1、 1 三角函数的图象， 主要涉及图象变换问题以及由图象确定解析式问题， 主要以选择题、 填空题的形式考查； 2利用三角函数的性质求解三角函数的值、参数、最值、值域、单调区间等，主要以解答题的形式考查； 3三角函数的化简与求值是高考的命题热点，其中同角三角函数的基本关系、诱导公式是解决计算问题的工 具，三角恒等变换是利用三角恒等式(两角和与差、二倍角的正弦、余弦、正切公式)进行变换，“角”的变换 是三角恒等变换的核心 1常用三种函数的图象性质(下表中k?Z) 函数 ysin x ycos x ytan x 图象 递增 区间 2,2 22 kk ? ? ? ? ?22kk? , 22 kk ? ?
2、 ? ? 递减 区间 2,2 22 kk ? ? ? ? ?22kk? 奇偶性 奇函数 偶函数 奇函数 对称 中心 ?,0k ,0 2 k ? ? ? ? ,0 2 k? ? ? 对称轴 xk 2 ? xk 周期性 2 2 2三角函数的常用结论 (1)yAsin(x)，当 k(kZ)时为奇函数；当 k 2 ? ( k?Z)时为偶函数； 对称轴方程可由 xk 2 ? ( k?Z)求得 (2)yAcos(x)，当 k 2 ? (kZ)时为奇函数；当 k(kZ)时为偶函数； 考向预测考向预测 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 专题二专题二 第第 1 1 讲讲 三角三角函数函数 三角三角函数、函数、解
3、三角形、平面向量解三角形、平面向量与与数列数列 对称轴方程可由 xk(k?Z)求得 (3)yAtan(x)，当 k(k?Z)时为奇函数 3三角函数的两种常见变换 (1)ysin x ?00? ? ? ? ? 向左或向右 平移个单位 ysin(x) A ? 纵坐标变为原来的 倍 横坐标不变 yAsin(x)(A0，0) yAsin(x)(A0，0) 4三角函数公式 (1)同角关系：sin2cos21， sin tan cos ? ? ? ? (2)诱导公式：对于“ 2 k ? ? ?，k?Z的三角函数值”与“ 角的三角函数值”的关系可按下面口诀记忆： 奇变偶不变，符号看象限 (3)两角和与差的正
4、弦、余弦、正切公式： ?sinsincoscossin?； ?coscoscossinsin?； ? tantan tan 1tantan ? ? ? ? ? (4)二倍角公式：sin22sincos?， 2222 cos2cossin2cos1 1 2sin? ? ? (5)辅助角公式：asin xbcos xa2b2sin(x)，其中tan b a ? 热点一 三角函数的图象 热点热点题型题型 【例 1】(1) (2018 清流一中)已知函数 1 2cos 24 yx ? ? ? ? ， （1）用“五点法”作出这个函数在一个周期内的图象； （2）函数xycos?图象经过怎样的变换可以得到
5、1 2cos 24 yx ? ? ? ? 的图象？ (2)函数 f(x)Asin(x)0,0, 2 A? ? ? ? ? 的部分图象如图所示，则函数 f(x)的解析式为( ) A( )2sin 6 f xx ? ? ? ? B( )2sin 2 3 f xx ? ? ? ? C( )2sin 2 12 f xx ? ? ? ? D( )2sin 2 6 f xx ? ? ? ? (1)解 (1)列表 x 2 ? 2 3 2 5 2 7 2 1 24 x ? 0 2 3 2 2 1 2cos 24 yx ? ? ? ? 2 0 2? 0 2 【注：列表每行 1 分，该行必须全对才得分；图象五点对
6、得 1 分，图象趋势错扣 1 分】 （2）把xycos?的图象向左平移 4 个单位得到 cos 4 yx ? ? ? ? 的图象，再把 cos 4 yx ? ? ? ? 的图象纵坐标不 变，横坐标变为原来的 2 倍得到 1 cos 24 yx ? ? ? ? 的图象，最后把 1 cos 24 yx ? ? ? ? 的图象横坐标不变，纵坐标 变为原来的 2 倍，得到 1 2cos 24 yx ? ? ? ? 的图象 (2)由(1)知( )5sin 2 6 f xx ? ? ? ? ，根据图象平移变换，得( )5sin 22 6 g xx? ? ? ? ? 因为 ysin x 的对称中心为?,0k
7、，k?Z 令 2x2 6 ? k，k?Z，解得 212 k x? ? ?，k?Z 由于函数 yg(x)的图象关于点,0 12 ? ? ? 成中心对称，令 5 21212 k ? ? ?，k?Z，解得 23 k ? ? ?，k?Z 由 0 可知，当 k1 时， 取得最小值 6 ? (2)解析 (1)由题意知 A2， 5 4 126 T ? ? ? ? ? ，2， 因为当 5 12 x ? ?时取得最大值 2，所以 5 22sin 2 12 ? ? ? ? ? ， 所以 5 22 122 k? ? ?，k?Z，解得 3 2k? ? ，k?Z， 因为|0，0)的图象求解析式时，常采用待定系数法，由图
8、中的最高点、最低点或 特殊点求 A；由函数的周期确定 ；确定 常根据“五点法”中的五个点求解，其中一般把第一个零点作为突 破口，可以从图象的升降找准第一个零点的位置 【训练 1】(1) (2018 孝感期末)已知函数? ? 1 sin 20,0 22 f xAxA? ? ? ? ? ，? ? 33 3 x x m g x ? ?， ? ?f x的图像在y轴上的截距为 1，且关于直线 12 x ?对称若对于任意的? 1 1,2x ? ?，存在 2 0, 6 x ? ? ? ? ， 使得? ? 12 g xf x?，则实数m的取值范围为_ (2)(2017 贵阳调研)已知函数 f(x)Asin(x
9、)( 0A?，0?， 2 ?)的部分图象如图所示 求函数 f(x)的解析式； 将函数 yf(x)的图象上各点的纵坐标保持不变， 横坐标缩短到原来的1 2倍， 再把所得的函数图象向左平移 6个 单位长度，得到函数 yg(x)的图象，求函数 g(x)在区间? ? ? ? 0， 8 上的最小值 解析(1)因为? ?f x的图像在y轴上的截距为 1，且关于直线 12 x ?对称， 所以? ? 1 0sin1 2 fA?，sin 21 12 ? ? ? ? ? ? ， 又0A?，0 2 ?，所以 3 ?，3A?， 所以? ? 1 3sin 2 32 f xx ? ? ? ? ， 6 0,x ? ? ?
10、? ， 所以 2 2, 33 3 x ? ? ? ? ， 3 sin 2,1 32 x ? ? ? ? ? ? ，? ? 1 1, 3 2 f x ? ? ? ? ，? ?min1f x?， 因为? ? 333 33 x xx m g xm ? ?，?1,2x? ?，所以? ?min 1 3 g xm?， 若对于任意的? 1 1,2x ? ?，存在 2 0, 6 x ? ? ? ? ，使得? ? 12 g xf x?， 则? ? 12 minmin g xf x?，所以 1 1 3 m?，解得 2 3 m ? ?， 所以实数?的取值范围为 2 , 3 ? ? ? ? ? ? ，答案为 2 ,
11、3 ? ? ? ? ? ? 答案 2 , 3 ? ? ? ? ? ? (2)解 设函数 f(x)的最小正周期为 T，由题图可知 A1，T 2 2 3 6 2， 即 T，所以 2 ，解得 2，故 f(x)sin(2x) 由 0sin? ? ? ? 2 6 可得 32k，k?Z ， 则 2k 3，kZ，因为| 2，所以 3， 故函数 f(x)的解析式为 f(x)sin? ? ? ? 2x 3 根据条件得 g(x)sin? ? ? ? 4x 3 ， 当 x? ? ? ? 0， 8 时，4x 3? ? ? ? 3， 5 6 ， 所以当 x 8时，g(x)取得最小值，且 g(x)min 1 2 热点二
12、三角函数的性质 【例 2】 (2018 哈尔滨三中)已知函数? ?sin0,0, 2 f xAxA? ? ? ? ? 的图象与y轴的交点为? ? 0,3?， 它在y轴右侧的第一个最高点和第一个最低点的坐标分别为? 0,2 x和 0 , 2 2 x ? ? ? ? （1）求? ?f x解析式及 0 x的值； （2）求? ?f x的单调增区间； （3）若 2 0,x ? ? ? ? 时，函数? ? ?21g xf xm? ?有两个零点，求实数m的取值范围 解 （1）由题意知，2A?， 22 T ?，T ?， 2 2 T ?； 又图象过点? ? 0,3?，2sin3? ?， 3 sin 2 ? ?；
13、 又 2 ?， 3 ? ?；? ?2sin 2 3 f xx ? ? ? ? ； 又? 0 2,x是? ?f x在y轴右侧的第 1 个最高点， 0 2 2 3 x ?，解得 0 5 12 x ? （2）由?2 22 23 2 kxkk?Z，得? 5 1212 kxkk?Z， ? ?f x的单调增区间为? 5 , 1212 kkk ? ? ? ? Z； （3）在 2 0,x ? ? ? ? 时，函数? ? ?21g xf xm? ?有两个零点， ? ?0g x ?有两个实数根，即函数图象有两个交点 1 sin 2 34 m x ? ? ? ? 在0, 2 ? ? ? 上有两个根， 2 0,x ?
14、 ? ? ? ， 2 2, 33 3 x ? ? ? ? ? ， 结合函数图象，函数? ? ?21g xf xm? ?有两个零点的范围是?5, 2 31? ? ? 5, 2 31m ? ? ? ? 探究提高 1讨论三角函数的单调性，研究函数的周期性、奇偶性与对称性，都必须首先利用辅助角公式， 将函数化成一个角的一种三角函数 2 求函数 yAsin(x)(A0， 0)的单调区间， 是将 x 作为一个整体代入正弦函数增区间(或减区间)， 求出的区间即为 yAsin(x)的增区间(或减区间)，但是当 A0，0 时，需先利用诱导公式变形为 y Asin(x)，则 yAsin(x)的增区间即为原函数的减
15、区间，减区间即为原函数的增区间 【训练 2】 (2017 浙江卷)已知函数 f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos x(xR) (1)求 f ? ? ? ? 2 3 的值； (2)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间 解 (1)f(x)sin2xcos2x2 3sin xcos xcos 2x 3sin 2x2sin? ? ? ? 2x 6 ， 则 f ? ? ? ? 2 3 2sin? ? ? ? 4 3 6 2 (2)f(x)的最小正周期为 由正弦函数的性质，令 2k 22x 62k 3 2 ，kZ， 得 k 6xk 2 3 ，kZ 所以函数 f(x)的单调递增区间为? ?
16、? ? k 6，k 2 3 ，kZ 热点三 三角函数图象与性质的综合应用 【例 3】 (2017 西安调研)已知函数 f(x)2sin xcos x2 3sin2x 3(0)的最小正周期为 (1)求函数 f(x)的单调递增区间 (2)将函数 f(x)的图象向左平移 6个单位， 再向上平移 1 个单位， 得到函数 yg(x)的图象， 若 yg(x)在0， b(b0) 上至少含有 10 个零点，求 b 的最小值 解 (1)f(x)2sin xcosx 3(2sin2x1)sin 2x 3cos 2x2sin? ? ? ? 2x 3 由最小正周期为 ，得 1，所以 f(x)2sin? ? ? ? 2x 3 ， 由 2k 22x 32k 2， k?Z， 整理得 k 12xkx 5 12， k?Z， 所以函数 f(x)
