1、专题二 三角函数与解三角形 第 1 讲 三角函数的图象与性质 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 三角函数的最值 T16 高考对此部分内容主要以 选择、填空题的形式考查，难度 为中等偏下，大多出现在第 6 12 题或第 14、15 题位置上，命 题的热点主要集中在三角函数 的定义、图象与性质，主要考查 图象的变换，函数的单调性、奇 偶性、周期性、对称性及最值， 并常与三角恒等变换交汇命题. 卷 三角函数的单调性 T10 卷 三角函数图象的应用 T15 2017 卷 三角函数的图象变换 T9 卷 三角函数的最值 T14 卷 余弦函数的图象与性质 T6 2016 卷 三角函数的
2、图象变换与性质 T7 卷 同角三角函数的基本关系 T5 三角函 数的图象变换 T14 三角函数的定义、诱导公式及基本关系(基础型) 三角函数的定义 若角 的终边过点 P(x，y)，则 sin y r，cos x r， tan y x(其中 r x 2y2) 利用诱导公式进行化简求值的步骤 利用公式化任意角的三角函数为锐角三角函数，其步骤：去负脱周化锐特别注意 函数名称和符号的确定 注意 “奇变偶不变，符号看象限” 基本关系 sin2xcos2x1，tan xsin x cos x. 考法全练 1若 sin? ? ? ? 2 3 5，且 ? ? ? ? 2 ， ，则 tan()( ) A.4 3
3、 B.2 3 C2 3 D4 3 解析：选 A.由 sin? ? ? ? 2 cos 3 5，且 ? ? ? ? 2 ， ， 得 sin 1cos2 4 5， 所以 tan()tan sin cos 4 5 3 5 4 3. 2(2018 唐山模拟)已知 是第三象限的角，且 tan 2，则 sin? ? ? ? 4 ( ) A 10 10 B. 10 10 C3 10 10 D.3 10 10 解析：选 C.因为是第三象限的角，tan 2，则 ? ? ? ? ?sin cos tan ， sin2 cos2 1， 所以 cos 1 1tan2 5 5 ，sin 2 5 5 ，则 sin? ?
4、? ? 4 sin cos 4 cos sin 4 2 5 5 2 2 5 5 2 2 3 10 10 ，故选 C. 3已知 ? ? ? ? 2 ， ，则 12sin（）sin? ? ? ? 3 2 _ 解析：因为 12sin（）sin? ? ? ? 3 2 12sin cos （sin cos ）2|sin cos |，又 ? ? ? ? 2 ， ，所以原式sin cos . 答案：sin cos 4已知角 的顶点与原点重合，始边与 x 轴的正半轴重合，终边上一点 P(4，3)，则 cos? ? ? ? 2 sin（） cos? ? ? ? 11 2 sin? ? ? ? 9 2 的值为_
5、解析：因为 tan y x 3 4， 所以 cos? ? ? ? 2 sin() cos? ? ? ? 11 2 sin? ? ? ? 9 2 sin sin sin cos tan 3 4. 答案：3 4 5(2018 武汉调研)若 tan cos ，则 1 sin cos 4_ 解析：tan cos ? sin cos cos ?sin cos2，故 1 sin cos4 sin2cos2 sin cos4sin cos 2 sin cos 4sin sin sin sin 2sin2sin 1sin2cos21112. 答案：2 三角函数的图象与解析式(综合型) 函数 yAsin(x)的
6、图象 (1)“五点法”作图 设 zx，令 z0， 2 ，3 2 ，2，求出 x 的值与相应的 y 的值，描点、连线 可得 (2)图象变换 ysin x的图象 向左（0）或向右（0） 平移|个单位 ysin(x)的图象 横坐标变为原来的 1 （0）倍 纵坐标不变 ysin(x)的图象 纵坐标变为原来的A（A0）倍 横坐标不变 yAsin(x)的图象 典型例题 命题角度一 由“图”定“式” ( 一 题 多 解 ) 已 知 函 数f(x) 2sin(x )? ?x ? ? ? ? 12， 2 3 ， ? ? ? ? ? ? 0， 2 的图象如图所示，若 f(x1)f(x2)，且 x1x2，则 f(x
7、1x2)的值为( ) A0 B1 C. 2 D. 3 【解析】 法一：由 f(x)2sin(x)，x? ? ? ? 12， 2 3 的图象，得最小正周期 T2 4 3? ? ? ? 2 3 12 ， 所以 2， 所以 f(x)2sin(2x)， 将点? ? ? ? 2 3 ，2 代入， 得 sin? ? ? ? 4 3 1，又 ? ? ? ? 0， 2 ，解得 6 ，所以 f(x)2sin? ? ? ? 2x 6? ? ? ? x? ? ? ? 12， 2 3 ，由 f(x1) f(x2)得 sin ? ? ? ? 2x1 6 sin? ? ? ? 2x2 6 (x1，x2 ? ? ? ? ?
8、 ? 12， 2 3 ，x1x2，因为 x? ? ? ? 12， 2 3 ， 所以 02x 6 3 2 ，所以 2x1 6 2x2 6 ，所以 x1x2 3 ，所以 f(x1x2)2sin 5 6 1，故选 B. 法二： 由 f(x)2sin()x ， x? ? ? ? 12， 2 3 的图象， 得最小正周期 T2 4 3? ? ? ? 2 3 12 ，所以 2，所以 f(x)2sin(2x)，将点? ? ? ? 2 3 ，2 代入，得 sin? ? ? ? 4 3 1，又 ? ? ? ? 0， 2 ，解得 6 ，所以 f(x)2sin(2x 6 )? ? ? ? x? ? ? ? 12， 2
9、 3 ，因为 f(x1)f(x2)且 x1 x2，由图象得 x1x2 3 ，所以 f(x1x2)2sin5 6 1，故选 B. 【答案】 B 由“图”定“式”找“对应” 由三角函数的图象求解析式 yAsin(x)B(A0，0)中参数的值，关键是把握函 数图象的特征与参数之间的对应关系，其基本依据就是“五点法”作图 (1)最值定 A，B：根据给定的函数图象确定最值，设最大值为 M，最小值为 m，则 M AB，mAB，解得 BMm 2 ，AMm 2 . (2)T 定 ：由周期的求解公式 T2 ，可得 2 T .记住三角函数的周期 T 的相关结论： 两个相邻对称中心之间的距离等于T 2. 两条相邻对
10、称轴之间的距离等于T 2. 对称中心与相邻对称轴的距离等于T 4. (3)点坐标定 ：一般运用代入法求解 值，在求解过程中，可以代入图象上的一个已知 点(此时 A，B 已知)，也可代入图象与直线 yB 的交点(此时要注意交点在上升区间上 还是在下降区间上)注意在确定 值时，往往以寻找“五点法”中的某一个点为突破口， 即“峰点”“谷点”与三个“中心点”，利用“中心点”时要注意其所在单调区间的单调 性，避免产生增解 命题角度二 图象变换 (1)(一题多解)(2018 南昌调研)函数 ysin? ? ? ? x 2 6 的图象可以由函数 ycos x 2的图 象( ) A向右平移 3个单位长度得到
11、B向右平移2 3 个单位长度得到 C向左平移 3个单位长度得到 D向左平移2 3 个单位长度得到 (2)(2018 石家庄质量检测(一)若 0， 函数 ycos? ? ? ? x 3 的图象向右平移 3个单位长度 后与函数 ysin x 的图象重合，则 的最小值为( ) A.11 2 B.5 2 C.1 2 D.3 2 【解析】 (1)法一：由 ycos x 2sin? ? ? ? x 2 2 ，ysin? ? ? ? 1 2? ? ? ? x2 3 2 sin? ? ? ? x 2 6 ，知函 数 ysin? ? ? ? x 2 6 的图象可以由 ycosx 2的图象向右平移 2 3 个单位
12、长度得到 法二：在同一坐标系中画出两函数的部分图象如图所示，易知选 B. (2)函数 ycos? ? ? ? x 3 的图象向右平移 3个单位长度后，所得函数图象对应的解析式为 y cos? ? ? ? ? ? ? ? x 3 3 cos? ? ? ? x 3 3 ，其图象与函数 ysin xcos? ? ? ? x 22k ，kZ 的 图象重合，所以 2 2k 3 3 ，kZ，所以 6k5 2，kZ，又 0，所以 的最小值为5 2，故选 B. 【答案】 (1)B (2)B (1)平移规律 由函数 ysin x 的图象变换得到 yAsin(x)(A0，0)的图象的两种方法 (2)图象变换的实质
13、 图象变换的实质点的坐标的变换，三角函数图象的伸缩、平移变换，可以利用两个 函数图象上的两个特征点之间的对应确定变换的方式， 一般选取与 y 轴最近的最高点或最低 点，当然也可以选取在原点右侧的第一个中心点，根据这些点的坐标即可确定变换的方式、 平移的长度与方向等 命题角度三 图象的应用 已知函数 f(x)4sin? ? ? ? x 3 cos x 3，若函数 g(x)f(x)m 在? ? ? ? 0， 2 上有两个 不同的零点，则实数 m 的取值范围为_ 【解析】 方程 g(x)0 同解于 f(x)m，在平面直角坐标系中画出函数 f(x) 2sin? ? ? ? 2x 3 在? ? ? ?
14、0， 2 上的图象，如图所示，由图象可知，当且仅当 m 3，2)时，方程 f(x)m 有两个不同的解 【答案】 3，2) 巧用图象解决三角方程或不等式问题 解决与三角函数相关的方程以及不等式问题，最基本的方法就是作出对应函数的图象， 然后结合函数的图象的特征确定方程的解或不等式的解集 准确作出对应函数的图象是解决 问题的关键， 尤其是作出函数在指定区间上的图象， 需要准确把握函数图象的端点值以及最 值 对点训练 1.(2018 开封模拟)如果存在正整数 和实数 使得函数 f(x)sin2(x )的图象如图所示(图象经过点(1，0)，那么 的值为( ) A1 B2 C3 D4 解析：选 B.由 f(x)sin2(x)1cos（2x2） 2 及其图象知， 1 21 2，即 1cos 2 2 1cos 2 2 1 2，得 cos 20)个单位长度， 所得图象对应的函数恰为奇函数，则 的最小值为( ) A. 6 B. 12 C. 4 D. 3 解析：选 A.由 y2sin? ? ? ? x 3 sin? ? ? ? 6 x 可得 y2sin? ? ? ? x 3 cos? ? ? ? x 3 sin? ? ? ? 2x2 3 ， 该函数的图象向左平移 个单位长度后，所得图象对应的函数
