1、第七章测评第七章测评 (时间:120 分钟 满分:150 分) 一、选择题(本题共 8 小题,每小题 5分,共 40分.在每小题给出的四个选项中,只有一项 是符合题目要求的) 1.(2020 山东枣庄第三中学高二月考)已知随机变量 XB( ),则 E(3X-1)=( ) A.11 B.12 C.18 D.36 解析随机变量 XB( ),E(X)=8 =4,E(3X-1)=3E(X)-1=34-1=11. 故选 A. 答案 A 2.(2020 黑龙江鹤岗一中高二期末)已知离散型随机变量 的概率分布如下表,则其均值 E()等于 ( ) 1 3 5 P 0.5 m 0.2 A.1 B.0.6 C.2
2、+3m D.2.4 解析依题意,0.5+m+0.2=1,解得 m=0.3, 故 E()=10.5+30.3+50.2=2.4. 故选 D. 答案 D 3.现在分别有 A,B 两个容器,在容器 A里有 7个红球和 3个白球,在容器 B 里有 1 个红球和 9 个白球. 现从这两个容器里任意抽出一个球,则在抽到的是红球的情况下,是来自容器 A里面的球的概率是 ( ) A.0.5 B.0.7 C.0.875 D.0.35 解析设 A=“抽到的是红球”,B=“抽到的是来自容器 A里面的球”,则 AB=“抽到的是来自容器 A 里面 的红球”.由题意可知,P(AB)= ,P(A)= ,故 P(B|A)=
3、=0.875,故选 C. 答案 C 4.(2019 广东高考模拟)从某班 6名学生(其中男生 4人、女生 2人)中任选 3 人参加学校组织的社会 实践活动.设所选 3人中女生人数为 ,则均值 E()=( ) A. B.1 C. D.2 解析依题意,=0,1,2,则 P(=0)= , P(=1)= ,P(=2)= , 故 E()=0 +1 +2 =1.故选 B. 答案 B 5.(2020 湖北高二期末)甲、乙两人进行羽毛球比赛,假设每局比赛甲胜的概率是 ,各局比赛是相互独 立的,采用 5局 3胜制,则乙以 31战胜甲的概率为( ) A. B. C. D. 解析由题意知,前 3局乙胜 2 局,第
4、4 局乙胜,故所求概率 P= ( - ) . 故选 B. 答案 B 6.(2020 宁夏石嘴山第三中学高二期中)设随机变量 X的概率分布为 P(X=i)= ,i=1,2,3,则 D(X)等于 ( ) A. B. C.1 D.2 解析P(X=i)= ,i=1,2,3, E(X)=1 +2 +3 =2, D(X)=(1-2)2 +(2-2) 2 +(3-2) 2 . 故选 B. 答案 B 7.(2019 黑龙江高三期中)位于坐标原点的一个质点 P按下述规则移动:质点每次移动一个单位;移动 的方向为向上或向右,并且向上、向右移动的概率都是 .质点 P 移动 5 次后位于点(2,3)的概率为 ( )
5、A.( ) B. ( ) C. ( ) D. ( ) 解析依题意,质点在移动过程中向右移动 2 次,向上移动 3次,因此质点 P 移动 5次后位于点(2,3)的概 率 P= ( ) ( - ) ( ) . 答案 B 8.(2020 四川高三月考)小明与另外 2名同学进行“手心手背”游戏,规则是:3人同时随机等可能选择手 心或手背中的一种手势,规定相同手势人数多者每人得 1分,其余每人得 0分.现 3 人共进行了 4 次游 戏,每次游戏互不影响,记小明 4次游戏得分之和为 X,则 X 的均值为( ) A.1 B.2 C.3 D.4 解析进行“手心手背”游戏,小明与另外 2名同学选择手势的所有可能
6、情况为 (心,心,心),(心,心,背),(心,背,心),(心,背,背),(背,心,心),(背,心,背),(背,背,心),(背,背,背), 则小明得 1 分的概率为 ,得 0 分的概率为 . 进行 4 次游戏,小明得分之和 X 的可能结果为 0,1,2,3,4, 则 P(X=0)= ( ) , P(X=1)= ( ) , P(X=2)= ( ) ( ) , P(X=3)= ( ) , P(X=4)= ( ) , 故 E(X)=0 +1 +2 +3 +4 =3. 故选 C. 答案 C 二、选择题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题 目要求.全部选对的得
7、5 分,有选错的得 0分,部分选对的得 3分) 9.已知随机变量 X服从正态分布 N(2,2),且 P(X4)=0.2 B.P(X0)=0.6 C.P(0X2)=0.3 D.P(0X4)=0.4 解析P(X4)=0.2. XN(2,2),P(X4)=0.2. P(0X4)=P(X4)-P(X0)=1-P(X0)=0.8, P(0X2)= P(0X1)=p,则 P(-11)=p,所以 P(01)= -p,所以 P(-10(i=1,2,n), pi=1,定义 X 的信息熵 H(X)=- pilog2pi.( ) A.若 n=1,则 H(X)=0 B.若 n=2,则 H(X)随着 p1的增大而增大
8、C.若 pi= (i=1,2,n),则 H(X)随着 n 的增大而增大 D.若 n=2m,随机变量 Y 所有可能的取值为 1,2,m,且 P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,m),则 H(X)H(Y) 解析对于 A,若 n=1,则 p1=1,所以 H(X)=-(1log21)=0,所以 A正确. 对于 B,若 n=2,则 p2=1-p1, 所以 H(X)=-p1 log2p1+(1-p1) log2(1-p1), 当 p1= 时,H(X)=- log2 log2 , 当 p1= 时,H(X)=- log2 log2 , 两者相等,所以 B错误. 对于 C,若 pi= (i=1,2,
9、n),则 H(X)=- log2 n=-log2 =log2n, 则 H(X)随着 n的增大而增大,所以 C 正确. 对于 D,若 n=2m,随机变量 Y 的所有可能的取值为 1,2,m,且 P(Y=j)=pj+p2m+1-j(j=1,2,m). 则 H(X)=- pi log2pi= pi log2 =p1 log2 +p2 log2 +p2m-1 log2 - +p2m log2 . H(Y)=(p1+p2m) log2 +(p2+p2m- 1) log2 - +(pm+pm+1) log2 =p1 log2 +p2 log2 - +p2m- 1 log2 - +p2m log2 . 因为
10、 pi0(i=1,2,2m),所以 - ,所以 log2 log2 - , 所以 pi log2 pi log2 - , 所以 H(X)H(Y),所以 D错误. 故选 AC. 答案 AC 三、填空题(本题共 4 小题,每小题 5分,共 20分) 13.(2019 山东高二期末)按照国家标准规定,500 g袋装奶粉每袋质量必须服从正态分布 XN(500,2), 经检测某种品牌的奶粉 P(490X510)=0.95,一超市一个月内共卖出这种品牌的奶粉 400 袋,则卖 出的奶粉质量在 510 g以上袋数大约为 . 解析因为 XN(500,2),且 P(490X510)=0.95,所以 P(X510
11、)= - =0.025,所以卖出的奶粉质量在 510 g 以上袋数大约为 4000.025=10(袋). 答案 10 14.(2020 山东青岛高二月考)抛掷两个骰子,至少有一个 4点或 5点出现时,就说这次试验成功,则在 8 次试验中,成功次数 的均值是 . 解析在一次试验中,成功的概率为 1- .依题意,B( ),故 E()=8 . 答案 15.若随机变量 XB(4,p),且 E(X)=2,则 D(2X-3)= . 解析由随机变量 XB(4,p),且 E(X)=2,可得 4p=2,解得 p= ,则 D(X)=4 =1, 故 D(2X-3)=4D(X)=4. 答案 4 16.(2020 浙江
12、高考)一个盒子里有 1个红 1个绿 2 个黄四个相同的球,每次拿一个,不放回,拿出红球即 停,设拿出黄球的个数为 ,则 P(=0)= ;E()= . 解析依题意, 的取值可能为 0,1,2, 则 P(=0)= , P(=1)= ,P(=2)=1- , 故 E()=0 +1 +2 =1. 答案 1 四、解答题(本题共 6 小题,共 70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17.(10分)(2020河南高二期中)某校从学生文艺部 6名成员(4 男 2 女)中,挑选 2 人参加学校举办的文 艺汇演活动. (1)求男生甲被选中的概率; (2)在已知男生甲被选中的条件下,女生乙被选中的概率;
13、(3)在要求被选中的两人中必须一男一女的条件下,求女生乙被选中的概率. 解(1)记 4 名男生为 A,B,C,D,2 名女生为 a,b, 从 6名成员中挑选 2人,所有可能的结果为 (A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b),(B,C),(B,D),(B,a),(B,b),(C,D),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),(a,b),共 15 种, 不妨设男生甲为 A,女生乙为 b,设事件 M=“男生甲被选中”,N=“女生乙被选中”,S=“被选中的两 人为一男一女”. (1)事件 M 所包含的可能的结果为(A,B),(A,C),(A,D),(A,a),(A,b), 共
14、 5种,故 P(M)= . (2)事件 MN包含的可能的结果为(A,b), 则 P(MN)= ,又 P(M)= , 故 P(N|M)= . (3)事件 S 包含的可能的结果为(A,a),(A,b),(B,a),(B,b),(C,a),(C,b),(D,a),(D,b),共 8种, 事件 SN包含的可能的结果为(A,b),(B,b),(C,b),(D,b),共 4 种,则 P(S)= ,P(SN)= , 故 P(N|S)= . 18.(12分)(2020浙江高二期末)一个袋中有 10 个大小相同的球,其中标号为 1的球有 3 个,标号为 2 的 球有 5 个,标号为 3 的球有 2 个.第一次从
15、袋中任取一个球,放回后第二次再任取一个球(假设取到每个 球的可能性都相等).记两次取到球的标号之和为 X. (1)求随机变量 X 的分布列; (2)求随机变量 X 的均值. 解(1)依题意,随机变量 X的可能取值为 2,3,4,5,6,则 P(X=2)= , P(X=3)= 2= , P(X=4)= 2+ , P(X=5)= 2= , P(X=6)= . 故随机变量 X 的分布列为 X 2 3 4 5 6 P (2)由(1)可知, E(X)=2 +3 +4 +5 +6 . 19.(12分)某学习小组有 6名同学,其中 4名同学从来没有参加过数学研究性学习活动,2名同学曾经 参加过数学研究性学习
16、活动. (1)现从该小组中任选 2 名同学参加数学研究性学习活动,求恰好选到 1名曾经参加过数学研究性学 习活动的同学的概率; (2)若从该小组中任选 2 名同学参加数学研究性学习活动,活动结束后,该小组没有参加过数学研究性 学习活动的同学人数 是一个随机变量,求随机变量 的分布列及均值. 解(1)记“恰好选到 1 名曾经参加过数学研究性学习活动的同学”为事件 A, 则 P(A)= . 故恰好选到 1名曾经参加过数学研究性学习活动的同学的概率为 . (2)依题意,随机变量 的取值可能为 2,3,4,则 P(=2)= , P(=3)= , P(=4)= . 故随机变量 的分布列为 2 3 4 P
17、 E()=2 +3 +4 . 20.(12分)(2020黑龙江哈尔滨第六中学校高三一模)甲、乙二人进行一次象棋比赛,每局胜者得 1 分, 负者得 0分(无平局),约定一方得 4分时就获得本次比赛的胜利并且比赛结束.设在每局比赛中,甲获 胜的概率为 ,乙获胜的概率为 ,各局比赛结果相互独立,已知前 3局中,甲得 1分,乙得 2分. (1)求甲获得这次比赛胜利的概率; (2)设从第 4局开始到比赛结束所进行的局数为 X,求 X 的分布列及均值. 解(1)设“甲获得这次比赛胜利”为事件 A, 则 P(A)=( ) ( ) , 故甲获得这次比赛胜利的概率为 . (2)依题意,X 的取值可能为 2,3,
18、4, 则 P(X=2)=( ) , P(X=3)=( ) ( ) , P(X=4)= ( ) 1= . 故 X 的分布列为 X 2 3 4 P E(X)=2 +3 +4 . 21.(12分)(2020江苏高三三模)某娱乐活动中,共有 5扇门,游戏者根据规则开门,并根据打开门的数量 获取相应奖励.已知开每扇门相互独立,且规则相同,开每扇门的规则是:从给定的 6 把钥匙(其中有且 只有 1 把钥匙能打开门)中,随机地逐把抽取钥匙进行试开,钥匙使用后不放回.若门被打开,则转为开 下一扇门;若连续 4 次未能打开,则放弃这扇门,转为开下一扇门;直至 5扇门都进行了试开,活动结束. (1)设随机变量 X
19、 为试开第一扇门所用的钥匙数,求 X的分布列及均值 E(X); (2)求恰好成功打开 4扇门的概率. 解(1)由题意可知,随机变量 X 的可能取值为 1,2,3,4, 则 P(X=1)= ,P(X=2)= , P(X=3)= ,P(X=4)= 1= . 故随机变量 X 的分布列为 X 1 2 3 4 P E(X)=1 +2 +3 +4 =3. (2)每扇门被打开的概率为 P=1- , 设“恰好成功打开 4扇门”为事件 A,则 P(A)= ( ) . 22.(12分)(2020吉林东北师大附中高三模拟)一次大型考试后,某年级对某学科进行质量分析,随机抽 取了 40名学生的成绩,分组为50,60)
20、,60,70),70,80),80,90),90,100,得到如图所示的频率分布直方 图. (1)从抽取的成绩在50,60),90,100之间的学生中,随机选择三名学生做进一步调查分析,记 X为这三 名学生中成绩在50,60)之间的人数,求 X 的分布列及均值 E(X). (2)求该年级全体学生的平均成绩 与标准差 s的估计值(同一组中的数据用该组区间的中点值为代 表);(精确到 1) 如果该年级学生该学科的成绩服从正态分布 N(,2),其中 ,分别近似为中的 ,s,那么从该年级 所有学生中随机选三名学生做分析,求这三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)的概率.(精确 到 0.01)
21、 附: 5.385,P(-+)0.682 7,P(-2+2)0.954 5. 解(1)由频率分布直方图,可知 40 名学生中成绩在50,60),90,100之间的人数均为 4. X 的所有可能取值为 0,1,2,3, 则 P(X=0)= ,P(X=1)= , P(X=2)= ,P(X=3)= . 故 X 的分布列为 X 0 1 2 3 P E(X)=0 +1 +2 +3 =1.5. (2) =550.1+650.3+750.4+850.1+950.1=73,s= - - - - - =2 11. 由,可知成绩在区间(62,95)的概率为 0.954 5+ 0.682 7=0.818 6, 记“三名学生中恰有两名学生的成绩在区间(62,95)”为事件 A, 则 P(A)= 0.818 62(1-0.818 6)0.36.
