1、1已知椭圆和双曲线有共同焦点 1 F， 2 F，P是它们的一个交点，且 12 3 FPF，记椭 圆和双曲线的离心率分别为 12 ,e e，则 1 2 1 e e 的最大值为（ ） A3 B2 C 4 3 3 D 2 3 3 【答案】D 【解析】如图，设椭圆的长半轴长为 1 a，双曲线的半实轴长为 2 a， 则根据椭圆及双曲线的定义 121 2PFPFa， 122 2PFPFa， 112 PFaa， 212 PFaa， 设 12 2FFc， 12 3 FPF， 则：在 12 PFF中，由余弦定理得， 22 2 12121212 3 42coscaaaaaaaa， 化简得 222 12 34aac
2、，该式可变成 22 12 13 4 ee ， 2222 1212 133 42 eee e ， 22 12 12 3 3e e 作业作业5 5 圆锥曲线与方程 2已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左焦点为 1( 3,0)F ，且过点 313 (,) 24 P （1）求椭圆C的标准方程； （2）已知 12 ,A A分别为椭圆C的左、右顶点，Q为直线 1x 上任意一点，直线 1 AQ， 2 A Q 分别交椭圆C于不同的两点,M N求证：直线MN恒过定点，并求出定点坐标 【答案】 （1） 2 2 1 4 x y； （2）证明见解析，定点为(4,0) 【解析】 （1）椭圆的一个焦
3、点 1( 3,0)F ，则另一个焦点为 2( 3,0) F， 由椭圆的定义知 12 2PFPFa， 所以 2222 313313 332 2424 a ，解得2a 又 222 1bac， 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 4 x y （2）设(1, )Qt， 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy， 则直线 1 :(2) 3 t AQ yx，与 2 2 1 4 x y联立可得 2222 491616360txt xt， 所以 1 2 2 16 49 AM t xx t ，所以 1 22 22 16818 4949 MA tt xx tt ， 所以 2 22 81812 2 3494
4、9 M ttt y tt ，所以 2 22 81812 (,) 4949 tt M tt ， 又直线 2 :(2)AQ yt x ，与 2 2 1 4 x y联立可得 2222 41161640txt xt， 所以 2 2 2 16 41 AN t xx t ，所以 2 22 22 1682 4141 NA tt xx tt ， 所以 2 22 824 2 4141 N tt yt tt ，所以 2 22 824 (,) 41 41 tt N tt ， 所以直线MN的斜率为 22 222 22 124 2 4941 8188243 4941 tt t tt ttt tt ， 所以直线 2 22
5、22 1228182 :()(4) 49434943 tttt MN yxx tttt ， 所以直线MN恒过定点，且定点坐标为(4,0) 一、选择题 1双曲线 22 10 xy mn mn 离心率为2，且其焦点与椭圆 22 1 95 xy 的焦点重合， 则mn的值为（ ） A 3 B3 C1 D4 2点(5,3)M到抛物线 2 yax的准线的距离为6，那么抛物线的标准方程是（ ） A 2 1 12 xy B 2 1 12 xy或 2 1 36 xy C 2 1 36 xy D 2 12xy或 2 36xy 3 已知点0,1F， 直线:1l y ，P为平面上的动点， 过点P作直线l的垂线， 垂足
6、为Q， 且QP QFFP FQ，则动点P的轨迹C的方程为（ ） A 2 4xy B 2 3yx C 2 2xy D 2 4yx 4如图，过抛物线 2 2ypx（ 0p ）的焦点F的直线l交抛物线于点A，B，交其准线 于点C，若2BCBF，且6AF ，则此抛物线方程为（ ） A 2 9yx B 2 6yx C 2 3yx D 2 3yx 5 已知椭圆 22 22 :10 xy ab Eab的右焦点是 3,0F， 过点F的直线交椭圆E于A， B两点，若AB中点M的坐标为1, 1，则椭圆E的方程为（ ） A 22 1 1664 xy B 22 1 189 xy C 22 1 2718 xy D 22
7、 1 4536 xy 6已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，焦距为2c，直线 3()yxc 与椭圆C的一个交点为 (M M在第一象限）满足 2112 2MF FMFF ，则 该椭圆的离心率为（ ） A 2 2 B 2 1 C 31 D 3 2 7已知双曲线 22 22 1(0,0:) xy ab ab C的左、右焦点分别为 1 F， 2 F，点P是C的右 支上一点，连接 1 PF与y轴交于点M，若 1 2FOOM（O为坐标原点） ， 12 PFPF， 则双曲线C的渐近线方程为（ ） A3yx B5yx C2yx D2yx 8 设椭圆 22
8、 22 :10 xy ab Cab的左、 右焦点分别为 F1、 F2， 其焦距为 2c， 点 , 2 a Q c 在椭圆的外部，点P是椭圆C上的动点，且 112 3 | 2 PFPQFF恒成立， 则椭圆离心率的取值范围是（ ） A 2 5 , 26 B 2 3 , 24 C 5 ,1 6 D 3 ,1 4 二、填空题 9 椭圆 22 2 1 9 xy a （3a ） 的两个焦点为 1 F、 2 F， 且 12 | 8FF ， 弦AB过点 1 F， 则 2 ABF 的周长是_ 10过双曲线 22 1 916 xy 的右支上一点P，分别向圆 2 1 2 (5):4Cxy和圆 2 2 22 (5):
9、Cxyr(0r )作切线，切点分别为M、N，若 22 |PMPN的最小值 为58，则r _ 三、解答题 11已知抛物线 2 :20E xpy p的焦点为F， 0 2,Ay是E上一点，且2AF （1）求E的方程； （2）设点B是E上异于点A的一点，直线AB与直线3yx交于点P，过点P作x轴 的垂线交E于点M，证明：直线BM过定点 12已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0ab)的离心率为 6 3 ，且经过点 3 1 ( , ) 2 2 （1）求椭圆C的方程； （2）过点()0,2P的直线交椭圆C于A、B两点，求AOB(O为原点)面积的最大值 一、选择题 1 【答案】B 【解析】由题意，
10、椭圆 22 1 95 xy 的焦点为 2,0，2,0， 双曲线 22 1 xy mn 的焦点为 2,0，2,0， 双曲线的焦点在x轴上，0m，0n，半焦距2c ， 所以4mn， 又离心率为 2，2 c m ，即1m，3n ， 3mn 2 【答案】D 【解析】将 2 yax转化为 2 1 xy a ， 当0a时，抛物线开口向上，准线方程 1 4 y a ， 点(5,3)M到准线的距离为 1 36 4a ，解得 1 12 a ， 所以抛物线方程为 2 1 12 yx，即 2 12xy； 当0a时，抛物线开口向下，准线方程 1 4 y a ， 点(5,3)M到准线的距离为 1 36 4a ，解得 1
11、 36 a 或 1 12 a （舍去） ， 所以抛物线方程为 2 1 36 yx ，即 2 36xy ， 所以抛物线的方程为 2 12xy或 2 36xy 3 【答案】A 【解析】设点,P x y，则, 1Q x ， 则0,1QPy，,2QFx ，1FPx y,，, 2FQx QP QFFP FQ， 02112xyx xy ， 即 2 2221yxy，整理得 2 4xy， 动点P的轨迹C的方程为 2 4xy，故选 A 4 【答案】B 【解析】如图，分别过点A，B作准线的垂线，分别交准线于点E，D， 设BFa，则由已知得2BCa， 由抛物线定义得BDa，故30BCD 在ACERt中，因为6AEA
12、F，63ACa，2 AEAC， 所以6 312a，得2a，36FCa， 所以 1 3 2 pFGFC， 因此抛物线方程为 2 6yx，故选 B 5 【答案】B 【解析】设 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则 12 2xx， 12 2yy ， 22 11 22 1 xy ab ， 22 22 22 1 xy ab ， 得 12121212 22 ()()()() 0 xxxxyyyy ab ， 22 12 22 1 12 122 () () AB bxyy x xb k ayyax ， 又 0 11 3 12 AB k ， 2 2 1 2 b a ， 又 222 9abc ，解
13、得 2 9b ， 2 18a ， 椭圆方程为 22 1 189 xy 6 【答案】C 【解析】如图所示， 由直线3()yxc ，可知该直线的斜率为 3 ，倾斜角120 因为 2112 2MF FMFF ， 21 60MF F， 12 30MFF，得 12 90FMF 设 2 |MFm， 1 |MFn，则 222 4 2 3 mnc mna nm ， 解得 231 22 am cm ，可得31 c a ， 该椭圆的离心率 31e 7 【答案】C 【解析】设 1( ,0)Fc， 2( ,0) F c， 由 1 2|FOOM， 1 OMF与 2 PF F相似， 所以 11 2 2 | PFF POM
14、F O ，即 12 2PFPF， 又因为 12 2PFPFa，所以 1 4PFa， 2 2PFa， 所以 222 4164caa，即 22 5ca， 22 4ba， 所以双曲线C的渐近线方程为2yx 8 【答案】C 【解析】点, 2 a Q c 在椭圆的外部，所以 2 2 ab a ，即 22 2ab， 所以 2 2 2 1 2 b e a ， 由 112 3 2 PFPQFF恒成立， 122 5 2223 22 a PFPQaPQPFaQFaac，即 6 5 c a ， 所以 5 6 c e a 又1e，所以 5 ,1 6 e 二、填空题 9 【答案】20 【解析】如图所示，由 12 | 8
15、FF ，得2 8c ，即4c ，椭圆 22 2 1 9 xy a （3a ） ， 222 9 1625abc ，得5a， 弦AB过点 1 F，根据椭圆定义得 2 ABF的周长为420a， 故答案为 20 10 【答案】 2 【解析】由 2 9 1625c ，得5c ，则 1 C、 2 C是双曲线的左、右焦点，也是题中圆的 圆心， 2222 22 121212 44PMPNPCPCrPCPCPCPCr 2 12 6()4PCPCr， 当P在x轴上时， 12 PCPC最小为 12 10CC ， 则 22 PMPN最小值为 2 6 10458r ，解得 2r ， 故答案为 2 三、解答题 11 【答
16、案】 （1） 2 4xy（2）证明见解析 【解析】 （1）由题意得 0 0 2 2 24 p AFy py ，解得 0 2 1 p y ， 所以，抛物线E的标准方程为 2 4xy （2）证明：设点 11 ,B x y、 22 ,M x y，设直线BM的方程为ykxb， 联立 2 4 ykxb xy ，消去y，得 2 440 xkxb ， 由韦达定理得 12 4xxk， 12 4x xb ， 由MPx轴以及点P在直线3yx上，得 22 ,3P x x ， 则由A、P、B三点共线，得 21 21 41 22 xkxb xx ， 整理得 1 212 1241260kx xkxbxb， 将韦达定理代入
17、上式并整理得 1 2230 xkb ， 由点B的任意性，得230kb ，得3 2bk ， 所以，直线BM的方程为2323ykxkk x ，即直线BM过定点2,3 12 【答案】 （1） 2 2 1 3 x y； （2） 3 2 【解析】 （1）由 222 2 22 2 1 3 abb e aa ，得 3 3 b a ， 由椭圆C经过点 3 1 ( , ) 2 2 ，得 22 91 1 44ab ， 联立，解得1b， 3a ， 椭圆C的方程是 2 2 1 3 x y （2）由题意可知直线AB一定存在斜率，设其方程为2ykx， 联立 2 2 2 1 3 ykx x y 消去y，得 22 (1 3)
18、1290kxkx， 则 22 14436(1 3)0kk，得 2 1k ， 设 11 ( ,)A x y、 22 (,)B xy，则 12 2 12 1 3 k xx k ， 12 2 9 1 3 xx k ， 1212 1 2 2 AOBPOBPOA SSSxxxx ， 2 222 121212 222 2 123636(1) ()()4() 1 31 3(1 3) kk xxxxx x kkk ， 设 2 1kt (0t )，则 2 12 2 3636363 () 16 (34)416 924 2 924 t xx t t t t t ， 当且仅当 16 9t t ，即 4 3 t 时等号成立，此时 2 7 1 3 k ，可取， 此时AOB面积取得最大值 3 2
