1、专题七 选考部分 第 1 讲 坐标系与参数方程 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 极坐标及其应用T22 1.坐标系与参数方程 是高考的选考内容之 一，高考考查的重点 主要有两个方面：一 是简单曲线的极坐标 方程；二是参数方程、 极坐标方程与曲线的 综合应用 2全国课标卷对此部 分内容的考查以解答 题形式出现，难度中 等，备考此部分内容 时应注意转化思想的 应用. 卷 参数方程及其应用 T22 卷 参数方程及其应用 T22 2017 卷 参数方程与普通方程的互化、点到直线的距 离 T22 卷 直角坐标与极坐标的互化、动点轨迹方程的求 法、三角形面积的最值问题 T22 卷 直
2、线的参数方程与极坐标方程、动点轨迹方程的 求法 T22 2016 卷 参数方程与普通方程的互化、极坐标方程与直角 坐标方程的互化及应用 T23 卷 极坐标方程与直角坐标方程的互化及应用、直线 与圆的位置关系 T23 卷 参数方程、极坐标方程及点到直线的距离、三角 函数的最值 T23 极坐标方程及其应用(综合型) 圆的极坐标方程 若圆心为 M(0，0)，半径为 r，则圆的方程为：220cos(0)20r20. 几个特殊位置的圆的极坐标方程： (1)当圆心位于极点，半径为 r：r； (2)当圆心位于 M(a，0)，半径为 a：2acos ； (3)当圆心位于 M? ? ? ? a， 2 ，半径为
3、a：2asin . 直线的极坐标方程 若直线过点 M(0，0)，且极轴与此直线所成的角为 ，则它的方程为：sin() 0sin(0) 几个特殊位置的直线的极坐标方程： (1)直线过极点：0和 0； (2)直线过点 M(a，0)且垂直于极轴：cos a； (3)直线过点 M? ? ? ? b， 2 且平行于极轴：sin b. 典型例题 (2018 南昌模拟)在平面直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ?x2cos y2sin 2( 为参数)，以坐标原点为极点，x 轴非负半轴为极轴建立极坐标系 (1)求 C 的极坐标方程； (2)若直线 l1，l2的极坐标方程分别为 6(R)
4、， 2 3 (R)，设直线 l1，l2与曲线 C 的交点为 O，M，N，求OMN 的面积 【解】 (1)由参数方程 ? ? ? ?x2cos y2sin 2( 为参数)，得普通方程为 x 2(y2)24，所以 C 的极坐标方程为 2cos22sin24sin 0，即 4sin . (2)不妨设直线 l1： 6(R)与曲线 C 的交点为 O，M，则 M|OM|4sin 62. 又直线 l2：2 3 (R)与曲线 C 的交点为 O，N，则 N|ON|4sin2 3 2 3.又MON 2，所以 SOMN 1 2|OM|ON| 1 2 2 2 32 3. (1)极坐标方程与普通方程互化的技巧 巧用极坐
5、标方程两边同乘以 或同时平方技巧， 将极坐标方程构造成含有 cos ， sin ，2的形成，然后利用公式代入化简得到普通方程 巧借两角和差公式，转化 sin( )或 cos( )的结构形式，进而利用互化公式得到 普通方程 将直角坐标方程中的 x 换成 cos ，将 y 换成 sin ，即可得到其极坐标方程 (2)求解与极坐标有关问题的主要方法 直接利用极坐标系求解，可与数形结合思想配合使用 转化为直角坐标系，用直角坐标求解若结果要求的是极坐标，还应将直角坐标化为 极坐标 对点训练 1在直角坐标系 xOy 中，以 O 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C 的极 坐标方程为 cos?
6、? ? ? 3 1，M，N 分别为曲线 C 与 x 轴，y 轴的交点 (1)写出曲线 C 的直角坐标方程，并求 M，N 的极坐极； (2)设 M，N 的中点为 P，求直线 OP 的极坐标方程 解：(1)因为 cos? ? ? ? 3 1， 所以 cos cos 3sin sin 31. 又 ? ? ? ?xcos ， ysin ， 所以1 2x 3 2 y1， 即曲线 C 的直角坐标方程为 x 3y20，令 y0，则 x2；令 x0，则 y2 3 3 . 所以 M(2，0)，N? ? ? ? 0，2 3 3 . 所以 M 的极坐标为(2，0)，N 的极坐标为? ? ? ? 2 3 3 ， 2
7、. (2)因为 M，N 连线的中点 P 的直角坐标为? ? ? ? 1， 3 3 ，所以 P 的极角为 6， 所以直线 OP 的极坐标方程为 6(R) 2(2018 高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1的方程为 yk|x|2.以坐标原点 为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 C2的极坐标方程为 22cos 30. (1)求 C2的直角坐标方程； (2)若 C1与 C2有且仅有三个公共点，求 C1的方程 解：(1)由 xcos ，ysin 得 C2的直角坐标方程为(x1)2y24. (2)由(1)知 C2是圆心为 A(1，0)，半径为 2 的圆 由题设知，C1是过点 B(0，
8、2)且关于 y 轴对称的两条射线记 y 轴右边的射线为 l1，y 轴左边的射线为 l2.由于 B 在圆 C2的外面，故 C1与 C2有且仅有三个公共点等价于 l1与 C2 只有一个公共点且 l2与 C2有两个公共点，或 l2与 C2只有一个公共点且 l1与 C2有两个公共 点 当 l1与 C2只有一个公共点时，A 到 l1所在直线的距离为 2，所以|k2| k21 2，故 k 4 3或 k0.经检验，当 k0 时，l1与 C2没有公共点；当 k 4 3时，l1 与 C2只有一个公共点， l2与 C2有两个公共点 当 l2与 C2只有一个公共点时，A 到 l2所在直线的距离为 2，所以 |k2|
9、 k212，故 k0 或 k4 3.经检验，当 k0 时，l1 与 C2没有公共点；当 k4 3时，l2 与 C2没有公共点综上， 所求 C1的方程为 y4 3|x|2. 参数方程及其应用(综合型) 直线和圆锥曲线的参数方程和普通方程 点的 轨迹 普通方程 参数方程 直线 yy0tan (xx0) ? ? ? ?xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数) 圆 (xx0)2(yy0)2r2 ? ? ? ?xx0rcos ， yy0rsin ( 为参数) 椭圆 x2 a2 y2 b21(ab0) ? ? ? ?xacos ， ybsin ( 为参数) 双 曲 线 x2 a2 y2 b21(
10、a0，b0) ? ? ? ? ?x a cos ， ybtan ( 为参数) 抛 物 线 y22px ? ? ? ?x2pt2， y2pt (t 为参数) 典型例题 (2018 武汉调研)在直角坐标系xOy中， 曲线C的参数方程为 ? ? ? ?x4cos y2sin (为参数)， 直线 l 的参数方程为? ?xt 3， y2t2 3(t 为参数)，直线 l 与曲线 C 交于 A，B 两点 (1)求|AB|的值； (2)若 F 为曲线 C 的左焦点，求FA FB的值 【解】 (1)由 ? ? ? ?x4cos y2sin ( 为参数)，消去参数 得x 2 16 y2 41. 由? ?xt 3，
11、 y2t2 3消去参数 t 得 y2x4 3. 将 y2x4 3代入 x24y216 中，得 17x264 3x1760. 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 ? ? ?x1x264 3 17 ， x1x2176 17 . 所以|AB| 122|x1x2| 14 17 （64 3）24 17 17640 17，所以|AB|的值为 40 17. (2)由(1)得，F(2 3，0)，则 FA FB(x 12 3，y1) (x22 3，y2) (x12 3)(x22 3)(2x14 3)(2x24 3) x1x22 3(x1x2)124x1x22 3(x1x2)12 5x1x26 3(x1x
12、2)60 5 176 17 6 3 64 3 17 60 44， 所以FA FB的值为 44. (1)有关参数方程问题的 2 个关键点 参数方程化为普通方程的关键是消参数，要根据参数的特点进行转化 利用参数方程解决问题，关键是选准参数，理解参数的几何意义 (2)利用直线的参数方程中参数的几何意义求解问题 经过点 P(x0，y0)，倾斜角为 的直线 l 的参数方程为 ? ? ? ?xx0tcos ， yy0tsin (t 为参数)若 A， B 为直线 l 上两点，其对应的参数分别为 t1，t2，线段 AB 的中点为 M，点 M 所对应的参数 为 t0，则以下结论在解题中经常用到： t0t1t2
13、2 . |PM|t0|? ? ? ? t1t2 2 . |AB|t2t1|. |PA| |PB|t1 t2|. 对点训练 1(2018 高考全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ?x2cos y4sin ( 为参 数)，直线 l 的参数方程为 ? ? ? ?x1tcos y2tsin (t 为参数) (1)求 C 和 l 的直角坐标方程； (2)若曲线 C 截直线 l 所得线段的中点坐标为(1，2)，求 l 的斜率 解：(1)曲线 C 的直角坐标方程为x 2 4 y2 161. 当 cos 0 时，l 的直角坐标方程为 ytan x2tan ， 当 cos 0
14、时，l 的直角坐标方程为 x1. (2)将 l 的参数方程代入 C 的直角坐标方程， 整理得关于 t 的方程(13cos2)t24(2cos sin )t80. 因为曲线 C 截直线 l 所得线段的中点(1，2)在 C 内，所以有两个解，设为 t1，t2，则 t1t20. 又由得 t1t24（2cos sin ） 13cos2 ， 故 2cos sin 0， 于是直线 l 的斜率 ktan 2. 2已知曲线 C：x 2 4 y2 91，直线 l：? ? ? ? ?x2t， y22t (t 为参数) (1)写出曲线 C 的参数方程，直线 l 的普通方程； (2)过曲线 C 上任意一点 P 作与
15、l 夹角为 30 的直线， 交 l 于点 A， 求|PA|的最大值与最小 值 解：(1)曲线 C 的参数方程为 ? ? ? ?x2cos y3sin ( 为参数)直线 l 的普通方程为 2xy60. (2)曲线 C 上任意一点 P(2cos ，3sin )到 l 的距离为 d 5 5 |4cos 3sin 6|. 则|PA| d sin 30 2 5 5 |5sin()6|，其中 为锐角，且 tan 4 3. 当 sin()1 时，|PA|取得最大值，最大值为22 5 5 .当 sin()1 时，|PA|取得最 小值，最小值为2 5 5 . 极坐标方程与参数方程的综合问题(综合型) 典型例题 (2018 郑州第二次质量检测)在平面直角坐标系 xOy 中，以坐标原点为极点，x 轴 正半轴为极轴建立极坐标系， 点 A 的极坐标为? ? ? ? 2， 4 ， 直线 l 的极坐标方程为 cos? ? ? ? 4 a，且 l 过点 A，曲线 C1的参数方程
