1、 考点考点 6 6：二次函数及其应用：二次函数及其应用 一、选择题 （2014荆州）1将抛物线 y=x 26x+5 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 1 个 单位长度后，得到的抛物线解析式是（ ） A y=（x4） 26 B y=（x4）22 C y=（x2）22 D y=（x1）23 （2015 荆州）2将抛物线 y=x 22x+3 向上平移 2 个单位长度，再向右平移 3 个 单位长度后，得到的抛物线的解析式为（ ） Ay=（x1） 2+4 By=（x4）2+4 Cy=（x+2） 2+6 Dy=（x4）2+6 二、填空题 （2016 荆州）1若函数 y=（a1）x 24x+2a 的图象
2、与 x 轴有且只有一个交点， 则 a 的值为 （2019 荆州）2二次函数 y2x 24x+5 的最大值是 三、解答题 （2011 荆州）1.（本题满分 10 分）2011 年长江中下游地区发生了特大旱情，为 抗旱保丰收， 某地政府制定了农户投资购买抗旱设备的补贴办法， 其中购买型、 型抗旱设备所投资的金额与政府补贴的额度存在下表所示的函数对应关系. 型 型 投资金额 x（万元） x 5 x 2 4 补贴金额 y（万元） )0( 1 k kxy 2 )0( 2 2 a bxaxy 2.4 3.2 （1）分别求 1 y和 2 y的函数解析式； （2）有一农户同时对型、型两种设备共投资 10 万元
3、购买，请你设计一个能 获得最大补贴金额的方案，并求出按此方案能获得的最大补贴金额. （2012 荆州）2(本题满分 12)已知：y 关于 x 的函数 y(k1)x 22kxk2 的图象与 x 轴有交点 (1)求 k 的取值范围； (2)若 x1，x2是函数图象与 x 轴两个交点的横坐标，且满足(k1)x1 22kx 2k2 4x1x2 求 k 的值；当 kxk2 时，请结合函数图象确定 y 的最大值和最小值 （2014荆州）3 （10 分）我国中东部地区雾霾天气趋于严重，环境治理已刻不容 缓我市某电器商场根据民众健康需要，代理销售某种家用空气净化器，其进价 是 200 元/台经过市场销售后发现
4、：在一个月内，当售价是 400 元/台时，可售 出 200 台，且售价每降低 10 元，就可多售出 50 台若供货商规定这种空气净化 器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完成不低于 450 台的销售任务 （1）试确定月销售量 y（台）与售价 x（元/台）之间的函数关系式；并求出自变 量 x 的取值范围； （2）当售价 x（元/台）定为多少时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w（元）最大？最大利润是多少？ （2015 荆州）4 （12 分）已知关于 x 的方程 kx 2+（2k+1）x+2=0 （1）求证：无论 k 取任何实数时，方程总有实数根； （2）当抛物线 y=kx 2
5、+（2k+1）x+2 图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数时，若 P（a，y1） ，Q（1，y2）是此抛物线上的两点，且 y1y2，请结合 函数图象确定实数 a 的取值范围； （3）已知抛物线 y=kx 2+（2k+1）x+2 恒过定点，求出定点坐标 （2017 荆州）5.（本题满分 10 分）荆州市某水产养殖户进行小龙虾养殖.已知每 千克小龙虾养殖成本为 6 元，在整个销售旺季的 80 天里，销售单价p（元/千克） 与时间第t（天）之间的函数关系为： p = 1 4 t + 16 (1 t 40,t 为整数） 1 2 t + 46 (41 t 80,t 为整数） ,日销售
6、 量y（千克）与时间第t（天）之间的函数关系如图 所示： （1）求日销售量y与时间t的函数关系式？ （2） 哪一天的日销售利润最大？最大利润是多少？ （3）该养殖户有多少天日销售利润不低于 2400 元？ （4） 在实际销售的前40天中， 该养殖户决定每销售1千克小龙虾， 就捐赠m(m 7) 元给村里的特困户.在这前 40 天中，每天扣除捐赠后的日销售利润随时间t的增大 而增大，求m的取值范围. （2018 荆州）6 （10.00 分）为响应荆州市“创建全国文明城市”号召，某单位 不断美化环境，拟在一块矩形空地上修建绿色植物园，其中一边靠墙，可利用的 墙长不超过 18m，另外三边由 36m 长
7、的栅栏围成设矩形 ABCD 空地中，垂直于墙 的边 AB=xm，面积为 ym 2（如图） （1）求 y 与 x 之间的函数关系式，并写出自变量 x 的取值范围； （2）若矩形空地的面积为 160m 2，求 x 的值； （3）若该单位用 8600 元购买了甲、乙、丙三种绿色植物共 400 棵（每种植物的 单价和每棵栽种的合理用地面积如下表） 问丙种植物最多可以购买多少棵？此时， 这批植物可以全部栽种到这块空地上吗？请说明理由 甲 乙 丙 单价（元/棵） 14 16 28 合理用地（m 2/棵） 0.4 1 0.4 （2019 荆州）7 （8 分）若二次函数 yax 2+bx+c（a0）图象的顶点
8、在一次函数 ykx+t（k0）的图象上，则称 yax 2+bx+c（a0）为 ykx+t（k0）的伴随 函数，如：yx 2+1 是 yx+1 的伴随函数 （1）若 yx 24 是 yx+p 的伴随函数，求直线 yx+p 与两坐标轴围成的三 角形的面积； （2）若函数 ymx3（m0）的伴随函数 yx 2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离 为 4，求 m，n 的值 t/天天 y/千克千克 第24题图 198 40 1 80O 参考答案 一、选择题 1.B 2.B 二、填空题 1.1 或 2 或 1 2.7 三、解答题 1.解： （1）由题意得：5k=2，k= 5 2 xy 5 2 1 2 分
9、 2 . 3416 4 . 224 ba ba a= 5 1 b= 5 8 xxy 5 8 5 1 2 2 4 分 （2）设购型设备投资 t 万元，购型设备投资（10-t）万元，共获补贴 Q 万元 tty 5 2 4)10( 5 2 1 ，tty 5 8 5 1 2 2 5 29 )3( 5 1 4 5 6 5 1 5 8 5 1 5 2 4 222 21 ttttttyyQ7 分 5 1 0，Q 有最大值，即当 t=3 时，Q 最大 5 29 10-t=7(万元) 9 分 即投资 7 万元购型设备，投资 3 万元购型设备，共获最大补贴 5.8 万 元10 分 2解：(1)当k1 时，函数为一
10、次函数 y2x3，其图象与 x 轴有一个交点 当 k1 时，函数为二次函数，其图象与 x 轴有一个或两个交点， 令 y0 得(k1)x 22kxk20 (2k) 24(k1)(k2)0，解得 k2即 k2 且 k1 综上所述，k 的取值范围是 k2 (2)x1x2，由(1)知 k2 且 k1 由题意得(k1)x1 2(k2)2kx 1 将(*)代入(k1)x1 22kx 2k24x1x2中得： 2k(x1x2)4x1x2 又x1x2 2 1 k k ，x1x2 2 1 k k ， 2k 2 1 k k 4 2 1 k k 解得：k11，k22(不合题意，舍去) 所求 k 值为1 如图 5，k1
11、1，y2x 22x12(x1 2 ) 23 2 且1x1 由图象知：当 x1 时，y最小3；当 x 1 2 时，y最大 3 2 y 的最大值为 3 2 ，最小值为3 图 5 y o x 3 1 1 1 2 x 3 2 1 3.解： （1）根据题中条件销售价每降低 10 元，月销售量就可多售出 50 千克， 则月销售量y （台） 与售价x （元/台） 之间的函数关系式： y=200+50， 化简得：y=5x+2200； 供货商规定这种空气净化器售价不能低于 300 元/台，代理销售商每月要完 成不低于 450 台， 则， 解得：300 x350 y 与 x 之间的函数关系式为：y=5x+2200
12、（300 x350） ； （2）W=（x200） （5x+2200） ， 整理得：W=5（x320） 2+72000 x=320 在 300 x350 内， 当 x=320 时，最大值为 72000， 即售价定为 320 元/台时，商场每月销售这种空气净化器所获得的利润 w 最 大，最大利润是 72000 元 4.（1）证明：当 k=0 时，方程为 x+2=0，所以 x=2，方程有实数根， 当 k0 时，=（2k+1） 24k2=（2k1）20，即0， 无论 k 取任何实数时，方程总有实数根； （2）解：令 y=0，则 kx 2+（2k+1）x+2=0， 解关于 x 的一元二次方程，得 x1=
13、2，x2= ， 二次函数的图象与 x 轴两个交点的横坐标均为整数，且 k 为正整数， k=1 该抛物线解析式为 y=x 2+3x+2， 由图象得到：当 y1y2时，a1 或 a3 （3）依题意得 kx 2+（2k+1）x+2y=0 恒成立，即 k（x2+2x）+xy+2=0 恒成立， 则， 解得或 所以该抛物线恒过定点（0，2） 、 （2，0） 5.解： （1）设解析式为 y=kt+b，将（1，198） 、 （80，40）代入，得： ，解得：， y=2t+200（1t80，t 为整数） ； （2）设日销售利润为 w，则 w=（p6）y， 当 1t40 时，w=（t+166） （2t+200）=
14、（t30） 2+2450， 当 t=30 时，w最大=2450； 当 41t80 时，w=（t+466） （2t+200）=（t90） 2100， 当 t=41 时，w最大=2301，Com 24502301， 第 30 天的日销售利润最大，最大利润为 2450 元 （3）由（2）得：当 1t40 时， w= （t30） 2+2450， 令 w=2400，即（t30） 2+2450=2400， 解得：t1=20、t2=40， 由函数 w= （t30） 2+2450 图象可知，当 20t40 时，日销售利润不 低于 2400 元， 而当 41t80 时，w 最大=23012400， t 的取值范
15、围是 20t40， 共有 21 天符合条件 （4）设日销售利润为 w，根据题意，得： w=（ t+166m） （2t+200）=t 2+（30+2m）t+2000200m， 其函数图象的对称轴为 t=2m+30， w 随 t 的增大而增大，且 1t40， 由二次函数的图象及其性质可知 2m+3040， 解得：m5， 又 m7， 5m7 6.解： （1）y=x（362x）=2x 2+36x （9x18） （2）由题意：2x 2+36x=160， 解得 x=10 或 8 x=8 时，3616=2018，不符合题意， x 的值为 10 （3）y=2x 2+36x=2（x9）2+162， x=9 时，
16、y 有最大值 162， 设购买了乙种绿色植物 a 棵，购买了丙种绿色植物 b 棵， 由题意：14（400ab）+16a+28b=8600， a+7b=1500， b 的最大值为 214，此时 a=2， 需要种植的面积=0.4（4002142）+12+0.4214=162.8162， 这批植物不可以全部栽种到这块空地上 7解：yx 24， 其顶点坐标为（0，4） ， yx 24 是 yx+p 的伴随函数， （0，4）在一次函数 yx+p 的图象上， 40+p p4， 一次函数为：yx4， 一次函数与坐标轴的交点分别为（0，4） ， （4，0） ， 直线 yx+p 与两坐标轴围成的三角形的两直角边都为|4|4， 直线 yx+p 与两坐标轴围成的三角形的面积为： （2）设函数 yx 2+2x+n 与 x 轴两个交点的横坐标分别为 x 1，x2，则 x1+x2 2，x1x2n， ， 函数 yx 2+2x+n 与 x 轴两个交点间的距离为 4， ， 解得，n3， 函数 yx 2+2x+n 为：yx2+2x3（x+1）24， 其顶点坐标为（1，4） ， yx 2+2x+n 是 ymx3（m0）的伴随函数， 4m3， m1
