (2)这里的“同角”应作广义上的理解,如 2 与 2、2 与 2 是同角,2+ 3 与 2+ 3是同角,即“同角”的概念与角的表达形式无关,如 sin23+cos23=1, 2 2 =tan 2(2k+,kZ)恒成立. 激趣诱思 知识点拨 微拓展 同角三角函数基本关系式的变形 1.sin2+cos2=1的变形 (1)sin2=1-cos2;(2)cos2=1-sin2;(3)1=sin2+cos2
4、;(4)(sin +cos )2=1+2sin cos ;(5)(sin -cos )2=1-2sin cos . 2.商数关系 tan =sin cos k+ 2,kZ 的变形 (1)sin =tan cos ;(2)cos =sin tan. 激趣诱思 知识点拨 微练习 (1)sin22 021+cos22 021=( ) A.0 B.1 C.2 021 D.2 021 (2)若sin +cos =0,则tan = . 解析(1)由平方关系知sin22 021+cos22 021=1. (2)由sin +cos =0得sin =-cos , 答案(1)B (2)-1 所以 tan =sin
5、 cos = -cos cos =-1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用同角三角函数基本关系式求值利用同角三角函数基本关系式求值 例 1(1)若 sin =- 5 13,且 为第三象限角,则 tan 的值等于( ) A.12 5 B.-12 5 C. 5 12 D.- 5 12 (2)已知 sin +cos =-1 3,0. 求 sin cos 的值; 求 sin -cos 的值. 分析(1)根据 sin =- 5 13和 sin 2+cos2=1 列方程组求 tan . (2)已知 sin +cos =-1 3,两边平方后再利用 sin 2+cos2=1,即可求出 sin
6、cos ,再把 sin -cos 两边平方,注意角 的范围. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (1)解析因为 为第三象限角, 所以 cos =- 1-sin2=-12 13. 所以 tan =sin cos = 5 12. 答案 C (2)解由 sin +cos =-1 3,得(sin +cos ) 2=1 9,sin 2+2sin cos +cos2=1 9,则 sin cos =- 4 9. 因为 0,且 sin cos 0,cos 0. sin -cos = (sin-cos)2= 1-2sincos = 17 3 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 利
7、用同角三角函数基本关系式解决给值求值问题的方 法 (1)已知角的某一种三角函数值,求角的其余三角函数值,要注意 公式的合理选择,一般是先选用平方关系,再用商数关系. (2)若角所在的象限已经确定,求另两种三角函数值时,只有一组结 果;若角所在的象限不确定,应分类讨论,一般有两组结果. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究已知 tan =12 5 ,求 sin ,cos 的值. 解tan =12 5 0, 为第一或第三象限的角.当 是第一象限角 时, tan = sin cos = 12 5 , sin2 + cos2 = 1, 解得 sin = 12 13 , cos = 5
8、13 . 同理,当 为第三象限角时,sin =-12 13,cos =- 5 13. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 例 2 已知 tan =-1 3,求下列各式的值. (1) 4sin-2cos 5cos +3sin; (2)2sin2-3 2sin cos +5cos 2; (3) 1 1-sincos. 分析由于已知条件为切,所求式为弦,故应想办法将切化弦,或将弦化 切(这是一种分析综合的思想);若切化弦,应把条件 tan =sin cos=- 1 3代 入所求式,消去其中一种函数,再进一步求值;若弦化切,应把所求式 化成用 tan 表示的式子,代入化简即可. 探究一 探究二
9、 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)由 tan =sin cos=- 1 3,得 cos =-3sin ,代入所求式得 4sin-2(-3sin) 5(-3sin)+3sin = 10sin -12sin =- 5 6. (2)原式= 2sin2-3 2cossin+5cos 2 cos2 cos2 = 2tan2- 3 2 tan + 5 1 1+tan2. 将 tan =-1 3代入, 原式= 2 1 9 + 1 2 + 5 9 10 = 103 20 . (3)原式= sin2+cos2 sin2+cos2-sincos = tan2+1 tan2+1-tan = 1 9+1 1 9+
10、1+ 1 3 = 10 13. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 已知角的正切值,求由sin 和cos 构成的代数式的值 (1)对分式齐次式,因为cos 0,一般可在分子和分母中同时除以 cosn,使所求代数式化成关于tan 的代数式,从而得解; (2)对整式(一般是指关于sin2,cos2)齐次式,把分母看为“1”,用 sin2+cos2替换“1”,从而把问题转化成分式齐次式,在分子和分母 中同时除以cos2,即可得关于tan 的代数式,从而得解. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知 tan2 1+2tan = 1 3, 0, 2 . (1)求
11、 tan 的值; (2)求sin+2cos 5cos -sin 的值. 解(1)由 tan2 1+2tan = 1 3得,3tan 2-2tan -1=0,即(3tan +1)(tan -1)=0, 解得 tan =-1 3或 tan =1. 因为 0, 2 ,则 tan 0,所以 tan =1. (2)由(1)得 tan =1, 所以sin+2cos 5cos -sin = tan+2 5-tan = 1+2 5-1 = 3 4. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用同角三角函数关系式化简利用同角三角函数关系式化简 例 3 化简: (1) 1-2sin40cos40; (2)si
12、n2+sin2-sin2sin2+cos2cos2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1) 1-2sin40cos40= (sin40-cos40)2 =|sin 40-cos 40|, 因为sin 40cos 40, 所以|sin 40-cos 40|=cos 40-sin 40. (2)sin2+sin2-sin2sin2+cos2cos2 =sin2(1-sin2)+sin2+cos2cos2 =sin2cos2+cos2cos2+sin2 =(sin2+cos2)cos2+sin2 =cos2+sin2=1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 三角函
13、数式化简的常用方法 (1)化切为弦,即把正切函数化为正、余弦函数,从而减少函数名称, 达到化简的目的. (2)对于含有根号的,常把根号里面的部分化成完全平方式,然后去 根号达到化简的目的. (3)对于化简含高次的三角函数式,往往借助于因式分解,或构造 sin2+cos2=1,以降低函数次数,达到化简的目的. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练 2 化简: 1-2sin10 cos10 sin10 - 1-sin210 . 解 1-2sin10 cos10 sin10 - 1-sin210 = (cos10 -sin10 )2 sin10 - cos210 = |cos10 -
14、sin10 | sin10 -cos10 =-cos10 -sin10 cos10 -sin10 =-1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 利用同角三角函数关系式证明利用同角三角函数关系式证明 例 4 求证:1-2sin cos cos2-sin2 = 1-tan 1+tan. 证明(方法一)因为左边 =sin 2+cos2-2sincos cos2-sin2 = (cos-sin)2 (cos-sin)(cos+sin) = cos-sin cos+sin = cos cos - sin cos cos cos + sin cos = 1-tan 1+tan=右边. 所以原式成立
15、. (方法二)由方法一知,左边= cos -sin cos+sin, 右边= 1-sin cos 1+sin cos = cos-sin cos+sin, 所以左边=右边,故原式成立. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 1.证明恒等式的常用思路: (1)从一边证到另一边,一般由繁到简; (2)左右开弓,即证左边、右边都等于第三者; (3)比较法(作差法,作比法). 2.常用的技巧: (1)巧用“1”的代换; (2)化切为弦; (3)多项式运算技巧的应用(分解因式). 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练3已知tan2=2tan2+1,求证sin2=2sin2
16、-1. 证明(方法一)tan2=2tan2+1, tan2=1 2(tan 2-1), 即sin 2 cos2 = sin2 1-sin2 = 1 2(tan 2-1), sin2= tan2-1 1+tan2 = si n2 co s2-1 1+si n 2 co s2 = sin2-cos2 sin2+cos2=sin 2-cos2 =sin2-(1-sin2)=2sin2-1. (方法二)tan2=2tan2+1, 1+tan2=2(1+tan2),即sin 2+cos2 cos2 = 2(cos2+sin2) cos2 ,即 1 cos2 = 2 cos2, cos2=2cos2,1-
17、sin2=2(1-sin2),sin2=2sin2-1. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 平方关系的应用技巧平方关系的应用技巧 在sin +cos ,sin -cos 和sin cos 三个式子中,已知其中一个可 以求另外两个的值,即“知一求二”.它们的关系是(sin +cos )2= 1+2sin cos ,(sin -cos )2=1-2sin cos .另外,在化简、证明时,经 常利用“1”的代换,将12sin cos 化为完全平方式 (sin cos )2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 典例 已知 sin +cos =m(m1),求下列各式的值. (1)ta
18、n + 1 tan; (2)sin3+cos3. 解sin +cos =m,(sin +cos )2=m2, 展开并整理得 sin cos = 2-1 2 . (1)tan + 1 tan = sin cos + cos sin = sin2+cos2 sincos = 1 sincos = 1 2-1 2 = 2 2-1. (2)sin3+cos3=(sin +cos )(sin2-sin cos +cos2) =(sin +cos )(1-sin cos )=m(1- 2-1 2 )=3- 3 2 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 方法点睛 可以通过平方、切化弦、分解因式或配
19、方等手段将所 求代数式变形,从而找到所求代数式与已知代数式的关系,达到求 值的目的. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 变式训练已知 sin +cos =1 5,(0,),求 tan 的值. 解sin +cos =1 5, 两边同时平方,得 1+2sin cos = 1 25, 2sin cos =-24 25. 又 (0,),cos 00. (sin -cos )2=1-2sin cos =49 25, sin -cos =7 5. 由得 sin =4 5,cos =- 3 5. tan =sin cos =- 4 3. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1.已知 2 ,
20、 ,sin =3 5,则 cos 等于( ) A.4 5 B.-4 5 C.-1 7 D.3 5 解析因为 2 , ,且 sin =3 5, 所以 cos =- 1-sin2=- 1- 3 5 2 =-4 5. 答案B 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2.已知 tan =-1 2,则 1+2sincos sin2-cos2 的值是( ) A.1 3 B.3 C.-1 3 D.-3 解析1+2sincos sin2-cos2 = (sin+cos)2 (sin+cos)(sin-cos) =sin+cos sin-cos = tan+1 tan-1 = -1 2+1 -1 2-1 =
21、-1 3. 答案C 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 3.设 是第三象限角,tan = 5 12,则 cos = ,sin = . 答案-12 13 - 5 13 4.化简: 1 sin + 1 tan (1-cos )= . 解析原式= 1 sin + cos sin (1-cos ) =(1+cos)(1-cos) sin = 1-cos2 sin = sin2 sin =sin . 答案sin 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 5.已知 tan =2,求: (1)2sin-3cos 4sin-9cos; (2)2sin 2-3cos2 4sin2-9cos2; (3)
22、4sin2-3sin cos -5cos2. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解(1)2sin-3cos 4sin-9cos = 2tan -3 4tan -9 = 22-3 42-9=-1. (2)2sin 2-3cos2 4sin2-9cos2 = 2tan2-3 4tan2-9 = 24-3 44-9 = 5 7. (3)已知 sin2+cos2=1, 所以 4sin2-3sin cos -5cos2 =4sin 2-3sincos-5cos2 1 =4sin 2-3sincos-5cos2 sin2+cos2 =4tan 2-3tan -5 tan2+1 = 44-32-5 4+1 =1.
