1、富宁一中 高中数学必修 1 至必修 5 知识点总结（复习专用） 人教版 - 1 - 必修必修 1 1 第一章第一章 集合与函数概念集合与函数概念 一、集合有关概念 1、集合的含义：某些指定的对象集在一起就成为一个集合，其中每一个对象叫元素。 2、集合的中元素的三个特性： 1.元素的确定性；2.元素的互异性；3.元素的无序性 非负整数集（即自然数集）记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 关于“属于”的概念 集合的元素通常用小写的拉丁字母表示，如：a 是集合 A 的元素，就说 a 属于集合 A 记作 aA ， 相反，a 不属于集合 A 记作 aA 二、集合间的基本
2、关系 任何一个集合是它本身的子集。AA 真子集:如果 AB,且 B A 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。 三、集合的运算 1交集的定义：一般地，由所有属于 A 且属于 B 的元素所组成的集合,叫做 A,B 的交集(即找公 共部分)记作 AB(读作”A 交 B”)，即 AB=x|xA，且 xB 2、并集的定义：一般地，由所有属于集合 A 或属于集合 B 的元素所组成的集合，叫做 A,B 的并集。 （即 A 和 B 中所有的元素）记作：AB(读作”A 并 B”)，即
3、 AB=x|xA，或 xB 4、全集与补集 （1）补集：设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集（即 ） ，由 S 中所有不属于 A 的元素组成的集合， 叫做 S 中子集 A 的补集（或余集） （即除去 A 剩下的元素组成的集合） 四、函数的有关概念 定义域补充 能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域，求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零；(4)指数、 对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么， 它的 定义域是使各部分都有意义的
4、x 的值组成的集合.（6）指数为零底不可以等于零 (6)实际问题中的函数的 定义域还要保证实际问题有意义. (又注意：求出不等式组的解集即为函数的定义域。) 构成函数的三要素：定义域、对应关系和值域 4了解区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间； （2）无穷区间； （3）区间的数轴表示 7函数单调性 （1） 增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I， 如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量 a， b， 当 ab 时， 都有 f(a)f(b)，那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数。区间 D 称为 y=f(x)的单调增区间（睇清楚课本单调 区间的概念）
5、如果对于区间 D 上的任意两个自变量的值 a，b，当 ab 时，都有 f(a)f(b)，那么就说 f(x)在这个 区间上是减函数.区间 D 称为 y=f(x)的单调减区间. 注意：1 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，是函数的局部性质； 2 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 a，b；当 ab 时，总有 f(a)f(b) 。 （2） 图象的特点 如果函数 y=f(x)在某个区间是增函数或减函数，那么说函数 y=f(x)在这一区间上具有(严格的)单调 性，在单调区间上增函数的图象从左到右是上升的，减 函数的图象从左到右是下降的. (3).函数单调区间与单调性的判定方法 (A) 定义
6、法：任取 a，bD，且 a1 0a1 0a L A B 公理 1 作用：判断直线是否在平面内. （2）公理 2：过不在一条直线上的三点，有且只有一个平面。 符号表示为：A、B、C 三点不共线 = 有且只有一个平面， 使 A、B、C。 公理 2 作用：确定一个平面的依据。 （3）公理 3：如果两个不重合的平面有一个公共点，那么它们有且只有一条过该点的公共直线。 符号表示为：P =L，且 PL 公理 3 作用：判定两个平面是否相交的依据. 2.1.2 空间中直线与直线之间的位置关系 1 空间的两条直线有如下三种关系： 相交直线：同一平面内，有且只有一个公共点； L A P L 共面直线 富宁一中
7、高中数学必修 1 至必修 5 知识点总结（复习专用） 人教版 - 7 - 平行直线： 同一平面内，没有公共点； 异面直线： 不同在任何一个平面内，没有公共点。 2 公理 4：平行于同一条直线的两条直线互相平行。 符号表示为：设 a、b、c 是三条直线 ab cb 强调：公理 4 实质上是说平行具有传递性，在平面、空间这个性质都适用。 公理 4 作用：判断空间两条直线平行的依据。 3 等角定理：空间中如果两个角的两边分别对应平行，那么这两个角相等或互补. 4 注意点： a与 b所成的角的大小只由 a、b 的相互位置来确定，与O的选择无关， 为了简便，点O一般取在两直线中的一条上； 两条异面直线所
8、成的角(0， 2 )； 当两条异面直线所成的角是直角时，我们就说这两条异面直线互相垂直，记作 ab； 两条直线互相垂直，有共面垂直与异面垂直两种情形； 计算中，通常把两条异面直线所成的角转化为两条相交直线所成的角。 2.1.3 2.1.4 空间中直线与平面、平面与平面之间的位置关系 1、直线与平面有三种位置关系： （1）直线在平面内 有无数个公共点 （2）直线与平面相交 有且只有一个公共点 （3）直线在平面平行 没有公共点 指出：直线与平面相交或平行的情况统称为直线在平面外，可用 a 来表示 a a=A a 2.2.直线、平面平行的判定及其性质 2.2.1 直线与平面平行的判定 1、直线与平面
9、平行的判定定理：平面外一条直线与此平面内的一条直线平行，则该直线与此平面平 行。 简记为：线线平行，则线面平行。 符号表示： a b = a ab 2.2.2 平面与平面平行的判定 1、两个平面平行的判定定理：一个平面内的两条交直线与另一个平面平行，则这两个平面平行。 符号表示： a b ab = P = a =ac 富宁一中 高中数学必修 1 至必修 5 知识点总结（复习专用） 人教版 - 8 - b 2、判断两平面平行的方法有三种： （1）用定义； （2）判定定理； （3）垂直于同一条直线的两个平面平行。 2.2.3 2.2.4 直线与平面、平面与平面平行的性质 1、直线与平面平行的性质定
10、理：一条直线与一个平面平行，则过这条直线的任一平面与此平面的交 线与该直线平行。 简记为：线面平行则线线平行。 符号表示： a a = ab = b 作用：利用该定理可解决直线间的平行问题。 2、两个平面平行的性质定理：如果两个平行的平面同时与第三个平面相交，那么它们的交线平行。 符号表示： = a = ab = b 作用：可以由平面与平面平行得出直线与直线平行 2.3 直线、平面垂直的判定及其性质 2.3.12.3.1 直线与平面垂直的判定直线与平面垂直的判定 1、定义：如果直线 L 与平面内的任意一条直线都垂直，我们就说直线 L 与平面互相垂直，记作 L ，直线 L 叫做平面的垂线，平面叫
11、做直线 L 的垂面。如图，直线与平面垂直时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。 P a L 2、直线与平面垂直的判定定理：一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直，则该直线与此平面 垂直。 注意点： a)定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视； b)定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学思想。 2.3.2 平面与平面垂直的判定 1、二面角的概念：表示从空间一直线出发的两个半平面所组成的图形 A 梭 l B 2、二面角的记法：二面角-l-或-AB- 3、两个平面互相垂直的判定定理：一个平面过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直。 2.3.3 2.3.4 直线与平面、平面与平面
12、垂直的性质 1、直线与平面垂直的性质定理：垂直于同一个平面的两条直线平行。 2、两个平面垂直的性质定理： 两个平面垂直，则一个平面内垂直于交线的直线与另一个平面垂直。 第三章第三章 直线与方程直线与方程 （1）直线的倾斜角 富宁一中 高中数学必修 1 至必修 5 知识点总结（复习专用） 人教版 - 9 - 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角。特别地，当直线与x轴平行或重合时, 我们规定它的倾斜角为 0 度。因此，倾斜角的取值范围是 0180 （2）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90的直线，它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率。直线的斜率常用 k 表示。 即tank。斜率反映直
13、线与轴的倾斜程度。 当直线 l 与 x 轴平行或重合时, =0, k = tan0=0; 当直线 l 与 x 轴垂直时, = 90, k 不存在. 当 90,0时，0k； 当 180,90时，0k； 当 90时，k不存在。 过两点的直线的斜率公式：)( 21 12 12 xx xx yy k （ P1(x1,y1),P2(x2,y2),x1x2） 注意下面四点：(1)当 21 xx 时，公式右边无意义，直线的斜率不存在，倾斜角为 90； (2)k与P1、P2的顺序无关； (3)以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得； (4)求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到。 （3）
14、直线方程 点斜式：)( 11 xxkyy直线斜率k，且过点 11, y x 注意：当直线的斜率为 0时，k=0，直线的方程是y=y1。 当直线的斜率为 90时，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示但因l上每一点的横坐标 都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式：bkxy，直线斜率为k，直线在y轴上的截距为b 两点式： 11 2121 yyxx yyxx （ 1212 ,xxyy）直线两点 11, y x， 22,y x 截矩式：1 xy ab 其中直线l与x轴交于点( ,0)a,与y轴交于点(0, )b,即l与x轴、y轴的截距分 别为, a b。 一般式：0CByAx（A，B不全为
15、0） 注意： 1 各式的适用范围 2 特殊的方程如： 平行于x轴的直线：by （b为常数） ； 平行于y轴的直线：ax（a为常数） ； （6）两直线平行与垂直 当 111: bxkyl， 222 :bxkyl时， 212121 ,/bbkkll； 1 2121 kkll 注意：利用斜率判断直线的平行与垂直时，要注意斜率的存在与否。 （7）两条直线的交点 0: 1111 CyBxAl 0: 2222 CyBxAl相交 富宁一中 高中数学必修 1 至必修 5 知识点总结（复习专用） 人教版 - 10 - 交点坐标即方程组 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一组解。 方程组无解 21
16、/l l ； 方程组有无数解 1 l与 2 l重合 （8）两点间距离公式：设 1122 (,),A x yB xy，（）是平面直角坐标系中的两个点， 则 22 2121 |()()ABxxyy （9）点到直线距离公式：一点 00,y xP到直线0: 1 CByAxl的距离 22 00 BA CByAx d （10）两平行直线距离公式 已知两条平行线直线 1 l和 2 l的一般式方程为 1 l：0 1 CByAx， 2 l：0 2 CByAx，则 1 l与 2 l的距离为 22 21 BA CC d 第四章第四章 圆与方程圆与方程 1、圆的定义：平面内到一定点的距离等于定长的点的集合叫圆，定点为
17、圆心，定长为圆的半径。 2、圆的方程 （1）标准方程 2 22 rbyax，圆心ba,，半径为 r； 点 00 (,)M xy与圆 222 ()()xaybr的位置关系： 当 22 00 ()()xayb 2 r，点在圆外 当 22 00 ()()xayb= 2 r，点在圆上 当 22 00 ()()xaybb 解的讨论； 一元二次不等式 ax 2+bx+c0(a0)解的讨论. 0 0 0 二次函数 cbxaxy 2 （0a）的图 象 一元二次方程 的根0 0 2 a cbxax 有两相异实根 )(, 2121 xxxx 有两相等实根 a b xx 2 21 无实根 的解集)0( 0 2 a
18、cbxax 21 xxxxx或 a b xx 2 R 的解集)0( 0 2 a cbxax 21 xxxx 对于 a0 的不等式可以先把 a 化为正后用上表来做即可。 11、设a、b是两个正数，则 2 ab 称为正数a、b的算术平均数，ab称为正数a、b的几何平均数 12、均值不等式定理均值不等式定理： 若0a，0b，则2abab，即 2 ab ab 13、常用的基本不等式常用的基本不等式： 22 2,abab a bR； 22 , 2 ab aba bR ； 2 0,0 2 ab abab ； 2 22 , 22 abab a bR 14、极值定理：设x、y都为正数，则有： 若xys（和为定值） ， 则当xy时， 积xy取得最大值 2 4 s 若xyp（积为定值） ， 则当xy 时，和xy取得最小值2 p
