1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 重点强化课 (二 ) 平面向量 (对应学生用书第 65 页 ) 复习导读 从近五年全国卷高考试题来看，平面向量是每年的必考内容，主要考查平面向量的线性运算、平面向量数量积及其应用、平面向量共线与垂直的充要条件平面向量的复习应做到：立足基础知识和基本技能，强化应用，注重数形结合，向量具有 “ 形 ” 与 “ 数 ”两个特点，这就使得向量成了数形结合的桥梁 重点 1 平面向量的线性运算 (1) (2018 深圳模拟 )如图 1，正方形 ABCD 中， M 是 BC 的中点，若 AC AM BD ，则 ( ) 图 1 A 43 B 53 C 158 D 2 (2)在
2、 ?ABCD 中， AB a， AD b,3AN NC ， M 为 BC 的中点，则 MN _.(用 a， b 表示 ) (1)B (2) 34a 14b (1)因为 AC AM BD (AB BM ) (BA AD ) ? ?AB 12AD ( AB AD ) ( ) AB ? ?12 AD ，所以? 1，12 1，得? 43， 13，所以 53，故选 B (2)如图所示， MN MC CN 12AD 34CA =【 ;精品教育资源文库 】 = 12AD 34(CB CD ) 12AD 34(DA BA ) 12b 34b 34a 34a 14B 规律方法 1.解题的关键在于熟练地找出图形中
3、的相等向量，并能熟练运用相反向量将加减法相互转化 2用几个基本向量表示某 个向量问题的步骤： (1)观察各向量的位置； (2)寻找相应的三角形或多边形； (3)运用法则找关系； (4)化简结果 3 O 在 AB 外， A， B， C 三点共线，且 OA OB OC ，则有 1. 对点训练 1 设 O 在 ABC 的内部， D 为 AB 的中点，且 OA OB 2OC 0，则 ABC 的面积与 AOC 的面积的比值为 ( ) A 3 B 4 C 5 D 6 B 因为 D 为 AB 的中点， 则 OD 12(OA OB )， 又 OA OB 2OC 0， 所以 OD OC ，所以 O 为 CD 的
4、中点 又因为 D 为 AB 的中点， 所以 S AOC 12S ADC 14S ABC， 则 S ABCSAOC 4. 重点 2 平面向量数量积的综合应用 (2018 杭州模拟 )已知两定点 M(4,0)， N(1,0)，动点 P 满足 |PM | 2|PN |. (1)求动点 P 的轨迹 C 的方程； (2)若点 G(a,0)是轨迹 C内部一点，过点 G的直线 l交轨迹 C于 A， B两点，令 f(a) GA GB ，求 f(a)的取值范围 . 【导学号： 00090144】 =【 ;精品教育资源文库 】 = 解 (1)设 P 的坐标为 (x， y)，则 PM (4 x， y)， PN (1
5、 x， y) 动点 P 满足 |PM | 2|PN |， x 2 y2 2 x 2 y2， 整理得 x2 y2 4. 4 分 (2)(a)当直线 l 的斜率不存在时，直线的方程为 x a，不妨设 A 在 B 的上方，直线方程与 x2 y2 4 联立，可得 A(a， 4 a2)， B(a， 4 a2)， f(a) GA GB (0，4 a2)(0 ， 4 a2) a2 4； 6 分 (b)当直线 l 的斜率存在时，设直线的方程为 y k(x a)， 代入 x2 y2 4，整理可得 (1 k2)x2 2ak2x (k2a2 4) 0，设 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则 x1 x2
6、2ak21 k2， x1x2k2a2 41 k2 ， f(a) GA GB (x1 a， y1)( x2 a， y2) x1x2 a(x1 x2) a2 k2(x1 a)(x2 a) a2 4. 由 (a)(b)得 f(a) a2 4. 10 分 点 G(a,0)是 轨迹 C 内部一点， 2a2， 0 a24， 4 a2 40， f(a)的取值范围是 4,0). 12 分 规律方法 1.本题充分发挥向量的载体作用，将平面向量与解析几何有机结合，通过平面向量数量积的坐标运算进行转化，使问题的条件明晰化 2利用平面向量可以解决长度、角度与垂直问题 对点训练 2 (1)已知 a， b 是单位向量，
7、a b 0.若向量 c 满足 |c a b| 1，则 |c|的最大值为 ( ) A 2 1 B 2 C 2 1 D 2 2 (2)(2016 四川成都模拟 )已知菱形 ABCD 的边长为 2， B 3 ，点 P 满足 AP AB ， R，若 BD CP 3，则 的值为 ( ) 【导学号： 00090145】 A 12 B 12 C 13 D 13 (1)C (2)A (1) a， b 是单位向量，且 a b 0， |a| |b| 1， |a b|2 a2 2a b b2 2， |a b| 2.又 |c a b| 1， =【 ;精品教育资源文库 】 = |c| |a b| c a b| 1. 从
8、而 |c| a b| 1 2 1， |c|的最大值为 2 1. (2)法一：由题意可得 BA BC 22cos 60 2， BD CP (BA BC )( BP BC ) (BA BC )( AP AB ) BC (BA BC )( 1) AB BC (1 )BA 2 BA BC (1 )BA BC BC 2 (1 )4 2 2(1 ) 4 6 3， 12，故选 A 法二：建立如图所示的平面直角坐标系，则 B(2,0)， C(1， 3)， D( 1， 3) 令 P(x,0)，由 BD CP ( 3， 3)( x 1， 3) 3x 3 3 3x 3，得 x 1. AP AB ， 12. 故选 A
9、 重点 3 平面向量与三角函数的综合应用 (2017 合肥二次质检 )已知 m ? ?sin? ?x 6 ， 1 ， n (cos x,1) (1)若 m n，求 tan x 的值； (2)若函数 f(x) m n， x 0， ，求 f(x)的单调增区间 解 (1)由 m n 得 sin ? ?x 6 cos x 0， 3 分 展开变形可得 sin x 3cos x， 即 tan x 3. 5 分 (2)f(x) m n 12sin? ?2x 6 34， 7 分 由 2 2k2 x 6 2 2k ， k Z 得 =【 ;精品教育资源文库 】 = 6 k x 3 k ， k Z. 10 分 又因
10、为 x 0， ， 所以 f(x)的单调递增区间为 ? ?0， 3 和 ? ?56 ， . 12 分 规律方法 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路 (1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解 (2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算， 利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等 对点训练 3 已知 O 为坐标原点，向量 OA (3sin ， cos )， OB (2sin ， 5sin 4cos )， ? ?32 ， 2 ，且 OA OB ，则 tan 的值为 ( ) A 43 B 45 C 45 D 34 A 由题意知 6sin2 cos (5sin 4cos ) 0，即 6sin2 5sin cos 4cos2 0，上述等式两边同时除以 cos2 ，得 6tan2 5tan 4 0，由于 ?32 ， 2 ， 则 tan 0，解得 tan 43，故选 A S
