1、第七章随机变量及其分布 7.2 离散型随机变量及其分布列 第 2 课时 课后篇巩固提升 基础达标练 1.设离散型随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量 Y=X-2,则 P(Y=2)等于( ) A.0.3 B.0.4 C.0.6 D.0.7 解析由 0.2+0.1+0.1+0.3+m=1,得 m=0.3,故 P(Y=2)=P(X=4)=0.3. 答案 A 2.(2020 浙江高三专题练习)已知离散型随机变量 X 的分布列如下表,则实数 c为( ) X 0 1 P 9c2- c 3- 8c A. B. C. 或 D. 解析由离散型随机变量
2、分布列的性质知,9c2-c0,3-8c0,9c2-c+3-8c=1, 解得 c= .故选 A. 答案 A 3.若随机变量 X 的分布列为 X -2 -1 0 1 2 3 P 0.1 0.2 0.2 0.3 0.1 0.1 则当 P(Xa)=0.8时,实数 a的取值范围是( ) A.(-,2 B.1,2 C.(1,2 D.(1,2) 解析由随机变量 X 的分布列知 P(X1)=0.5,P(X2)=0.8,故当 P(Xa)=0.8 时,实数 a的取值范围是 (1,2. 答案 C 4.(2020 潍坊高三月考)若随机变量 X 的分布列如下表所示,则 a2+b2的最小值为( ) X 0 1 2 3 P
3、 a b A. B. C. D. 解析由分布列性质可知 a+b= ,故 a 2+b2 ,当且仅当 a=b= 时,等号成立.故选 C. 答案 C 5.已知离散型随机变量 X的概率分布规律为 P(X=n)= (n=1,2,3,4),其中 a是常数,则 P X 的值为( ) A. B. C. D. 解析P(X=n)= (n=1,2,3,4), =1,a= , P X =P(X=1)+P(X=2)= . 答案 D 6.已知随机变量 X的分布列如下表. X 0 1 2 3 4 5 P 则 X 为奇数的概率为 . 答案 7.有一种密码,明文由三个字母组成,密码由明文的这三个字母对应的五个数字组成.编码规则
4、如下表. 明文由表中每一排取一个字母组成,且第一排取的字母放在第一位,第二排取的字母放在第二位,第三 排取的字母放在第三位,对应的密码由明文所取的这三个字母对应的数字按相同的次序排成一组组 成.如明文取的三个字母为 AFP,则与它对应的五个数字(密码)就为 11223. 第一 排 明文字 母 A B C 密码数 字 11 12 13 第二 排 明文字 母 E F G 密码数 字 21 22 23 第三 排 明文字 母 M N P 密码数 字 1 2 3 (1)假设明文是 BGN,求这个明文对应的密码; (2)设随机变量 表示密码中所含不同数字的个数. 求 P(=2); 求随机变量 的分布列.
5、解(1)这个明文对应的密码是 12232. (2)表格的第一、二列均由数字 1,2组成, 当 =2时,明文只能取表格第一、第二列中的字母. P(=2)= . 由题意可知,的取值为 2,3. P(=3)=1-P(=2)=1- . 的分布列为 2 3 P 8.某市举行“中学生诗词大赛”,分初赛和复赛两个阶段进行,规定:初赛成绩大于 90 分的具有复赛 资格.某校有 800 名学生参加了初赛,所有学生的成绩均在区间(30,150内,其频率分布直方图如图. (1)求获得复赛资格的人数. (2)从初赛得分在区间(110,150的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取 7 人参加学校座谈交 流,那么从得
6、分在区间(110,130与(130,150中各抽取多少人? (3)从(2)抽取的 7 人中,选出 3人参加全市座谈交流,设 X 表示得分在区间(130,150中参加全市座谈交 流的人数,求 X 的分布列. 解(1)由题意知在区间(90,110的频率为 1-20(0.002 5+0.005+0.007 52+0.012 5)=0.3, 0.3+(0.012 5+0.005)20=0.65, 故获得复赛资格的人数为 8000.65=520. (2)0.012 50.005=52, 在区间(110,150的参赛者中,利用分层随机抽样的方法随机抽取 7人, 则在区间(110,130与(130,150中
7、各抽取 5人,2人. (3)X 的可能取值为 0,1,2,则 P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= . 故 X 的分布列为 X 0 1 2 P 能力提升练 1.(多选)下列随机变量服从两点分布的是( ) A.抛掷一枚质地均匀的骰子,所得点数为随机变量 X B.某射手射击一次,击中目标的次数为随机变量 X C.从装有 5个红球,3个白球的袋中取 1个球,令随机变量 X= 取出白球 取出红球 D.某医生做一次手术,手术成功的次数为随机变量 X 答案 BCD 2.已知抛掷 2枚骰子,所得点数之和 X是一个随机变量,则 P(X4)等于( ) A. B. C. D. 解析根据题意,P(
8、X=2)= ,P(X=3)= ,P(X=4)= ,故 P(X4)= . 答案 A 3.已知随机变量 只能取三个值 x1,x2,x3,其概率依次成等差数列,则该等差数列的公差的取值范围是 ( ) A. 0, B. - C. -3,3 D. 0,1 解析设随机变量 取 x1,x2,x3的概率分别为 a-d,a,a+d(0a-d1,0a+d1),则由分布列的性质,得 (a-d)+a+(a+d)=1,故 a= . 由 - 解得- d . 答案 B 4.由于电脑故障,使得随机变量 X的分布列中部分数据丢失(以“x,y”代替),其分布列如下. X 1 2 3 4 5 6 P 0.20 0.10 0.x5
9、0.10 0.1y 0.20 则 x,y的值依次为 . 解析由 0.20+0.10+(0.1x+0.05)+0.10+(0.1+0.01y)+0.20=1,得 10 x+y=25.又因为 x,y 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9,故 x=2,y=5. 答案 2,5 5.袋中有 4 个红球、3个黑球,从袋中任取 4 个球,取到 1个红球得 1分,取到 1个黑球得 3 分,记得分 为随机变量 ,则 P(6)= . 解析取出的 4个球中红球的个数可能为 4,3,2,1,相应的黑球的个数为 0,1,2,3,其得分 =4,6,8,10,则 P(6)=P(=4)+P(=6)= . 答案 6.已知 2
10、件次品和 3 件正品混放在一起,现需要通过检测将其区分,每次随机检测一件产品,检测后不 放回,直到检测出 2件次品或者检测出 3件正品时检测结束. (1)求第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品的概率; (2)已知每检测一件产品需要费用 100 元,设 X 表示直到检测出 2 件次品或者检测出 3 件正品时所需 要的检测费用(单位:元),求 X 的分布列. 解(1)记“第一次检测出的是次品且第二次检测出的是正品”为事件 A,则 P(A)= . (2)X 的可能取值为 200,300,400, 则 P(X=200)= , P(X=300)= , P(X=400)=1-P(X=200)-P(X
11、=300) =1- . 故 X 的分布列为 X 200 300 400 P 素养培优练 受轿车在保修期内维修费等因素的影响,企业生产每辆轿车的利润与该轿车首次出现故障的时间有 关.某轿车制造厂生产甲、乙两种品牌轿车,保修期均为 2年,现从该厂已售出的两种品牌轿车中随机 抽取 50辆,统计数据如下: 品牌 甲 乙 首次出现 故障 时间 x(年) 0x1 12 02 轿车数量 (辆) 2 3 45 5 45 每辆利润 (万元) 1 2 3 1.8 2.9 将频率视为概率,解答下列问题: (1)从该厂生产的甲品牌轿车中随机抽取一辆,求其首次出现故障发生在保修期内的概率; (2)若该厂生产的轿车均能售出,记生产一辆甲品牌轿车的利润为 X1,生产一辆乙品牌轿车的利润为 X2,分别求 X1,X2的分布列. 解(1)设“甲品牌轿车首次出现故障发生在保修期内”为事件 A,则 P(A)= . (2)依题意得,X1的分布列为 X1 1 2 3 P X2的分布列为 X2 1.8 2.9 P
