1、解析几何解析几何(9) 12020 山东夏津一中月考已知圆 C 的圆心在直线 xy10 上，半径为 5，且圆 C 经过点 P(2,0)和点 Q(5,1) (1)求圆 C 的标准方程； (2)求过点 A(3,0)且与圆 C 相切的切线方程 22020 四川省南充市高考适应性考试 如图所示，已知抛物线 C：y24x 的焦点为 F，直线 l 经过点 F 且与抛物线 C 相交于 A， B 两点 (1)若线段 AB 的中点在直线 y2 上，求直线 l 的方程； (2)若线段|AB|20，求直线 l 的方程 32020 唐山市高三年级摸底考试已知 F 为抛物线 C：x212y 的焦点，直线 l：ykx 4
2、 与 C 相交于 A，B 两点 (1)O 为坐标原点，求 OA OB； (2)M 为 C 上一点，F 为ABM 的重心(三边中线的交点)，求 k. 4.2020 南昌市高三年级摸底测试卷在平面直角坐标系 xOy 中，已知 Q(1,2)，F(1,0)， 动点 P 满足|PQ O F|P F|. (1)求动点 P 的轨迹 E 的方程； (2)过点 F 的直线与 E 交于 A，B 两点，记直线 QA，QB 的斜率分别为 k1，k2，求证：k1 k2为定值 5 2020 黄冈中学、 华师附中等八校第一次联考已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)过点(2,1)， 且离心率 e 3 2 . (
3、1)求椭圆 C 的方程； (2)已知斜率为1 2的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 A，B，点 P 的坐标为(2,1)，设直线 PA 与 PB 的倾斜角分别为 ，证明：. 62019 北京卷已知抛物线 C：x22py 经过点(2，1) (1)求抛物线 C 的方程及其准线方程； (2)设 O 为原点，过抛物线 C 的焦点作斜率不为 0 的直线 l 交抛物线 C 于两点 M，N，直 线 y1 分别交直线 OM，ON 于点 A 和点 B.求证：以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的两个定 点 解析几何解析几何(9) 1解析：(1)设圆 C：(xa)2(yb)225，点 C 在直线 xy10 上，
4、 则有 ab10.圆 C 经过点 P(2,0)和点 Q(5,1)，则 2a20b225， 5a21b225， 解得 a2，b3.所以圆 C：(x2)2(y3)225. (2)设所求直线为 l.若直线 l 的斜率不存在，则直线 l 的方程是 x3，与圆 C 相切，符 合题意 若直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为 yk(x3)，即 kxy3k0. 由题意知，圆心 C(2，3)到直线 l 的距离等于半径 5，即|2k33k| k21 5，解得 k 8 15， 故切线方程是 y 8 15(x3) 综上，所求切线方程是 x3 或 8x15y240. 2解析：(1)由已知，得抛物线的焦点为 F(1
5、,0) 因为线段 AB 的中点在直线 y2 上， 所以直线 l 的斜率存在，设直线 l 的斜率为 k，A(x1，y1)，B(x2，y2)，AB 的中点 M(x0， y0)，由 y214x1， y224x2， 得(y1y2)(y1y2)4(x1x2)，所以 2y0k4. 又 y02，所以 k1， 故直线 l 的方程是 yx1. (2)设直线 l 的方程为 xmy1，与抛物线方程联立得 xmy1， y24x， 消去 x，得 y24my 40， 所以 y1y24m，y1y24，16(m21)0. |AB| m21|y1y2| m21 y1y224y1y2 m21 4m244 4(m21) 所以 4(
6、m21)20，解得 m 2， 所以直线 l 的方程是 x 2y1，即 x 2y10. 3解析：(1)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，将 l 的方程代入 C 得，x212kx480，所以 x1 x212k，x1x248，y1y2x1x2 2 122 16，从而 OA OBx 1x2y1y232. (2)依题意得 F(0,3)，设 M(x3，y3)，因为 F 为ABM 的重心，所以 x1x2x30，y1 y2y39，从而 x3(x1x2)12k，y39(y1y2)9x 2 1x 2 2 12 9x1x2 22x 1x2 12 1 12k2.因为 M(x3，y3)在抛物线 C 上，所以(12
7、k)212(112k2)，即 k2 1 24.故 k 6 12或 6 12. 4 解析： (1)设 P(x， y)， 则 PQ (1x,2y)， P F(1x， y) O F(1,0)， 由|PQ OF |P F |得|1x| 1x2y2，化简得 y24x，即动点 P 的轨迹 E 的方程为 y24x. (2)设过点 F(1,0)的直线方程为 xmy1， A(x1， y1)， B(x2， y2) 由 xmy1 y24x 得 y24my 40，y1y24m，y1y24.k1k2y12 x11 y22 x21，x1my11，x2my21，k1 k2 y12 my12 y22 my22 y12my22
8、y22my12 my12my22 2my1y222my1y28 m2y1y22my1y24 ， 将 y1y24m，y1y24 代入上式得，k1k28m 28 4m24 2，故 k1k2为定值2. 5解析：(1)由题意得 4 a2 1 b21 e1b 2 a2 3 2 ，解得 a28 b22 ，所以椭圆 C 的方程为x 2 8 y 2 2 1. (2)设直线 l：y1 2xm，联立方程，得 y1 2xm x2 8 y2 2 1 ，消去 y，得 x22mx2m240， 4m28m2160，解得2m2.当 m0 时，直线 l：y1 2x(点 P 在直线 l 上，舍去)，设 A(x1，y1)，B(x2
9、，y2)，则 x1x22m，x1 x22m24，由题意，易知直线 PA 与 PB 的斜率 均存在，所以 ， 2. 设直线 PA 与 PB 的斜率分别为 k1，k2，则 tan k1，tan k2，要证 ，即证 tan tan()tan ，只需证 k1k20，因为 k1y11 x12，k2 y21 x22，所以 k1k2 y11 x12 y21 x22 y11x22y21x12 x12x22 ，又 y11 2x1m，y2 1 2x2m，所以(y11)(x22)(y2 1)(x12)(1 2x1m1)(x22)( 1 2x2m1)(x12)x1 x2(m2)(x1x2)4(m1) 2m24(m2)
10、(2m)4(m1)0，所以 k1k20，故 . 6解析：(1)由抛物线 C：x22py 经过点(2，1)，得 p2. 所以抛物线 C 的方程为 x24y，其准线方程为 y1. (2)抛物线 C 的焦点为 F(0，1) 设直线 l 的方程为 ykx1(k0) 由 ykx1， x24y 得 x24kx40. 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则 x1x24. 直线 OM 的方程为 yy1 x1x. 令 y1，得点 A 的横坐标 xAx1 y1. 同理得点 B 的横坐标 xBx2 y2. 设点 D(0，n)，则DA x1 y1，1n ，DB x2 y2，1n ， DA DB x1x2 y1y2(n1) 2 x1x2 x 2 1 4 x 2 2 4 (n1)2 16 x1x2(n1) 2 4(n1)2. 令DA DB 0，即4(n1)20，得 n1 或 n3. 综上，以 AB 为直径的圆经过 y 轴上的定点(0,1)和(0，3)
