1、=【 ;精品教育资源文库 】 = 第五节 指数与指数函数 考纲传真 (教师用书独具 )1.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算 .2.了解指数函数模型的实际背景，理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图像通过的特殊点，会画底数为 2,3,10， 12， 13的指数函数的图像 .3.体会指数函数是一类重要的函数模型 (对应学生用书第 19 页 ) 基础知识填充 1根式的性质 (1)(n a)n a. (2)当 n 为奇数时， n an a. (3)当 n 为偶数时， n an |a|? a(a0 )， a(a 0). (4)负数的偶次方根 无意义 (5)零的任何次方根 都
2、等于零 2有理指数幂 (1)分数指数幂 正分数指数幂： amn n am(a 0， m， n N ，且 n 1)； 负分数指数幂： amn 1amn 1n am(a 0， m， n N ，且 n 1)； 0 的正分数指数幂等于 0,0 的负分数指数幂 没有意义 (2)有理数指数幂的运算性质 am an am n(a 0， m， n Q)； ( am)n amn(a 0， m， n Q)； ( ab)m ambm(a 0， b 0， m Q) 3指数函数的图像与性质 a 1 0 a 1 图像 =【 ;精品教育资源文库 】 = 定义域 R 值域 (0， ) 性质 过定点 (0,1) 当 x 0 时
3、， y 1；当 x 0 时， 0 y 1 当 x 0 时， 0 y 1；当 x 0 时， y 1 在 R 上是 增函数 在 R 上是 减函数 知识拓展 指数函数的图像与底数大小的比较 判断指数函数图像上底数大小的问题，可以先通过令 x 1 得到底数的值再进行比较 如图 251 是指数函数 (1)y ax， (2)y bx， (3)y cx， (4)y dx的图像，底数 a， b，c， d 与 1 之间的大小关系为 c d 1 a b. 图 251 基本能力自测 1 (思考辨析 )判断下列结论的正误 (正确的打 “” ，错误的打 “”) (1)n an (n a)n a.( ) (2)( 1)2
4、4 ( 1)12 1.( ) (3)函数 y 2x 1是指数函数 ( ) (4)函数 y ax2 1(a 1)的值域是 (0， ) ( ) (5)若 am an(a 0 且 a1) ，则 m n.( ) 答案 (1) (2) (3) (4) (5) 2 (教材改编 )化简 ( 2)612 ( 1)0的结果为 ( ) A 9 B 7 C 10 D 9 B 原式 (26)12 1 8 1 7. 3函数 y ax a(a 0，且 a1) 的图像可能是 ( ) =【 ;精品教育资源文库 】 = A B C D C 法一：令 y ax a 0，得 x 1，即函数图像必过定点 (1,0)，符合条件的只有选
5、项C. 法二：当 a 1 时， y ax a 是由 y ax向下平移 a 个单位，且过 (1,0)， A， B 都不合适； 当 0 a 1 时， y ax a 是由 y ax向下平移 a 个单位，因为 0 a 1，故排除选项 D. 4当 a 0 且 a1 时，函数 f(x) ax 2 3 的图像必过定点 _ (2， 2) 令 x 2 0，则 x 2，此时 f(x) 1 3 2， 故函数 f(x) ax 2 3 的图像必过定点 (2， 2) 5指数函数 y (2 a)x在定义域内是减函数，则 a 的取值范围是 _ (1,2) 由题意知 0 2 a 1，解得 1 a 2. (对应学生用书第 20
6、页 ) 指数幂的运算 化简下列各式： (1)? ?2350 2 2 ? ?214 12 (0.01)0.5； (2)(a23 b 1)12 a12 b136 a b5. 解 (1)原式 1 14 ? ?4912 ? ?110012 1 14 23 110 1 16 110 1615. (2)原式 a 13b12 a 12b13a16b56 a131216 b121356 1a. 规律方法 指数幂的运算，首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意： 必须同底数幂相乘，指数才能相加； 运算的先后顺序 . =【 ;精品教育资源文库 】 = 当底数是负数时，先确定符号，再把底数
7、化为正数 . 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 . 跟踪训练 化简下列各式： (1)? ? 278 23 0.00212 10( 5 2) 1 0； (2)56a13 b 2( 3a12b 1)(4 a23 b 3)12. 解 (1)原式 ? ? 278 23 ? ?1500 12 105 2 1 ? ? 82723 50012 10( 5 2) 1 49 10 5 10 5 20 1 1679 . (2)原式 52a16b 3(4 a23 b 3)12 54a16b 3( a13b32) 54a12 b32 54 1ab3 5 ab4ab2 . 指数函数的图像及
8、应用 (1)函数 f(x) ax b的图像如图 252 所示，其中 a， b 为常数，则下列结论正确的是 ( ) 图 252 A a 1， b 0 B a 1， b 0 C 0 a 1， b 0 D 0 a 1， b 0 =【 ;精品教育资源文库 】 = (2)若曲线 y |2x 1|与直线 y b 有两个公共点，求 b 的取值范围 (1)D 由 f(x) ax b的图像可以观察出，函数 f(x) ax b在定义域上单调递减，所以 0 a 1，函数 f(x) ax b的图像是在 y ax的基础上向左平移得到的，所以 b 0. (2)解 曲线 y |2x 1|与直线 y b 的图像如图所示，由图
9、像可得，如果曲线 y |2x 1|与直线 y b 有两个公共点， 则 b 的取值范围是 (0,1) 若将本例 (2)中的条件改为 “ 函数 y |2x 1|在 ( ， k上单调递减 ” ，则 k 的取值范围是什么？ 解 因为函数 y |2x 1|的单调递减区间为 ( ， 0，所以 k0 ，即 k 的 取值范围为 ( ， 0 规律方法 指数函数图像的画法 判断 及应用方法 画 判断 指数函数 yax a 0， a 的图像，应抓住三个关键点： ， a ， ， ， ? ? 1， 1a . 与指数函数有关的函数的图像的研究，往往利用相应指数函数的图像，通过平移、对称变换得到其图像 . 一些指数方程、不
10、等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图像数形结合求解 . 跟踪训练 (1)(2017 郑州模拟 )定义运算 a b ? a， a b，b， a b， 则函数 f(x) 1 2x 的图像是 ( ) (2)方程 2x 2 x 的解的个数是 _. 【导学号： 79140043】 =【 ;精品教育资源文库 】 = (1)A (2)1 (1)因为当 x0 时， 2x1 ； 当 x 0 时， 2x 1. 则 f(x) 1 2x ? 2x， x0 ，1， x 0， 故选 A. (2)方程的解可看作函数 y 2x和 y 2 x 的图像交点的横坐标，分别作出这两 个函数图像 (如图 ) 由图像得只有一个交点
11、，因此该方程只有一个解 指数函数的性质及应用 角度 1 比较指数式的大小 下列各式比较大小正确的是 ( ) A 1.72.5 1.73 B 0.6 1 0.62 C 0.8 0.1 1.250.2 D 1.70.3 0.93.1 B A 中，因为函数 y 1.7x在 R 上是增函数， 2.5 3，所以 1.72.5 1.73； B 中，因为 y 0.6x在 R 上是减函数， 1 2， 所以 0.6 1 0.62； C 中，因为 0.8 1 1.25， 所以问题转 化为比较 1.250.1与 1.250.2的大小 因为 y 1.25x在 R 上是增函数， 0.1 0.2， 所以 1.250.1
12、1.250.2，即 0.8 0.1 1.250.2； D 中，因为 1.70.3 1,0 0.93.1 1，所以 1.70.3 0.93.1. 角度 2 解简单的指数方程或不等式 设函数 f(x)? ?12x 7， x 0，x， x0 ，若 f(a) 1，则实数 a 的取值范围是 ( ) A ( ， 3) B (1， ) C ( 3,1) D ( ， 3)(1 ， ) C 当 a 0 时，不等式 f(a) 1 可化为 ? ?12a 7 1，即 ? ?12a 8，即 ? ?12a ? ?12 3，因为 0 12 1，所以 a 3，所以 3 a 0；当 a0 时，不等式 f(a) 1 可化为 a
13、1，所=【 ;精品教育资源文库 】 = 以 0 a 1.故 a 的取值范围是 ( 3,1)故选 C. 角度 3 探究指数型函数的性质 函数 y ? ?12 x2 2x 1的单 调减区间为 _. 【导学号： 79140044】 ( ， 1 设 u x2 2x 1， y ? ?12u为减函数， 函数 y ? ?12 x2 2x 1的减区间即为函数 u x2 2x 1 的增区间 又 u x2 2x 1 的增区间为 ( ， 1， 所求减区间为 ( ， 1 规律方法 与 指数函数性质有关的问题类型与解题策略 比较指数式的大小： 能化成同底数的先化成同底数幂，再利用单调性比较大小； 不能化成同底数的，一般
14、引入 “1” 等中间量比较大小 . 解简单的指数方程或不等式：可先利用幂的运算性质化为同底数幂，再利用单调性转化为一般不等式求解 . 探究指数型函数的性质：与研究一般函数的定义域、单调性 区间 、奇偶性、最值值域 等性质的方法一致 . 跟踪训练 (1)(2017 北京高考 )已知函数 f(x) 3x ? ?13x，则 f(x)( ) A是偶函数，且在 R 上是增函数 B是奇函数，且在 R 上是增函数 C是偶函数，且在 R 上是减函数 D是奇函数，且在 R 上是减函数 (2)不等式 2x2 x 4 的解集为 _ (3)函数 y ? ?14x ? ?12x 1 在区间 3,2上的值域是 _ (1)B (2)x| 1 x 2( )或 ( 1， 2) (3)? ?34， 57 (1) 函数 f(x)的定义域为 R， f( x) 3 x ? ?13 x ? ?13x 3x f(x)， 函数 f(x)是奇函数 =【 ;精品教育资源文库 】 = 函数 y ? ?13x在 R 上是减函数， 函数 y ? ?13x在 R 上是增函数 又 y 3x在 R 上是增函数， 函数 f(x) 3x ? ?13x在 R 上是增函数 故选 B. (2)2 x2 x 4， 2 x2 x 22， x2 x
