1、第七章随机变量及其分布 7.3 离散型随机变量的数字特征 7.3.2 离散型随机变量的方差离散型随机变量的方差 课后篇巩固提升 基础达标练 1.已知 X的分布列为 X 1 2 3 4 P 则 D(X)的值为( ) A. B. C. D. 解析E(X)=1 +2 +3 +4 ,D(X)=( - ) ( - ) ( - ) ( - ) . 答案 C 2.(2019 浙江杭州四中高三期中)设 0a1,已知随机变量 X 的分布列是 X 0 a 1 P 若 D(X)= ,则 a=( ) A. B. C. D. 解析E(X)=0 +a +1 , D(X)=( ) - - = (a+1) 2+(2a-1)2
2、+(a-2)2= (a 2-a+1)= , 4a2-4a+4=3,即(2a-1)2=0,解得 a= . 答案 A 3.由以往的统计资料表明,甲、乙两名运动员在比赛中的得分情况为 X1(甲得 分) 0 1 2 P 0.2 0.5 0.3 X2(乙得 分) 0 1 2 P 0.3 0.3 0.4 现有一场比赛,应派哪位运动员参加较好( ) A.甲 B.乙 C.甲、乙均可 D.无法确定 解析 E(X1)=E(X2)=1.1,D(X1)=1.120.2+0.120.5+0.920.3=0.49,D(X2)=1.120.3+0.120.3+0.920.4=0.69, D(X1)D(X2).故甲比乙得分稳
3、定,故派甲运动员参加较好. 答案 A 4.(2020 北京高三月考)已知随机变量 , 的分布列如下表所示,则( ) 1 2 3 P 1 2 3 P A.E()E(),D()D() B.E()D() C.E()E(),D()=D() D.E()=E(),D()=D() 解析由题意得, E()=1 +2 +3 , D()= - - - . E()=1 +2 +3 , D()= 1- 2 + 2- 2 + 3- 2 , 故 E()E(),D()D(X乙),乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐. 答案 B 2.已知 X的分布列如表所示. X - 1 0 1 P 有下列式子:E(X)=- ;D(X)= ;P(X=
4、0)= .其中正确的个数是( ) A.0 B.1 C.2 D.3 解析 E(X)=(-1) +0 +1 =- ,故正确. D(X)=(- ) ( ) ( ) ,故不正确.由分布列知正确. 答案 C 3.(多选)(2019山东高二期末)设离散型随机变量 X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P q 0.4 0.1 0.2 0.2 若离散型随机变量 Y 满足 Y=2X+1,则下列结论正确的为( ) A.q=0.1 B.E(X)=2,D(X)=1.4 C.E(X)=2,D(X)=1.8 D.E(Y)=5,D(Y)=7.2 解析因为 q+0.4+0.1+0.2+0.2=1,所以 q=0.1,故 A 正
5、确; E(X)=00.1+10.4+20.1+30.2+40.2=2, D(X)=(0-2)20.1+(1-2)20.4+(2-2)20.1+(3-2)20.2+(4-2)20.2=1.8,故 B错误,C正确;因为 Y=2X+1,所以 E(Y)=2E(X)+1=5,D(Y)=4D(X)=7.2,故 D正确. 故选 ACD. 答案 ACD 4.某旅游公司为三个旅游团提供了 a,b,c,d 四条旅游线路,每个旅游团队可任选其中一条线路,则选择 a 线路的旅游团数 X的方差 D(X)= . 解析由题意知 X的可能取值有 0,1,2,3, 则 P(X=0)= , P(X=1)= , P(X=2)= ,
6、 P(X=3)= . 故 E(X)=0 +1 +2 +3 , D(X)=( - ) ( - ) ( - ) ( - ) . 答案 5.若 p 为非负实数,随机变量 X 的分布列为 X 0 1 2 P - p p 则 E(X)的最大值是 ,D(X)的最大值是 . 解析由分布列性质可知 p 0, ,则 E(X)=p+1 1, ,故 E(X)的最大值为 . 又 D(X)= -p (p+1) 2+p(p+1-1)2+ (p+1-2) 2=-p2-p+1=- p+ 2+ , p 0, ,故当 p=0 时,D(X)取得最大值 1. 答案 1 6.有甲、乙两名学生,经统计,他们在解答同一份数学试卷时,各自的
7、成绩在 80分、90 分、100分的概 率分布大致如下表所示. 甲: 分数 X 80 90 100 概率 P 0.2 0.6 0.2 乙: 分数 Y 80 90 100 概率 P 0.4 0.2 0.4 试分析两名学生的成绩水平. 解E(X)=800.2+900.6+1000.2=90, D(X)=(80-90)20.2+(90-90)20.6+(100-90)20.2=40, E(Y)=800.4+900.2+1000.4=90, D(Y)=(80-90)20.4+(90-90)20.2+(100-90)20.4=80, E(X)=E(Y),D(X)D(Y), 甲生与乙生的成绩均值一样,甲的
8、方差较小,因此甲生的学习成绩较稳定. 素养培优练 A,B两个投资项目的利润率分别为随机变量 X1和 X2.根据市场分析,X1和 X2的分布列分别为 X1 5% 10% P 0.8 0.2 X2 2% 8% 12% P 0.2 0.5 0.3 (1)在 A,B 两个项目上各投资 100 万元,Y1(单位:万元)和 Y2(单位:万元)分别表示投资项目 A和 B所获 得的利润,求方差 D(Y1),D(Y2); (2)将 x(0 x100)万元投资 A 项目,(100-x)万元投资 B项目,f(x)表示投资 A项目所得利润的方差与 投资 B项目所得利润的方差的和.求 f(x)的最小值,并指出 x 为何
9、值时,f(x)取到最小值. 解(1)由题设可知 Y1和 Y2的分布列分别为 Y1 5 10 P 0.8 0.2 Y2 2 8 12 P 0.2 0.5 0.3 E(Y1)=50.8+100.2=6, D(Y1)=(5-6)20.8+(10-6)20.2=4; E(Y2)=20.2+80.5+120.3=8, D(Y2)=(2-8)20.2+(8-8)20.5+(12-8)20.3=12. (2)f(x)=D( )+D( - ) =( ) D(Y 1)+( - ) D(Y2) = x 2+3(100-x)2 = (4x 2-600 x+31002). 所以当 x= =75 时,f(x)=3为最小值.
