1、专题五专题五 解析几何解析几何 微专题微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 大题考法大题考法 1 定点问题定点问题 (2020 三湘名校教育联盟第二次联考三湘名校教育联盟第二次联考)在平面在平面 直角坐标系直角坐标系 xOy 中，中，M 为直线为直线 yx2 上动点，过点上动点，过点 M 作抛物线作抛物线 C： x2y 的两条切线的两条切线 MA， MB， 切点分别为， 切点分别为 A， B，N 为为 AB 的中点的中点 (1)证明：证明：MNx 轴；轴； (2)直线直线 AB 是否恒过定点？若是
2、， 求出这个定点的坐是否恒过定点？若是， 求出这个定点的坐 标；若不是，请说明理由标；若不是，请说明理由 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 (1)证明：证明：设切点设切点 A(x1，x2 1)， ，B(x2，x2 2)， ，y2x， 所以切线所以切线 MA 的斜率为的斜率为 2x1，切线，切线 MA：yx2 1 2x1(x x1)， 设设 M(t，t2)，则有，则有 t2x2 1 2x1(tx1)，化简得，化简得 x2 1 2tx1t20， 同理可得同理可得 x2 2 2tx2t20. 所以所以 x1，x2是方程是方程 x22txt20 的两根，所以的两根，所以 x1 x
3、22t，x1x2t2， xNx 1 x2 2 txM，所以，所以 MNx 轴轴 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 (2)解：解： 因为因为 yN1 2(x 2 1 x2 2) 1 2(x1 x2)2x1x22t2t2， 所以所以 N(t，2t2t2) 因为因为 kABx 2 1 x2 2 x1x2 x1x22t，所以直线，所以直线 AB：y(2t2 t2)2t(xt)，即，即 y22t x1 2 ，所以直线，所以直线 AB 过定点过定点 1 2， ，2 . 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 1解决圆锥曲线中定点问题的基本方法解决圆锥曲线中定点问题的基
4、本方法 (1)假设定点的坐标，根据题意选择参数，建立一个直假设定点的坐标，根据题意选择参数，建立一个直 线系或曲线系方程，而该方程与参数无关时得到一个关于线系或曲线系方程，而该方程与参数无关时得到一个关于 定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所定点坐标的方程组，以这个方程组的解为坐标的点即为所 求的定点求的定点 (2)从特殊位置入手，找出定点，再证明该点满足条件从特殊位置入手，找出定点，再证明该点满足条件 2解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点解决圆锥曲线中的定点问题应注意以下几点 (1)分清题目中哪些量是定的，哪些量是变动的分清题目中哪些量是定的，哪些量是变动的 微专题4 圆锥
5、曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 (2)注意注意“设而不求设而不求”思想的应用，引入参变量，最后思想的应用，引入参变量，最后 看能否把变量消去看能否把变量消去 (3)“先猜后证先猜后证” ，也就是利用特殊情况确定定点，然后，也就是利用特殊情况确定定点，然后 验证，这样在整理式子时就有了明确的方向验证，这样在整理式子时就有了明确的方向 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 (2020 石嘴山市第三中学模拟石嘴山市第三中学模拟)已知已知 F 是抛物线是抛物线 C：y2 2px(p0)的焦点，点的焦点，点 M(x0，4)在抛物线上，且在抛物线上，且|MF|5 4x0. (1
6、)求抛物线求抛物线 C 的标准方程；的标准方程； (2)若若 A、B 是抛物线是抛物线 C 上的两个动点，且上的两个动点，且 OAOB，O 为坐标原点，求证：直线为坐标原点，求证：直线 AB 过定点过定点 (1)解：解：由题意得，由题意得，|MF|x0p 2 5 4x0，解得 ，解得 x02p， 因为点因为点 M(x0，4)在抛物线在抛物线 C 上，则上，则 422px04p2，解，解 得得 p24， 又又 p0，所以，所以 p2，即，即拋拋物线物线 C 的标准方程为的标准方程为 y24x. 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 (2)证明：证明：设设 A(x1，y1)，B(
7、x2，y2)，因为，因为 OAOB，所，所 以以OA OB 0，即得，即得 x1x2y1y20， 因为点因为点 A、B 在抛物线在抛物线 C 上，所以上，所以 y2 1 4x1，y2 2 4x2， 代入得代入得（ （y1y2）2 16 y1y20， 因为， 因为 y1y20， 则， 则 y1y216， 设直线设直线 AB 的方程为的方程为 xmyn，联立，联立 x myn， y24x， 得得 y24my4n0， 则则 y1y24n，所以，所以 n4，所以直线，所以直线 AB 的方程为的方程为 x my4，过定点，过定点(4，0) 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 大题考法
8、大题考法 2 定值问题定值问题 (2020 太原五中月考太原五中月考)已知椭已知椭 圆圆 C 的对称中心为原点的对称中心为原点 O，焦点在，焦点在 x 轴轴 上，焦距为上，焦距为 2 6，点，点(2，1)在该椭圆上在该椭圆上 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)直线直线 x2 与椭圆交于与椭圆交于 P，Q 两点，两点，P 点位于第一象点位于第一象 限，限，A，B 是椭圆上位于直线是椭圆上位于直线 x2 两侧的动点当点两侧的动点当点 A，B 运动时，满足运动时，满足APQBPQ，问直线，问直线 AB 的斜率是否为定的斜率是否为定 值，值，请说明理由请说明理由 微专题4 圆锥曲线中的定
9、点、定值、存在性问题 对点训练 解：解：(1)因为椭圆因为椭圆 C 的对称中心为原点的对称中心为原点 O，焦点在，焦点在 x 轴上，轴上， 所以设椭圆方程为所以设椭圆方程为x 2 a2 y 2 b2 1 ，因为焦距为，因为焦距为 2 6， 所以所以 c 6，焦点坐标，焦点坐标 F1( 6，0)，F2( 6，0) 又因为点又因为点(2，1)在该椭圆上，代入椭圆方程得在该椭圆上，代入椭圆方程得 所以所以 4 a2 1 b2 1，即，即 4 a2 1 a26 1，解得，解得 a28，所以，所以 b22， 则椭圆则椭圆 C 的方程为的方程为x 2 8 y 2 2 1. 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值
10、、存在性问题 对点训练 (2)将将 x2 代入椭圆方程可得代入椭圆方程可得4 8 y 2 2 1，解得，解得 y 1， 则则 P(2，1)，Q(2，1)， 当点当点 A，B 运动时，满足运动时，满足APQBPQ，则直线，则直线 PA 与直线与直线 PB 的斜率互为相反数，的斜率互为相反数， 不妨设不妨设 kPAk0，则，则 kPBk，(k0) ，所以直线，所以直线 PA 的方程为的方程为 y1k(x2)， 联立联立 y1k（x2），）， x2 8 y 2 2 1， 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 解得解得 (14k2)x2(8k16k2)x16k216k40 因为因为
11、2， x1是该方程的两根， 所以是该方程的两根， 所以 2x116k 2 16k4 14k2 ， 即即 x18k 2 8k2 14k2 ， 同理直线同理直线 PB 的方程为的方程为 ykx2k1 且且 x2 8k28k2 14k2 所以所以 x1x216k 2 4 14k2 ，x1x2 16k 14k2， ， 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 所以所以 kAB y1y2 x1x2 k（ （x1x2）4k x1x2 1 2，即直线 ，即直线 AB 的斜率为定值的斜率为定值 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 1求定值问题常见的两种方法求定值问题常见的两种
12、方法 (1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无 关关 (2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变 量，从而得到定值量，从而得到定值 2定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决定值问题求解的基本思路是使用参数表示要解决 的问题， 然后证明与参数无关， 这类问题选择消元的方向的问题， 然后证明与参数无关， 这类问题选择消元的方向 是非常关键的是非常关键的 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 (2020 泰安第三次模拟泰安第三次模拟)已知椭圆已知椭圆x 2 a2 y 2 b2 1(
13、ab0)的的 右顶点为右顶点为 A，上，上顶点为顶点为 B，O 为坐标原点，点为坐标原点，点 O 到直线到直线 AB 的距离为的距离为2 5 5 ，OAB 的面积为的面积为 1. (1)求椭圆的标准方程；求椭圆的标准方程； (2)直线直线 l 与椭圆交于与椭圆交于 C， D 两点， 若直线两点， 若直线 l直线直线 AB， 设直线设直线 AC，BD 的斜率分别为的斜率分别为 k1，k2证明：证明：k1 k2为定值为定值 (1)解：解：由椭圆由椭圆x 2 a2 y 2 b2 1(ab0)的右顶点为的右顶点为 A(a，0)， 上顶点为上顶点为 B(0，b)， 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在
14、性问题 对点训练 可得直线可得直线 AB 的方程为的方程为x a y b 1，即，即 bxayab0, 则点则点 O 到直线到直线 AB 的距离的距离 ab a2b2 2 5 5 ，即，即 4a24b25a2b2, 因为三角形因为三角形 OAB 的面积为的面积为 1，所以，所以1 2ab 1，即，即 ab 2. 由由， 可解得， 可解得 a2， b1, 所以椭圆的标准方程为所以椭圆的标准方程为 x2 4 y21. 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 (2)证明：证明：由由(1)可得可得 x2y20，所以直线，所以直线 AB 的斜率的斜率 为为1 2， ， 设直线设直线 l
15、的方程为的方程为 y1 2x t，C(x1，y1)，D(x2，y2) 联立方程组联立方程组 y 1 2x t， x2 4 y21， 整理得整理得 2y22tyt210. 则则 y1y2t，y1y2t 2 1 2 ，所以，所以 k1 k2 y1 x12 y21 x2 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 y1y2y1 x1x22x2， ， 所以所以 x1x22x24(ty1)(ty2)4(ty2)4t2t(y1 y2)y1y2ty24(y1y2)2(y1y2)(y1y2)y1y2(y1 y2)y24(y1y2y1)， 所以所以 k1 k2 y1y2y1 4（y1y2y1） 1
16、4，即 ，即 k1k21 4为定值 为定值 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 大题考法大题考法 3 存在性问题存在性问题 (2020 武汉市外国语学校模拟武汉市外国语学校模拟)已知椭圆已知椭圆 C： x2 a2 y 2 b2 1(ab0)的两个焦点分别为的两个焦点分别为 F1，F2，且，且 F1是圆是圆 x2y24 2x 70 的圆心，点的圆心，点 H 的坐标为的坐标为(0，b)，且，且HF1F2的面积为的面积为 2 2. (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)是否存在直线是否存在直线 y2xt 与椭圆与椭圆 C 相交于相交于 M， N 两点， 使两点， 使 得
17、直线得直线 HM 与与 HN 的斜率之和为的斜率之和为 1？若存在，求此时的直线方？若存在，求此时的直线方 程；若不存在，请说明理由程；若不存在，请说明理由 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 解：解：(1)由由 x2y24 2x70，可得，可得(x2 2)2y21， 则圆心坐标为则圆心坐标为(2 2，0)，即，即 F1(2 2，0)，所以半焦距，所以半焦距 c 2 2. 因为因为HF1F2的面积为的面积为 2 2， 所以， 所以1 2 b 2c 2 2， 所以， 所以 b1， 所以所以 a2b2c29，所以椭圆，所以椭圆 C 的方程为的方程为x 2 9 y21. (2)假
18、设存在这样的直线满足题设条件， 设假设存在这样的直线满足题设条件， 设 M(x1， y1)， N(x2， y2) 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 联立联立 y2xt， x2 9 y21，消去 消去 y 可得可得 37x236tx9(t21)0， 所以所以 (36t)24379(t21)0，解得，解得 37tb0) 的离心率为的离心率为 3 2 ，直线，直线 l：xy20 与以原点为圆心、椭与以原点为圆心、椭 圆圆 C 的短半轴长为半径的圆的短半轴长为半径的圆 O 相切相切 (1)求椭圆求椭圆 C 的方程；的方程； (2)是否存在直线与椭圆是否存在直线与椭圆 C 交于交于
19、 A，B 两点，交两点，交 y 轴轴 于点于点 M(0， m)， 使， 使|OA 2OB |OA 2OB |成立？若存在，成立？若存在， 求出实数求出实数 m 的取值范围；若不存在，请说明理由的取值范围；若不存在，请说明理由 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 解：解：(1)由已知得由已知得 a2b2c2， b 2， c a 3 2 ， 解方程组得解方程组得 a2 2，b 2，c 6， 所以椭圆所以椭圆 C1的方程为的方程为x 2 8 y 2 2 1. (2)假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在，假设存在这样的直线，由已知可知直线的斜率存在， 设直线方程为设直线方程
20、为 ykxm， 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 由由 ykxm， x2 8 y 2 2 1， 得得(4k21)x28kmx4m280， 16(8k2m22)0，(*) 设设A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则， 则x1x2 8km 4k21， ， x1x24m 2 8 4k21 ， y1y2(kx1m)(kx2m)k2x1x2km(x1x2)m2 m28k2 4k21 ， 微专题4 圆锥曲线中的定点、定值、存在性问题 对点训练 由由|OA 2OB |OA 2OB |，得，得OA OB ，即，即OA OB 0， 即即 x1x2y1y20， 故故 8k25m280，结合，结合(*)式，解得式，解得 m2 10 5 或或 m 2 10 5 . 谢谢观赏谢谢观赏 专专 题题 强强 化化 练练
