1、第 2 讲 三角恒等变换与解三角形 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 利用正、余弦定理求边或角 T17 1.高考对此部分的考查一 般以“二小”或“一大” 的命题形式出现 2若无解答题，一般在选 择题或填空题各有一题， 主 要考查三角恒等变换、 解三 角形，难度一般，一般出现 在第49题或第1315题 位置上 3若以解答题命题形式出 现， 主要考查三角函数与解 三角形的综合问题， 一般出 现在解答题第 17 题位置 上，难度中等. 卷 利用余弦定理求边长 T6 三角恒等变 换 T15 卷 倍角公式 T4 三角形的面积公式 T9 2017 卷 正、余弦定理、三角形的面积公式及
2、两角 和的余弦公式 T17 卷 余弦定理、 三角恒等变换及三角形的面积 公式 T17 卷 余弦定理、三角形的面积公式 T17 2016 卷 正、余弦定理、两角和的正弦公式 T17 卷 诱导公式、三角恒等变换、给值求值问 题 T9 正弦定理的应用、诱导公式 T13 卷 正、余弦定理解三角形 T8 三角恒等变换与求值(基础型) 两角和与差的正弦、余弦、正切公式 (1)sin( )sin cos cos sin . (2)cos( )cos cos ?sin sin . (3)tan( ) tan tan 1?tan tan . 二倍角的正弦、余弦、正切公式 (1)sin 22sin cos . (
3、2)cos 2cos2sin22cos2112sin2. (3)tan 2 2tan 1tan2. 三角恒等变换的“四大策略” (1)常值代换：特别是“1”的代换，1sin2cos2tan 45 等 (2)项的分拆与角的配凑：如 sin22cos2(sin2cos2)cos2，() 等 (3)降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次 (4)弦、切互化：一般是切化弦 考法全练 1已知 ? ? ? ? 0， 2 ，tan 2，则 cos? ? ? ? 4 _ 解析：因为 ? ? ? ? 0， 2 ，tan 2， 所以 sin 2 5 5 ，cos 5 5 ， 所以 cos? ? ? ?
4、4 cos cos 4sin sin 4 2 2 ? ? ? ? 2 5 5 5 5 3 10 10 . 答案：3 10 10 2已知 cos 1 3，cos() 1 3，且 ，? ? ? ? 0， 2 ，则 cos()_ 解析：因为 ? ? ? ? 0， 2 ，所以 2(0，) 因为 cos 1 3，所以 cos 22cos 217 9， 所以 sin 2 1cos224 2 9 ， 又 ，? ? ? ? 0， 2 ， 所以 (0，)， 所以 sin() 1cos2（）2 2 3 ， 所以 cos()cos2() cos 2cos()sin 2sin() ? ? ? ? 7 9 ? ? ?
5、? 1 3 4 2 9 2 2 3 23 27. 答案：23 27 3已知 sin 3 5? ? ? ? 20， 所以 sin B2sin Bcos C，所以 cos C1 2. 因为 C(0，)，所以 C 3 . (2)由(1)及余弦定理得 cos Ca 2b2c2 2ab 1 2， 又 c2 3，所以 a2b212ab， 所以(ab)2123ab3? ? ? ? ab 2 2 ， 即(ab)248(当且仅当 ab2 3时等号成立) 所以 ab4 3，abc6 3. 所以ABC 周长的最大值为 6 3. 2(2018 武汉调研)在锐角ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，满
6、足 cos 2A cos 2B2cos? ? ? ? 6 B cos? ? ? ? 6 B 0. (1)求角 A 的值； (2)若 b 3且 ba，求 a 的取值范围 解 ： (1) 由 cos 2A cos 2B 2cos ? ? ? ? 6B cos? ? ? ? 6B 0 ， 得 2sin 2B 2sin2A 2? ? ? ? 3 4cos 2B1 4sin 2B 0，化简得 sin A 3 2 ，又ABC 为锐角三角形，故 A 3. (2)因为 b 3a，所以 ca，所以 3C 2， 6B 3，所以 1 2sin B 3 2 . 由正弦定理 a sin A b sin B，得 a 3
7、2 3 sin B，所以 a 3 2 sin B， 由 sin B? ? ? ? 1 2， 3 2 得 a 3，3) A 组 夯基保分专练 一、选择题 1(2018 高考全国卷)已知函数 f(x)2cos2xsin2x2，则( ) Af(x)的最小正周期为，最大值为 3 Bf(x)的最小正周期为，最大值为 4 Cf(x)的最小正周期为 2，最大值为 3 Df(x)的最小正周期为 2，最大值为 4 解析： 选 B.易知 f(x)2cos2xsin2x23cos2x13 2(2cos 2x1)3 21 3 2cos 2x 5 2， 则 f(x) 的最小正周期为，当 xk(kZ)时，f(x)取得最大
8、值，最大值为 4. 2在ABC 中，内角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 c2a，bsin Basin A1 2asin C，则 sin B 为( ) A. 7 4 B.3 4 C. 7 3 D.1 3 解析：选 A.由 bsin Basin A1 2asin C， 且 c2a， 得 b 2a， 因为 cos Ba 2c2b2 2ac a 24a22a2 4a2 3 4， 所以 sin B 1? ? ? ? 3 4 2 7 4 . 3(2018 洛阳第一次统考)在ABC 中，角 A，B，C 的对边分别是 a，b，c，若 a，b， c 成等比数列，且 a2c2acbc，则 c bsin
9、 B( ) A. 3 2 B.2 3 3 C. 3 3 D. 3 解析：选 B.由 a，b，c 成等比数列得 b2ac，则有 a2c2b2bc，由余弦定理得 cos A b 2c2a2 2bc bc 2bc 1 2，故 A 3 ，对于 b2ac，由正弦定理得，sin2 Bsin Asin C 3 2 sin C，由正弦定理得， c bsin B sin C sin2 B sin C 3 2 sin C 2 3 3 .故选 B. 4(2018 昆明模拟)在ABC 中，已知 AB 2，AC 5，tanBAC3，则 BC 边 上的高等于( ) A1 B. 2 C. 3 D2 解析：选 A.法一：因为
10、 tanBAC3，所以 sinBAC 3 10，cosBAC 1 10.由 余弦定理，得 BC2AC2AB22ACAB cosBAC522 5 2? ? ? ? 1 10 9，所 以 BC3，所以 SABC1 2ABACsinBAC 1 2 2 5 3 10 3 2，所以 BC 边上的高 h 2SABC BC 23 2 3 1，故选 A. 法二：因为 tanBAC3，所以 cosBAC 1 100，则BAC 为钝角，因此 BC 边上的高小于 2，故选 A. 5ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c.已知 sin Bsin A(sin Ccos C)0， a2，c 2，则 C( )
11、 A. 12 B. 6 C. 4 D. 3 解析：选 B.因为 sin Bsin A(sin Ccos C)0，所以 sin(AC)sin Asin Csin Acos C 0，所以 sin Acos Ccos Asin Csin Asin Csin Acos C0，整理得 sin C(sin Acos A)0.因为 sin C0， 所以 sin Acos A0，所以 tan A1，因为 A(0，)，所以 A3 4 . 由正弦定理得 sin Ccsin A a 2 2 2 2 1 2， 又 0C 4 ，所以 C 6 . 6.如图，在ABC 中，C 3 ，BC4，点 D 在边 AC 上，ADDB
12、， DEAB，E 为垂足若 DE2 2，则 cos A 等于( ) A.2 2 3 B. 2 4 C. 6 4 D. 6 3 解析：选 C.依题意得，BDAD DE sin A 2 2 sin A，BDCABDA2A.在BCD 中， BC sinBDC BD sin C， 4 sin 2A 2 2 sin A 2 3 4 2 3sin A，即 4 2sin Acos A 4 2 3sin A，由此解得 cos A 6 4 . 二、填空题 7若 sin? ? ? ? 3 1 4，则 cos? ? ? ? 3 2 _ 解析：依题意得 cos? ? ? ? 3 2 cos? ? ? ? ? ? ?
13、? 3 2 cos? ? ? ? 2? ? ? ? 3 2sin2? ? ? ? 3 12? ? ? ? 1 4 2 1 7 8. 答案：7 8 8 (2018 高考全国卷改编)在ABC 中， cosC 2 5 5 ， BC1， AC5， 则 AB_ 解析：因为 cos C2cos2 C 212 1 51 3 5，所以由余弦定理，得 AB 2AC2BC2 2AC BCcos C251251? ? ? ? 3 5 32，所以 AB4 2. 答案：4 2 9(2018 惠州第一次调研)已知 a，b，c 是ABC 中角 A，B，C 的对边，a4，b(4， 6)，sin 2Asin C，则 c 的取值
14、范围为_ 解析：由 4 sin A c sin C，得 4 sin A c sin 2A，所以 c8cos A，因为 16b 2c22bccos A， 所以16b264cos2A16bcos2A， 又b4， 所以cos2A 16b2 6416b （4b）（4b） 16（4b） 4b 16 ， 所以 c264cos2A644b 16 164b.因为 b(4，6)，所以 32c240，所以 4 2c2 10. 答案：(4 2，2 10) 三、解答题 10(2018 沈阳教学质量监测(一)在ABC 中，已知内角 A，B，C 的对边分别是 a，b， c，且 2ccos B2ab. (1)求 C； (2
15、)若 ab6，ABC 的面积为 2 3，求 c. 解：(1)由正弦定理得 2sin Ccos B2sin Asin B， 又 sin Asin(BC)， 所以 2sin Ccos B2sin(BC)sin B， 所以 2sin Ccos B2sin Bcos C2cos Bsin Csin B， 所以 2sin Bcos Csin B0， 因为 sin B0，所以 cos C1 2. 又 C(0，)，所以 C2 3 . (2)因为 SABC1 2absin C2 3， 所以 ab8， 由余弦定理，得 c2a2b22abcos Ca2abb2(ab)2ab28， 所以 c2 7. 11(2018
16、 石家庄质量检测(二)已知ABC 的内角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c，且 3c acos Btan Atan B. (1)求角 A 的大小； (2)设 AD 为 BC 边上的高，a 3，求 AD 的取值范围 解：(1)在ABC 中，因为 3c acos Btan Atan B，所以 3sin C sin Acos B sin A cos A sin B cos B，即 3sin C sin Acos B sin Acos Bsin Bcos A cos Acos B ， 所以 3 sin A 1 cos A，则 tan A 3，所以 A 3 . (2)因为 SABC1 2ADBC 1 2bcsin A， 所以 AD1 2bc. 由余弦定理得 cos A1 2 b2c2a2 2bc 2bc3 2bc ， 所以 0bc3(当且仅当 bc 时等号成立)， 所以 0AD3 2. 12(2018 郑州质量检测(二)已知ABC 内接于半径为 R 的圆，a，b，c 分别是角 A， B，C 的对边，且 2R(sin2Bsin2A)(bc)sin
