1、备战备战 2018 中考系列：中考系列：数学数学 2 年中考年中考 1 年模拟年模拟 第二篇第二篇 方程与不等式方程与不等式 专题专题 08 一元二次方程一元二次方程 解读考点解读考点 知 识 点 名师点晴 一元二 次方程 的概念来 源:Zxxk.Com来源:学科网 ZXXK来源: 学科网来源:学科网 1 一元二次方程的概念 会识别一元二次方程来源:学#科#网 Z#X#X#K 2 一元二次方程的解 会识别一个数是不是一元二次方程的解 解法 步骤 能灵活选择适当的方法解一元二次方程 根的判 别式 2 4bac是一元二次方程 2 0axbxc（a0）的判 别式 会判断一元二次方程根的情况 根与系
2、数的关 系 12 b xx a ， 12 c x x a 会灵活运用根与系数的关系解决问题 一元二 次方程 的应用 由实际问题抽象出一元二次方 程 要列方程，首先要根据题意找出存在的等量关系 最后要检验结果是不是合理 2 年中考年中考 【2017 年题组】年题组】 一、选择题 1（2017 内蒙古包头市） 若关于 x 的不等式1 2 a x的解集为x1， 则关于 x的一元二次方程 2 10 xax 根的情况是（ ） A有两个相等的实数根 B有两个不相等的实数根 C无实数根 D无法确定 【答案】C 【解析】 点睛：本题考查了根的判别式：一元二次方程 2 0axbxc（a0）的根与= 2 4bac
3、有如下关系：当 0 时，方程有两个不相等的实数根；当=0 时，方程有两个相等的实数根；当0 时，方程无实数根 考点：1根的判别式；2不等式的解集 2 （2017 内蒙古呼和浩特市）关于 x 的一元二次方程 22 (2 )10 xaa xa 的两个实数根互为相反数， 则 a 的值为（ ） A2 B0 C1 D2 或 0 【答案】B 【解析】 试题分析：设方程的两根为 1 x， 2 x，根据题意得 12 0 xx ，所以 2 20aa，解得 a=0 或 a=2，当 a=2 时，方程化为 2 10 x ，=40，故 a=2 舍去，所以 a 的值为 0故选 B 考点：根与系数的关系学科网 3（2017
4、 四川省凉山州） 若关于 x 的方程 2 230 xx与 21 3xxa 有一个解相同， 则 a 的值为 （ ） A1 B1 或3 C1 D1 或 3 【答案】C 【解析】 试题分析：解方程 2 230 xx，得：x1=1，x2=3，x=3 是方程 21 3xxa 的增根，当 x=1 时， 代入方程 21 3xxa ，得： 21 1 31a ，解得 a=1故选 C 点睛：本题考查了解一元二次方程因式分解法，分式方程的解此题属于易错题，解题时要注意分式的 分母不能等于零 考点：1解一元二次方程因式分解法；2分式方程的解 4 （2017 四川省泸州市）已知 m，n 是关于x的一元二次方程 22 2
5、240 xtxtt的两实数根，则 (2)(2)mn的最小值是（ ） A7 B11 C12 D16 【答案】D 【解析】 点睛：本题考查了一元二次方程根与系数的关系注意还需考虑有实数根时 t 的取值范围，这是本题最易漏 掉的条件解此类题目要把代数式变形为两根之积或两根之和的形式 考点：1二次函数的性质；2最值问题；3二次函数的最值；4根与系数的关系；5综合题 5 （2017 四川省绵阳市）关于 x 的方程02 2 nmxx的两个根是2 和 1，则 m n的值为（ ） A8 B8 C16 D16 【答案】C 【解析】 试题分析：关于 x 的方程02 2 nmxx的两个根是2 和 1， 2 m =1
6、， 2 n =2，m=2，n=4， m n=（4）2=16故选 C 考点：根与系数的关系 6 （2017 宁夏）关于 x 的一元二次方程 2 1320axx有实数根，则 a 的取值范围是（ ） A 1 8 a B 1 8 a C 1 8 a 且1a D 1 8 a 且1a 【答案】D 【解析】 试题分析：根据题意得 a1 且=324（a1）（2）0，解得 1 8 a 且 a1故选 D 考点：根的判别式 7 （2017 安徽省）一种药品原价每盒 25 元，经过两次降价后每盒 16 元设两次降价的百分率都为 x，则 x 满足（ ） A16(12 )25x B25(1 2 )16x C 2 16(1
7、)25x D 2 25(1)16x 【答案】D 【解析】 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 8 （2017 山东省东营市）若 2 44xx 与23xy互为相反数，则 x+y 的值为（ ） A3 B4 C6 D9 【答案】A 【解析】 试题分析：根据题意得： 2 44xx+23xy=0，所以 2 44xx=0，23xy =0，即（x2） 2=0，2xy3=0，所以 x=2，y=1，所以 x+y=3故选 A 点睛：本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方 法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法也考查了非负数的性质学科！网 考点：1解一元二次方
8、程配方法；2非负数的性质：绝对值；3非负数的性质：算术平方根 9 （2017 山东省泰安市）一元二次方程 2 660 xx配方后化为（ ） A 2 (3)15x B 2 (3)3x C 2 (3)15x D 2 (3)3x 【答案】A 【解析】 试题分析：方程整理得：x26x=6，配方得：x26x+9=15，即 2 (3)15x，故选 A 考点：1解一元二次方程配方法；2一次方程（组）及应用 10 （2017 湖北省荆州市）规定：如果关于 x 的一元二次方程 2 0axbxc（a0）有两个实数根，且其 中一个根是另一个根的 2 倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论： 方程 2 280
9、xx是倍根方程； 若关于 x 的方程 2 20 xax是倍根方程，则 a=3； 若关于 x 的方程 2 60axaxc（a0）是倍根方程，则抛物线 2 6yaxaxc与 x 轴的公共点的坐 标是（2，0）和（4，0） ； 若点（m，n）在反比例函数 4 y x 的图象上，则关于 x 的方程 2 50mxxn是倍根方程 上述结论中正确的有（ ） A B C D 【答案】C 【解析】 关于 x 的方程 2 60axaxc（a0）是倍根方程，x2=2x1，抛物线 2 6yaxaxc的对称轴是 直线 x=3，抛物线 2 6yaxaxc与 x 轴的交点的坐标是（2，0）和（4，0） ，故正确； 点 （m
10、， n） 在反比例函数 4 y x 的图象上， mn=4， 解 2 50mxxn得 x1= 2 m ， x2= 8 m ， x2=4x1， 关于 x 的方程 2 50mxxn不是倍根方程； 故选 C 考点：1反比例函数图象上点的坐标特征；2根的判别式；3根与系数的关系；4抛物线与 x 轴的交 点；5综合题 11 （2017 白银）如图，某小区计划在一块长为 32m，宽为 20m 的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余 的空地上种植草坪，使草坪的面积为 570m2若设道路的宽为 xm，则下面所列方程正确的是（ ） A （322x） （20 x）=570 B32x+220 x=3220570 C
11、（32x） （20 x）=3220570 D32x+220 x2x2=570 【答案】A 【解析】 试题分析：设道路的宽为 xm，根据题意得： （322x） （20 x）=570，故选 A 考点：由实际问题抽象出一元二次方程 12 （2017 贵州省六盘水市）三角形的两边 a、b 的夹角为 60且满足方程 2 3 240 xx-+=，则第三边的长 是（ ） A6 B2 2 C2 3 D3 2 【答案】A 【解析】 点睛：本题考查了解一元二次方程因式分解法：因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这 种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法也考查了解直角三角形 考点：1解一元二次方程因
12、式分解法；2解直角三角形 13 （2017四川省攀枝花市）关于x的一元二次方程 2 (1)210mxx 有两个实数根，则实数m的取值范 围是（ ） Am0 Bm0 Cm0且m1 Dm0且m1 【答案】C 【解析】 点睛：本题考查了根的判别式以及一元二次方程的定义，牢记“当0 时，方程有两个实数根”是解题的 关键 考点：根的判别式 二、填空题 14 （2017 四川省内江市）设 、 是方程(1)(4)5xx 的两实数根，则 33 = 【答案】47 【解析】 试题分析：方程(1)(4)5xx 可化为 2 310 xx ，、 是方程(1)(4)5xx 的两实数 根，+=3，=1， 222 =( +
13、)2 =7， 4422 222 =()2 =47， 33 = 44 =47，故答案为：47 点睛：本题考查了根与系数的关系，难度较大，关键是根据已知条件对 33 进行变形 考点：1根与系数的关系；2条件求值 15 （2017 四川省眉山市）已知一元二次方程 2 320 xx的两个实数根为 1 x， 2 x，则 12 (1)(1)xx的 值是 【答案】4 【解析】 试题分析：一元二次方程 2 320 xx的两个实数根为 1 x， 2 x， 12 3xx、 12 2x x ， 12 (1)(1)xx= 1212 () 1x xxx=23+1=4故答案为：4 考点：根与系数的关系 16 （2017
14、德州）方程 3x（x1）=2（x1）的解为 【答案】1 或 2 3 【解析】 考点：1解一元二次方程因式分解法；2等式的性质；3解一元一次方程 17 （2017 枣庄）已知关于 x 的一元二次方程 2 210axx 有两个不相等的实数根，则 a 的取值范围 是 【答案】a1 且 a0 【解析】 试题分析：由题意得 a0 且=（2）24a（1）0，解得 a1 且 a0故答案为：a1 且 a 0 考点：根的判别式 18 （2017 山东省泰安市）关于 x 的一元二次方程 22 (21)(1)0 xkxk无实数根，则 k 的取值范围 为 【答案】k 5 4 【解析】 试题分析：根据题意得=（2k1）
15、24（k21）0，解得 k 5 4 故答案为：k 5 4 考点：根的判别式 19（2017 山东省淄博市） 已知 ， 是方程 2 340 xx的两个实数根， 则 2 3a的值为 【答案】0 【解析】 试题分析：根据题意得 +=3，=4，所以原式=a（+）3=33=0故答案为：0 考点：根与系数的关系 20 （2017 江苏省扬州市）若关于 x 的方程2201740200 xmx存在整数解，则正整数 m 的所有 取值的和为 【答案】15 【解析】 点睛：本题考查无理方程、换元法、正整数等知识，解题的关键是学会利用换元法解决问题，属于中考填 空题中的压轴题 考点：1无理方程；2换元法 三、解答题
16、21 （2017 北京市）关于 x 的一元二次方程 2 3220 xkxk （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一根小于 1，求 k 的取值范围 【答案】 （1）证明见解析； （2）k0 【解析】 试题分析： （1）根据方程的系数结合根的判别式，可得=（k1）20，由此可证出方程总有两个实数根； （2）利用分解因式法解一元二次方程，可得出 x1=2、x2=k+1，根据方程有一根小于 1，即可得出关于 k 的 一元一次不等式，解之即可得出 k 的取值范围 试题解析： （1）证明：在方程 2 3220 xkxk中，=（k+3）241（2k+2）=k22k+1= （k1）20，方程总有两
17、个实数根 （2）解： 2 322xkxk=（x2） （xk1）=0，x1=2，x2=k+1 方程有一根小于 1，k+11，解得：k0，k 的取值范围为 k0 点睛：本题考查了根的判别式、因式分解法解一元二次方程以及解一元一次不等式，解题的关键是： （1） 牢记“当0 时，方程有两个实数根”； （2）利用因式分解法解一元二次方程结合方程一根小于 1，找出 关于 k 的一元一次方程 考点：根的判别式 22 （2017 四川省南充市）已知关于 x 的一元二次方程 2 (3)0 xmxm （1）求证：方程有两个不相等的实数根； （2）如果方程的两实根为 1 x， 2 x，且 22 1212 7xxx
18、x，求 m 的值 【答案】 （1）证明见解析； （2）m 的值是 1 或 2 【解析】 试题解析： （1）证明： 2 (3)0 xmxm，=（m3）241（m）=m22m+9=（m 1）2+80，方程有两个不相等的实数根； （2） 2 (3)0 xmxm，方程的两实根为 1 x， 2 x，且 22 1212 7xxx x， 12 3xxm ， 12 x xm ， 2 121 2 ()37xxx x，（m3）23（m）=7，解得，m1=1，m2=2，即 m 的值是 1 或 2 考点：1根与系数的关系；2根的判别式 23 （2017 四川省眉山市）东坡某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次（
19、即最低档次）的产品每 天生产 76 件，每件利润 10 元调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元 （1）若生产的某批次蛋糕每件利润为 14 元，此批次蛋糕属第几档次产品； （2）由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少 4 件若生产的某档次产品一天的总 利润为 1080 元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 【答案】 （1）第 3 档； （2）第 5 档 【解析】 试题分析： （1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加 2 元，即可求出每件利润为 14 元 的蛋糕属第几档次产品； （2）设烘焙店生产的是第 x 档次的产品，根据单件利润销售
20、数量=总利润，即可得出关于 x 的一元二次方 程，解之即可得出结论 试题解析： （1） （1410）2+1=3（档次） 答：此批次蛋糕属第 3 档次产品 （2） 设烘焙店生产的是第 x 档次的产品， 根据题意得： （2x+8） （76+44x） =1080， 整理得： x216x+55=0， 解得：x1=5，x2=11（舍去） 答：该烘焙店生产的是第 5 档次的产品 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据数量关系，列式计算； （2）根据单件利 润销售数量=总利润，列出关于 x 的一元二次方程 考点：一元二次方程的应用 24 （2017 滨州） （1）根据要求，解答下列问
21、题： 方程 x22x+1=0 的解为 ； 方程 x23x+2=0 的解为 ； 方程 x24x+3=0 的解为 ； （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程 x29x+8=0 的解为 ； 关于 x 的方程 的解为 x 1=1，x2=n （3）请用配方法解方程 x29x+8=0，以验证猜想结论的正确性 【答案】 （1）x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3； （2）x1=1，x2=8；x2（1+n）x+n=0； （3）答案 见解析 【解析】 试题解析： （1）（x1）2=0，解得 x1=x2=1，即方程 x22x+1=0 的解为 x1=x2=1； （x1） （x2）=0，
22、解得 x1=1，x2=2，所以方程 x23x+2=0 的解为 x1=1，x2=2； （x1） （x3）=0，解得 x1=1，x2=3，方程 x24x+3=0 的解为 x1=1，x2=3； （2）根据以上方程特征及其解的特征，请猜想： 方程 x29x+8=0 的解为 x1=1，x2=8； 关于 x 的方程 x2（1+n）x+n=0 的解为 x1=1，x2=n （3）x29x=8，x29x+ 81 4 =8+ 81 4 ， （x 9 2 ）2= 49 4 x 9 2 = 7 2 ，所以 x1=1，x2=8； 所以猜想正确 故答案为：x1=x2=1；x1=1，x2=2；x1=1，x2=3；x2（1+
23、n）x+n=0； 点睛：本题考查了解一元二次方程配方法：将一元二次方程配成（x+m）2=n 的形式，再利用直接开平方 法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法也考查了因式分解法解一元二次方程 考点：1解一元二次方程配方法；2一元二次方程的解；3解一元二次方程因式分解法 25 （2017 山东省潍坊市）工人师傅用一块长为 10dm，宽为 6dm 的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器， 需要将四角各裁掉一个正方形 （厚度不计） （1）在图中画出裁剪示意图，用实线表示裁剪线，虚线表示折痕；并求长方体底面面积为 12dm2时，裁掉 的正方形边长多大？ （2）若要求制作的长方体的底面长不大于底面宽的五倍，
24、并将容器进行防锈处理，侧面每平方分米的费用 为 0.5 元，底面每平方分米的费用为 2 元，裁掉的正方形边长多大时，总费用最低，最低为多少？ 【答案】 （1）裁掉的正方形的边长为 2dm； （2）当裁掉边长为 2.5dm 的正方形时，总费用最低，最低费用 为 25 元 【解析】 试题解析： （1）如图所示： 设裁掉的正方形的边长为 xdm，由题意可得（102x） （62x）=12，即 x28x+12=0，解得 x=2 或 x=6（舍 去） 答：裁掉的正方形的边长为 2dm，底面积为 12dm2； （2）长不大于宽的五倍，102x5（62x） ，解得 0 x2.5，设总费用为 w 元，由题意可知
25、 w=0.52x（164x）+2（102x） （62x）=4x248x+120=4（x6）224，对称轴为 x=6，开口向上， 当 0 x2.5 时，w 随 x 的增大而减小，当 x=2.5 时，w 有最小值，最小值为 25 元 答：当裁掉边长为 2.5dm 的正方形时，总费用最低，最低费用为 25 元 考点：1二次函数的应用；2一元二次方程的应用；3二次函数的最值；4最值问题；5操作型 26 （2017 山东省烟台市）今年，我市某中学响应习总书记“足球进校园”的号召，开设了“足球大课间” 活动，现需要购进 100 个某品牌的足球供学生使用，经调查，该品牌足球 2015 年单价为 200 元，
26、2017 年单 价为 162 元 （1）求 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率； （2）选购期间发现该品牌足球在两个文体用品商场有不同的促销方案： 试问去哪个商场购买足球更优惠？ 【答案】 （1）10%； （2）去 B 商场购买足球更优惠 【解析】 （2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买 100 个该品牌足球的总费用，比较后即可得出结论 试题解析： （1）设 2015 年到 2017 年该品牌足球单价平均每年降低的百分率为 x，根据题意得：200（1 x）2=162，解得：x=0.1=10%或 x=1.9（舍去） 答：2015 年到 2017 年该品牌足球
27、单价平均每年降低的百分率为 10% （2）10010 11 =1000 11 90.91（个） ，在 A 商城需要的费用为 16291=14742（元） ，在 B 商城需要的费用 为 162100 9 10 =14580（元） 1474214580 答：去 B 商场购买足球更优惠 点睛：本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是： （1）根据 2015 年及 2017 年该品牌足球的单价， 列出关于 x 的一元二次方程； （2）根据两商城的促销方案，分别求出在两商城购买 100 个该品牌足球的总 费用 考点：1一元二次方程的应用；2增长率问题 27 （2017 浙江省台州市）在平面直角坐标系中
28、，借助直角三角板可以找到一元二次方程的实数根比如对 于方程 2 520 xx，操作步骤是： 第一步：根据方程的系数特征，确定一对固定点 A（0，1） ，B（5，2） ； 第二步：在坐标平面中移动一个直角三角板，使一条直角边恒过点 A，另一条直角边恒过点 B； 第三步：在移动过程中，当三角板的直角顶点落在 x 轴上点 C 处时，点 C 的横坐标 m 即为该方程的一个实 数根（如图 1） ； 第四步：调整三角板直角顶点的位置，当它落在 x 轴上另一点 D 处时，点 D 的横坐标 n 即为该方程的另一 个实数根 （1）在图 2 中，按照“第四步”的操作方法作出点 D（请保留作出点 D 时直角三角板两
29、条直角边的痕迹） ； （2）结合图 1，请证明“第三步”操作得到的 m 就是方程 2 520 xx的一个实数根； （3）上述操作的关键是确定两个固定点的位置，若要以此方法找到一元二次方程 2 0axbxc （a0， 2 4bac0）的实数根，请你直接写出一对固定点的坐标； （4）实际上， （3）中的固定点有无数对，一般地，当 m1，n1，m2，n2与 a，b，c 之间满足怎样的关系时， 点 P（m1，n1） ，Q（m2，n2）就是符合要求的一对固定点？ 【答案】 （1）作图见解析； （2）证明见解析； （3）A（0，1） ，B（ b a ， c a ）或 A（0， 1 a ） ，B（ b a
30、，c） 等； （4） 12 b mm a ， 1212 mmnn= c a 【解析】 （3）方程 2 0axbxc（a0）可化为 2 0 bc xx aa ，模仿研究小组作法可得一对固定点的坐标； （ 4 ） 先 设 方 程 的 根 为x ， 根 据 三 角 形 相 似 可 得 12 12 nmx xmn ， 进 而 得 到 2 121212 ()0 xmm xm mn n，再根据 2 0axbxc，可得 2 0 bc xx aa ，最后比较系数可得 m1，n1，m2，n2与 a，b，c 之间的关系 试题解析： （1）如图所示，点 D 即为所求； （2）如图所示，过点 B 作 BDx 轴于点
31、D，根据AOC=CDB=90，ACO=CBD，可得AOC CDB， AOOC CDBD ， 1 52 m m ，m（5m）=2， 2 520mm，m 是方程 2 520 xx的 实数根； （3）方程 2 0axbxc（a0）可化为 2 0 bc xx aa ，模仿研究小组作法可得：A（0，1） ，B（ b a ， c a ）或 A（0， 1 a ） ，B（ b a ，c）等； （4）如图，P（m1，n1） ，Q（m2，n2） ，设方程的根为 x，根据三角形相似可得 12 12 nmx xmn ，上式可化 为 2 121212 ()0 xmm xm mn n，又 2 0axbxc，即 2 0 b
32、c xx aa ，比较系数可得 12 b mm a ， 1212 mmnn= c a 点睛：本题属于三角形综合题，主要考查的是一元二次方程的解，相似三角形的判定与性质的综合应用， 解决问题的关键是作辅助线构造相似三角形，依据相似三角形的对应边成比例，列出比例式并转化为等积 式 考点：1三角形综合题；2一元二次方程的解；3相似三角形的判定与性质；4阅读型；5操作型； 6压轴题 28 （2017 湖北省宜昌市）某市总预算 a 亿元用三年时间建成一条轨道交通线轨道交通线由线路敷设、搬 迁安置、辅助配套三项工程组成从 2015 年开始，市政府在每年年初分别对三项工程进行不同数额的投资 2015 年年初
33、，对线路敷设、搬迁安置的投资分别是辅助配套投资的 2 倍、4 倍随后两年，线路敷设投 资每年都增加 b 亿元，预计线路敷设三年总投资为 54 亿元时会顺利如期完工；搬迁安置投资从 2016 年初 开始遂年按同一百分数递减，依此规律，在 2017 年年初只需投资 5 亿元，即可顺利如期完工；辅助配套工 程在 2016 年年初的投资在前一年基础上的增长率是线路敷设 2016 年投资增长率的 1.5 倍，2017 年年初的 投资比该项工程前两年投资的总和还多 4 亿元，若这样，辅助配套工程也可以如期完工经测算，这三年 的线路敷设、辅助配套工程的总投资资金之比达到 3：2 （1）这三年用于辅助配套的投
34、资将达到多少亿元？ （2）市政府 2015 年年初对三项工程的总投资是多少亿元？ （3）求搬迁安置投资逐年递减的百分数 【答案】 （1）36； （2）35； （3）50% 【解析】 （3）由 x=5 得出 2015 年初搬迁安置的投资为 20 亿元，设从 2016 年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百 分数为 y，根据“2017 年年初搬迁安置的为投资 5 亿”列方程求解可得 试题解析： （1）三年用于辅助配套的投资将达到 54 2 3 =36（亿元） ； （2）设 2015 年年初，对辅助配套的投资为 x 亿元，则线路敷设的投资为 2x 亿元，搬迁安置的投资是 4x 亿元，根据题意，得： 22
35、2254 1.51.5 (1)(1)436 22 xxbxb bb xxxx xx ，解得： 5 8 x b ，市政府 2015 年年初 对三项工程的总投资是 7x=35 亿元； （3）由 x=5 得，2015 年初搬迁安置的投资为 20 亿元，设从 2016 年初开始，搬迁安置投资逐年递减的百分 数为 y，由题意，得：20（1y）2=5，解得：y1=0.5，y2=1.5（舍） 答：搬迁安置投资逐年递减的百分数为 50% 点睛：本题主要考查一元二次方程、二元一次方程组的应用，理解题意、准确梳理题中所涉数量关系，找 到题目蕴含的相等关系是解题的关键 考点：1一元二次方程的应用；2分式方程的应用；
36、3增长率问题 29 （2017 湖北省荆州市）已知关于 x 的一元二次方程 2 (5)10 xkxk ，其中 k 为常数 （1）求证：无论 k 为何值，方程总有两个不相等实数根； （2）已知函数 2 (5)1yxkxk 的图象不经过第三象限，求 k 的取值范围； （3）若原方程的一个根大于 3，另一个根小于 3，求 k 的最大整数值 【答案】 （1）证明见解析； （2）k1； （3）2 【解析】 试题分析： （1）求出方程的判别式的值，利用配方法得出0，根据判别式的意义即可证明； （2）由于二次函数 2 (5)1yxkxk 的图象不经过第三象限，又=（k5）24（1k）=（k3） 2+120，
37、所以抛物线的顶点在 x 轴的下方经过一、二、四象限，根据二次项系数知道抛物线开口向上，由 此可以得出关于 k 的不等式组，解不等式组即可求解； （3）设方程的两个根分别是 x1，x2，根据题意得（x13） （x23）0，根据一元二次方程根与系数的关系 求得 k 的取值范围，再进一步求出 k 的最大整数值 试题解析： （1）证明：=（k5）24（1k）=k26k+21=（k3）2+120，无论 k 为何值，方程总 有两个不相等实数根； （2）解：二次函数 2 (5)1yxkxk 的图象不经过第三象限，二次项系数 a=1，抛物线开口 方向向上，=（k3） 2+120，抛物线与 x 轴有两个交点，设
38、抛物线与 x 轴的交点的横坐标分别为 x 1， x2，x1+x2=5k0，x1x2=1k0，解得 k1，即 k 的取值范围是 k1； （3）解：设方程的两个根分别是 x1，x2，根据题意，得（x13） （x23）0，即 x1x23（x1+x2）+90， 又 x1+x2=5k，x1x2=1k，代入得，1k3（5k）+90，解得 k 5 2 则 k 的最大整数值为 2 点睛：本题考查了抛物线与 x 轴的交点，二次函数的图象和性质，二次函数与一元二次方程的关系，根的 判别式，根与系数的关系，综合性较强，难度适中 考点：1抛物线与 x 轴的交点；2根的判别式；3根与系数的关系；4二次函数的性质 30
39、（2017 湖北省鄂州市）关于 x 的方程032) 12( 22 kkxkx有两个不相等的实数根 （1）求实数 k 的取值范围； （2）设方程的两个实数根分别为 1 x、 2 x，存不存在这样的实数 k，使得5| 21 xx？若存在，求出这 样的 k 值；若不存在，说明理由 【答案】 （1） k11 4 ； （2）4 【解析】 试题解析： （1）方程有两个不相等的实数根，=（2k1）24（k22k+3）=4k110，解得：k 11 4 ； （2）存在， 12 21xxk， 2 12 23x xkk=（k1）2+20，将5| 21 xx两边平方可得 22 11 22 25xx xx， 即 2 1
40、21 2 ()45xxxx， 代入得： 22 (21)4(23)5kkk， 解得： 4k11=5， 解得：k=4 考点：1根与系数的关系；2根的判别式 31 （2017 重庆）某地大力发展经济作物，其中果树种植已初具规模，今年受气候、雨水等因素的影响，樱 桃较去年有小幅度的减产，而枇杷有所增产 （1）该地某果农今年收获樱桃和枇杷共 400 千克，其中枇杷的产量不超过樱桃产量的 7 倍，求该果农今年 收获樱桃至少多少千克？ （2） 该果农把今年收获的樱桃、 枇杷两种水果的一部分运往市场销售， 该果农去年樱桃的市场销售量为 100 千克，销售均价为 30 元/千克，今年樱桃的市场销售量比去年减少了
41、 m%，销售均价与去年相同，该果农去 年枇杷的市场销售量为 200 千克，销售均价为 20 元/千克，今年枇杷的市场销售量比去年增加了 2m%，但 销售均价比去年减少了 m%，该果农今年运往市场销售的这部分樱桃和枇杷的销售总金额与他去年樱桃和枇 杷的市场销售总金额相同，求 m 的值 【答案】 （1）50； （2）12.5 【解析】 试题解析： （1）设该果农今年收获樱桃 x 千克，根据题意得：400 x7x，解得：x50 答：该果农今年收获樱桃至少 50 千克； （2）由题意可得： 100（1m%）30+200（1+2m%）20（1m%）=10030+20020，令 m%=y，原方程可化为：3
42、000 （1y） +4000 （1+2y） （1y） =7000， 整理可得： 8y2y=0， 解得： y1=0， y2=0.125， m1=0 （舍去） ， m2=12.5， m2=12.5 答：m 的值为 12.5 点睛：此题主要考查了一元一次不等式的应用以及一元二次方程的应用，正确表示出水果的销售总金额是 解题关键 考点：1一元二次方程的应用；2一元一次不等式的应用 32 （2017 黑龙江省绥化市）已知关于 x 的一元二次方程 22 (21)40 xmxm （1）当 m 为何值时，方程有两个不相等的实数根？ （2）若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的 2 倍，求 m 的
43、值 【答案】 （1）m17 4 ； （2）m=4 【解析】 （2）设方程的两根分别为 a、b，根据题意得：a+b=2m1，ab= 2 4m 2a、2b 为边长为 5 的菱形的两条对角线的长， 222 ()2ababab= 22 ( 21)2(4)mm =2m2+4m+9=52=25，解得：m=4 或 m=2 a0，b0，a+b=2m10，m=4 若边长为 5 的菱形的两条对角线的长分别为方程两根的 2 倍，则 m 的值为4 点睛：本题考查了根的判别式、根与系数的关系、菱形的性质以及解一元二次方程，解题的关键是： （1） 根据方程的系数结合根的判别式，找出=4m+170； （2）根据根与系数的关
44、系结合菱形的性质，找出关于 m 的一元二次方程 考点：1根的判别式；2根与系数的关系；3菱形的性质 33 （2017 江苏省镇江市）如图，RtABC 中，B=90，AB=3cm，BC=4cm点 D 在 AC 上，AD=1cm， 点 P 从点 A 出发，沿 AB 匀速运动；点 Q 从点 C 出发，沿 CBAC 的路径匀速运动两点同时出发， 在 B 点处首次相遇后，点 P 的运动速度每秒提高了 2cm，并沿 BCA 的路径匀速运动；点 Q 保持速度不 变，并继续沿原路径匀速运动，两点在 D 点处再次相遇后停止运动，设点 P 原来的速度为 xcm/s （1）点 Q 的速度为 cm/s（用含 x 的代
45、数式表示） （2）求点 P 原来的速度 【答案】 （1） 4 3 x； （2） 6 5 cm/s 【解析】 点睛：本题考查了分式方程的应用，勾股定理，正确的理解题意是解题的关键 考点：一元二次方程的应用 【2016 年题组】年题组】 一、选择题 1 （2016 天津市）方程 2 120 xx的两个根为（ ） A 1 2x ， 2 6x B 1 6x ， 2 2x C 1 3x ， 2 4x D 1 4x ， 2 3x 【答案】D 【解析】 试题分析： 2 120 xx，（x+4） （x3）=0，则 x+4=0，或 x3=0，解得： 1 4x ， 2 3x 故 选 D 考点：解一元二次方程-因式
46、分解法 2（2016 四川省乐山市）若 t 为实数，关于 x 的方程 2 420 xxt 的两个非负实数根为 a、b，则代 数式 22 (1)(1)ab的最小值是（ ） A15 B16 C15 D16 【答案】A 【解析】 考点：1根与系数的关系；2配方法；3最值问题 3（2016 山东省泰安市）一元二次方程 22 (1)2(1)7xx的根的情况是（ ） A无实数根 B有一正根一负根 C有两个正根 D有两个负根 【答案】C 【解析】 试题分析： 22 (1)2(1)7xx， 22 21 2(21)7xxxx ，整理得： 2 680 xx，则 2 680 xx， （x4） （x2）=0，解得：
47、1 4x ， 2 2x ，故方程有两个正根故选 C 考点：1根的判别式；2解一元二次方程-因式分解法；3根与系数的关系；4抛物线与 x 轴的交点 4 （2016 广东省深圳市）给出一种运算：对于函数 n yx，规定 y= 1n nx 例如：若函数 4 yx，则有 y= 3 4x已知函数 3 yx，则方程 y=12 的解是（ ） A 1 x=4， 2 x =4 B 1 x=2， 2 x =2 C 1 x= 2 x=0 D 1 2 3x ， 2 2 3x 【答案】B 【解析】 试题分析：由函数 3 yx得 n=3，则 y= 2 3x， 2 312x ， 2 4x ，x=2，故选 B 考点：1解一元二次方程-直接开平方法；2新定义 5 （2016 贵州省六盘水市）用配方法解一元二次方程 2 430 xx时，原方程可变形为（ ） A 2 (2)1x B 2 (2)7x C 2 (2)13x D 2 (2)19x 【答案】B 【解析】 试题分析： 2 43xx， 2 4434xx， 2 (2)7x故选 B 考点：解一元二次方程-配方法 6 （2016 湖北省荆门市）已知 3 是关于 x 的方程 2 (1)20 x
