1、第 3 讲 立体几何中的向量方法 年份 卷别 考查内容及考题位置 命题分析 2018 卷 直线与平面所成角的正弦值 T18(2) 高考对此部分的 命题较为稳定，一般 为解答题，多出现在 第 18 或 19 题的第二 问的位置，考查利用 空间向量求异面直线 所成的角、线面角或 二面角，难度中等偏 上. 卷 二面角、直线与平面所成的角 T20(2) 卷 二面角的正弦值 T19(2) 2017 卷 二面角的余弦值的求解 T18(2) 卷 二面角的余弦值的求解 T19(2) 卷 二面角的余弦值的求解 T19(2) 2016 卷 二面角的余弦值的求解T18(2) 卷 二面角的正弦值的求解 T19(2)
2、卷 线面角的正弦值的求解 T19(2) 利用空间向量证明平行与垂直(综合型) 设直线 l 的方向向量为 a(a1，b1，c1)，平面 、 的法向量分别为 (a2，b2，c2)、 (a3，b3，c3)，则有： (1)线面平行 l?a?a0?a1a2b1b2c1c20. (2)线面垂直 l?a?ak?a1ka2，b1kb2，c1kc2. (3)面面平行 ?a2a3，b2b3，c2c3. (4)面面垂直 ?0?a2a3b2b3c2c30. 典型例题 如图，在四棱锥 P- ABCD 中，PA底面 ABCD， ADAB，ABDC，ADDCAP2，AB1，点 E 为棱 PC 的中 点证明： (1)BEDC
3、； (2)BE平面 PAD； (3)平面 PCD平面 PAD. 【证明】 依题意，以点 A 为原点建立空间直角坐标系(如图)， 可得 B(1，0，0)，C(2，2，0)，D(0，2，0)，P(0，0，2)由 E 为棱 PC 的中点，得 E(1，1， 1) (1)向量BE (0，1，1)，DC (2，0，0)，故BE DC 0. 所以 BEDC. (2)因为 ABAD，又 PA平面 ABCD，AB?平面 ABCD， 所以 ABPA，PAADA，所以 AB平面 PAD， 所以向量AB (1，0，0)为平面 PAD 的一个法向量 而BE AB(0，1，1) (1，0，0)0， 所以 BEAB， 又
4、BE?平面 PAD，所以 BE平面 PAD. (3)由(2)知平面 PAD 的一个法向量AB (1，0，0)，向量PD (0，2，2)，DC (2，0， 0)， 设平面 PCD 的法向量为 n(x，y，z)， 则 ? ? ? ? ?n PD 0， n DC 0， 即 ? ? ? ?2y2z0， 2x0， 不妨令 y1，可得 n(0，1，1)为平面 PCD 的一个法向量且 n AB (0，1，1) (1，0， 0)0， 所以 nAB .所以平面 PCD平面 PAD. 利用空间向量证明空间垂直、平行的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系，建系时要尽可能地利用条件中的垂直关系 (2)建立空间图形与空间
5、向量之间的关系，用空间向量表示出问题中所涉及的点、直线、 平面的要素 (3)通过空间向量的运算求出直线的方向向量或平面的法向量，再研究平行、垂直关系 (4)根据运算结果解释相关问题 对点训练 在直三棱柱 ABC- A1B1C1中，ABC90，BC2，CC14，点 E 在 线段 BB1上，且 EB11，D，F，G 分别为 CC1，C1B1，C1A1的中点求证： (1)B1D平面 ABD. (2)平面 EGF平面 ABD. 证明：(1)依题意，以 B 为坐标原点，BA，BC，BB1所在的直线分别为 x 轴，y 轴，z 轴，建立空间直角坐标系，如图所示，则 B(0，0，0)，D(0，2，2)，B1(
6、0，0， 4)，C1(0，2，4)，设 BAa， 则 A(a，0，0)， 所以BA (a，0，0)，BD (0，2，2)，B1D (0，2，2)，B1D BA 0，B1D BD 0440， 即 B1DBA，B1DBD. 又 BABDB，BA，BD?平面 ABD， 因此 B1D平面 ABD. (2)由(1)知，E(0，0，3)，G? ? ? ? a 2，1，4 ， F(0，1，4)， 则EG ? ? ? ? a 2，1，1 ，EF (0，1，1)， B1D EG 0220，B1D EF 0220， 即 B1DEG，B1DEF. 又 EGEFE，EG，EF?平面 EGF， 因此 B1D平面 EGF
7、. 结合(1)可知B1D 是平面 ABD 的一个法向量， 所以平面 EGF平面 ABD. 利用空间向量求空间角(综合型) 典型例题 命题角度一 异面直线所成的角 已知直三棱柱 ABC- A1B1C1中，ABC120，AB2，BCCC11，则异面直 线 AB1与 BC1所成角的余弦值为_ 【解析】 如图，在平面 ABC 内过点 B 作 BDAB，交 AC 于 点 D，则CBD30. 因为 BB1平面 ABC，故以 B 为坐标原点，分别以射线 BD， BA，BB1为 x 轴、y 轴、z 轴的正半轴建立空间直角坐标系， 则 B(0，0，0)，A(0，2，0)，B1(0，0，1)，C1(cos 30，
8、sin 30 ，1)，即 C1? ? ? ? 3 2 ，1 2，1 . 所以AB1 (0，2，1)，BC1 ? ? ? ? 3 2 ，1 2，1 . 所以 cosAB1 ，BC1 AB1 BC1 |AB1 |BC1 | 0 3 2 （2）? ? ? ? 1 2 11 0（2）212 ? ? ? ? 3 2 2 ? ? ? ? 1 2 2 12 10 5 . 所以异面直线 AB1与 BC1所成角的余弦值为 10 5 . 【答案】 10 5 两异面直线所成角的求法 (1)定义法：过空间中任一点，分别作两异面直线的平行线，则这两条相交直线所成的 锐角或直角等于两异面直 线所成的角 定义法求解的实质就
9、是将空间中两异面直线所成的角转化为平面三角形的 内角进行求解 (2)向量法：设异面直线 a，b 的方向向量分别为 a，b，则异面直线 a，b 所成角的余弦 值等于|cosa，b|. 命题角度二 直线与平面所成的角 (2018 高考全国卷)如图，四边形 ABCD 为正方形，E， F 分别为 AD，BC 的中点，以 DF 为折痕把DFC 折起，使点 C 到 达点 P 的位置，且 PFBF. (1)证明：平面 PEF平面 ABFD； (2)求 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值 【解】 (1)证明：由已知可得，BFPF，BFEF，所以 BF平面 PEF. 又 BF?平面 ABFD， 所以平面 P
10、EF平面 ABFD. (2)作 PHEF，垂足为 H.由(1)得，PH平面 ABFD. 以 H 为坐标原点，HF 的方向为 y 轴正方向，|BF |为单位长， 建立如图所示的空间直角坐标系 H- xyz. 由(1)可得，DEPE.又 DP2，DE1，所以 PE 3.又 PF 1，EF2，故 PEPF.可得 PH 3 2 ，EH3 2. 则 H(0，0，0)，P? ? ? ? 0，0， 3 2 ，D? ? ? ? 1，3 2，0 ，DP ? ? ? ? 1，3 2， 3 2 ，HP ? ? ? ? 0，0， 3 2 为平面 ABFD 的法向量 设 DP 与平面 ABFD 所成角为 ，则 sin
11、? ? ? ? ? ? ? ? HP DP |HP |DP | 3 4 3 3 4 . 所以 DP 与平面 ABFD 所成角的正弦值为 3 4 . 向量法求直线和平面所成的角 设 为直线 l 与平面 所成的角， 为直线 l 的方向向量 v 与平面 的法向量 n 之间的 夹角，则有 2(如图 1)或 2(如图 2)，所以有 sin |cos |cosv，n| |v n| |v|n|. 特别地，0 时， 2，l； 2时，0，l? 或 l. 命题角度三 二面角的平面角 (2018 沈阳教学质量监测(一)如图，在四棱锥 P- ABCD 中， 平面 PAD平面 ABCD，底面 ABCD 是正方形，且 P
12、APD，APD 90. (1)证明：平面 PAB平面 PCD； (2)(一题多解)求二面角 A- PB- C 的余弦值 【解】 (1)证明：因为底面 ABCD 为正方形， 所以 CDAD. 又平面 PAD平面 ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD， 所以 CD平面 PAD. 又 AP?平面 PAD，所以 CDAP. 因为APD90，即 PDAP，CDPDD， 所以 AP平面 PCD. 因为 AP?平面 PAB，所以平面 PAB平面 PCD. (2)法一：取 AD 的中点为 O，BC 的中点为 Q，连接 PO，OQ， 易得 PO底面 ABCD，OQAD， 以 O 为原点，OA ，OQ ，OP
13、 的方向分别为 x 轴，y 轴，z 轴的正方向建立空间直角坐标 系，如图，不妨设正方形 ABCD 的边长为 2， 可得 A(1，0，0)，B(1，2，0)，C(1，2，0)，P(0，0，1) 设平面 APB 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 而PA (1，0，1)，PB(1，2，1) 则 ? ? ? ? ?n1PA 0， n1PB 0，即? ? ? ?x1z10， x12y1z10， 则 y10，取 x11，得 n1(1，0，1)为平面 APB 的一个法向量 设平面 BCP 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 而PB (1，2，1)，PC(1，2，1)， 则 ? ? ? ? ?n2P
14、B 0， n2PC 0， 即 ? ? ? ?x22y2z20， x22y2z20， 则 x20，取 y21，得 n2(0，1，2)为平面 BCP 的一个法向量 所以 cosn1，n2 n1n2 |n1|n2| 100112 2 5 2 10 10 5 ， 由图易知二面角 A- PB- C 为钝角， 故二面角 A- PB- C 的余弦值为 10 5 . 法二：以 D 为原点，建立空间直角坐标系，如图， 不妨设正方形 ABCD 的边长为 2，可得 A(2，0，0)，B(2， 2，0)，C(0，2，0)，P(1，0，1)， 设平面 PAB 的法向量为 n1(x1，y1，z1)， 而PA (1，0，1
15、)，PB(1，2，1)， 则 ? ? ? ? ?PA n 10， PB n 10， 即 ? ? ? ?x1z10， x12y1z10， 则 y10，取 z11， 则 n1(1，0，1)为平面 PAB 的一个法向量 设平面 PBC 的法向量为 n2(x2，y2，z2)， 而PB (1，2，1)，PC(1，2，1)， 则 ? ? ? ? ?PB n 20， PC n 20， 即 ? ? ? ?x22y2z20， x22y2z20， 则 x20，取 y21，则 n2(0，1，2)为平面 PBC 的一个法向量 所以 cosn1，n2 n1n2 |n1|n2| 2 2 5 10 5 ， 由图可得二面角 A- PB- C 为钝角， 故二面角 A- PB- C 的余弦值为 10 5 . 向量法求二面角 设二面角 - l- 的平面角为 (0)，n1，n2分别为平面 ，的法向量，向量 n1， n2的夹角为 ，则有 (如图 1)或 (如图 2)，其中 cos n1n2 |n1|n2|. 对点训练 (2018 高考全国卷)如图， 在三棱锥 P- ABC 中， ABBC2 2， PAPBPCAC4，O 为 AC 的中点 (1)证明：PO平面 ABC； (2)若点 M 在棱 BC 上，且二面角
