1、10.1.1复数的概念 一、复数的引入 1.思考 (1)分别在有理数集、实数集、复数集中分解因式x4-25. 提示:在有理数集中:x4-25=(x2+5)(x2-5). 在实数集中: x4-25=(x2+5)(x2-5) (2)虚数单位i有哪些性质? 提示:虚数单位i有如下几个性质: i的平方等于-1,即i2=-1; 实数与i可进行四则运算,并且原有的加法、乘法运算律仍然成 立; i的乘方:i4n=1,i4n+1=i,i4n+2=-1,i4n+3=-i(nN*). 2.填空 一般地,为了使得方程x2=-1有解,人们规定i的平方等于-1,即i2=-1, 并称i为虚数单位. 3.做一做 (1)复数
2、i-i2的虚部为() A.0B.1C.iD.-2 解析:i-i2=1+i. 答案:B (2)i4=. 解析:i4=(i2)2=(-1)2=1. 答案:1 二、复数的概念 1.思考 (1)两个复数一定能比较大小吗? 提示:不一定,只有当这两个复数是实数时,才能比较大小. (2)复数a+bi的实部是a,虚部是b吗? 提示:不一定,对于复数z=a+bi(a,bR),实部才是a,虚部才是b. 2.填空 (1)复数的概念:一般地,当a与b都是实数时,称a+bi为复数. (2)复数的表示方法:复数一般用小写字母z表示,即z=a+bi(a,bR), 其中a称为z的实部,b称为z的虚部,分别记作Re(z)=a
3、,Im(z)=b. (3)复数集的定义:所有复数组成的集合称为复数集,复数集通常用 大写字母C表示.因此C=z|z=a+bi,a,bR. 3.做一做 (1)下列命题中是假命题的是() A.自然数集是非负整数集 B.实数集与复数集的交集为实数集 C.实数集与虚数集的交集是0 D.纯虚数与实数集的交集为空集 解析:搞清复数的分类是解决本题的前提. 答案:C 答案:C (3)若复数z=a2-3+2ai的实部与虚部互为相反数,则实数a的值为 . 解析:由条件知a2-3+2a=0, a=1或a=-3. 答案:1或-3 三、复数相等 1.思考 (1)若复数z=a+bi(a,bR).z=0,则a+b的值为多
4、少? 提示:0 (2)若复数z1,z2为z1=3+ai(aR),z2=b+i(bR),且z1=z2,则a+b的值为 多少? 提示:4 2.填空 两个复数z1与z2,如果实部与虚部都对应相等,我们就说这两个复数 相等,记作z1=z2. 这就是说,如果a,b,c,d都是实数,那么a+bi=c+dia=c且b=d. 特别地,当a,b都是实数时,a+bi=0的充要条件是a=0且b=0. 点拨两个复数不一定能比较大小: (1)根据复数相等的定义,知在a=c,b=d两式中,只要有一个不成立, 那么a+bic+di. (2)若两个复数全是实数,则可以比较大小,反之,若两个复数能比较 大小,则它们必须都是实数
5、(即虚部均为0). (3)若两个复数不全是实数,则不能比较大小. 3.做一做 (1)若(x+y)i=x-1,则实数x,y的值分别是() A.1,1B.-1,1 C.1,0D.1,-1 答案:D (2)若复数z=(m+1)+(m2-9)i-5+(a+2b-6)i的实数a,b的取值情况. 正解:由-2+a-(b-a)i-5+(a+2b-6)i,可得 辨析1.不要想当然地认为大的复数所对应的实部和虚部都大,而忽 视了只有实数才能比较大小的前提,因此本题中的复数应为实数. 2.两个复数能比较大小,前提是两个复数都是实数. 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 1.设i是虚数单位,m,n为实数,复数z=m+ni为虚数,则 () A.m=0 B.n0 C.m=0且n0D.mn0 解析:若复数是虚数,则n0,故选B. 答案:B 2.复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是() A.1B.iC.-1 D.-i 解析:复数z=1-i(i为虚数单位)的虚部是-1.故选C. 答案:C 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 3.已知mR,设复数Z=(m2-2m-3)+(m2-1)i.若复数Z为纯虚数,实数 m=. 答案:3 探究一探究二探究三思维辨析当堂检测 (1)若z是虚数,求m的取值范围; (2)若z是纯虚数,求m的值.
