1、 1.以三视图和空间几何体为载体考查面积与体积，难度中档偏下； 2.以选择题、填空题的形式考查线线、线面、面面位置关系的判定与性质定理对命题的真假进行判断，属基础 题；空间中的平行、垂直关系的证明也是高考必考内容，多出现在立体几何解答题中的第(1)问. 1.空间几何体的三视图：长对正、高平齐、宽相等. 2.空间几何体的两组常用公式 (1)正柱体、正锥体、正台体的侧面积公式： S柱侧ch(c 为底面周长，h 为高)； S锥侧1 2ch(c 为底面周长，h为斜高/母线)； S台侧1 2(cc)h(c，c 分别为上下底面的周长，h为斜高/母线)； S球表4R2(R 为球的半径). (2)柱体、锥体和
2、球的体积公式： V柱体Sh(S 为底面面积，h 为高)； V锥体1 3Sh(S 为底面面积，h 为高)； V球4 3R 3. 3.直线、平面平行的判定及其性质 (1)线面平行的判定定理：a?，b?，ab?a. (2)线面平行的性质定理：a，a?，b?ab. (3)面面平行的判定定理：a?，b?，abP，a，b?. (4)面面平行的性质定理：，a，b?ab. 4.直线、平面垂直的判定及其性质 (1)线面垂直的判定定理：m?，n?，mnP，lm，ln?l. (2)线面垂直的性质定理：a，b?ab. (3)面面垂直的判定定理：a?，a?. 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题三专
3、题三 第第 1 1 讲讲 空间几何体中的计算与位置关系空间几何体中的计算与位置关系 立体几何立体几何 (4)面面垂直的性质定理：，l，a?，al?a. 热点一 空间几何体的三视图与表面积、体积 【例 1】 (2018 上饶期末)如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A6 B44? C86? D46? 解析 根据三视图可得该几何体是有一个圆柱挖去两个 1 4 圆柱所得，作出几何体的直观图（如图） ， 则该几何体的表面积为 2 21 212 2 286S? ? ? ? ? 答案 C 探究提高 1.由几何体的三视图求其表面积： (1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关
4、系及度量 大小.(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式. 2.求三棱锥的体积：等体积转化是常用的方法，转换原则是其高易求，底面放在已知几何体的某一面上. 3.求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几何体转化为规则几何体以易于求解. 【训练 1】 (1)(2017 北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的体积为( ) A.60 B.30 C.20 D.10 (2)(2017 枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体积是1 3，则它 的表面积是_. 热点题型热点题型 解析 (1)由三视图知可把三棱锥放在一个长方体内部，即三棱锥 A1B
5、CD， 1 ABCD V ? 1 3 1 235410. (2)由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去 4 个三棱锥后剩余的内接正三棱锥 BA1C1D(如 图所示). 设正方体的棱长为 a，则几何体的体积是 Va341 3 1 2a 2a1 3a 31 3， a1，三棱锥的棱长为 2，因此该三棱锥的表面积为 S4 3 4 ( 2)22 3. 答案 (1)D (2)2 3 热点二 外接球与内切球 【例 2】 (2019 广东一模) 九章算术 中将底面为长方形， 且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球
6、面上，则该球的体积 为（ ） A6 B 8 6 3 C8 6 D24 解析 如图所示，该几何体为四棱锥PABCD?，底面ABCD为长方形. 其中PD ?底面ABCD，1AB ?，2AD ?，1PD ?.易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球， 则该阳马的外接球的直径为 222 1216PB ?.球体积为： 3 46 6 32 ? ? ? ? ? ? . 答案 A. 探究提高 1.与球有关的组合体问题， 一种是内切， 一种是外接.球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面解题， 球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平 面问题. 2
7、.若球面上四点 P，A，B，C 中 PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方 体确定直径解决外接问题. 【训练 2】 (2017 全国卷)已知圆柱的高为 1，它的两个底面的圆周在直径为 2 的同一个球的球面上，则该 圆柱的体积为( ) A. B.3 4 C. 2 D. 4 解析 如图画出圆柱的轴截面 ABCD，O 为球心.球半径 ROA1，球心到底面圆的距离为 OM1 2. 底面圆半径 r OA2OM2 3 2 ，故圆柱体积 Vr2h? ? ? ? 3 2 2 13 4 . 答案 B 热点三 空间平行、垂直关系的判断与证明 【例 3】(2017 全国卷)如图，在
8、四棱锥 PABCD 中，ABCD，且BAPCDP90. (1)证明：平面 PAB平面 PAD； (2)若 PAPDABDC，APD90，且四棱锥 PABCD 的体积为8 3，求该四棱锥的侧面积. (1)证明 BAPCDP90，ABPA，CDPD. ABCD，ABPD.又PAPDP，PA，PD?平面 PAD，AB平面 PAD. AB?平面 PAB，平面 PAB平面 PAD. (2)解 取 AD 的中点 E，连接 PE.PAPD，PEAD. 由(1)知，AB平面 PAD，故 ABPE，ABAD，可得 PE平面 ABCD. 设 ABx，则由已知可得 AD 2x，PE 2 2 x， 故四棱锥 PABC
9、D 的体积 VPABCD1 3ABADPE 1 3x 3. 由题设得1 3x 38 3，故 x2.从而 PAPDABDC2，ADBC2 2，PBPC2 2， 可得四棱锥 PABCD 的侧面积为1 2PAPD 1 2PAAB 1 2PDDC 1 2BC 2sin 6062 3. 探究提高 垂直、平行关系证明中应用转化与化归思想的常见类型. (1)证明线面、面面平行，需转化为证明线线平行. (2)证明线面垂直，需转化为证明线线垂直. (3)证明线线垂直，需转化为证明线面垂直. (4)证明面面垂直，需转化为证明线面垂直，进而转化为证明线线垂直. 【训练 3】 (2017 山东卷)由四棱柱 ABCDA
10、1B1C1D1截去三棱锥 C1B1CD1后得到的几何体如图所示.四边形 ABCD 为正方形，O 为 AC 与 BD 的交点，E 为 AD 的中点，A1E平面 ABCD. (1)证明：A1O平面 B1CD1； (2)设 M 是 OD 的中点，证明：平面 A1EM平面 B1CD1. 证明 (1)取 B1D1的中点 O1，连接 CO1，A1O1， 由于 ABCDA1B1C1D1是四棱柱，所以 A1O1OC，A1O1OC， 因此四边形 A1OCO1为平行四边形，所以 A1OO1C， 又 O1C?平面 B1CD1，A1O?平面 B1CD1，所以 A1O平面 B1CD1. (2)因为 ACBD，E，M 分
11、别为 AD 和 OD 的中点，所以 EMBD， 又 A1E平面 ABCD，BD?平面 ABCD，所以 A1EBD， 因为 B1D1BD，所以 EMB1D1，A1EB1D1，又 A1E，EM?平面 A1EM，A1EEME， 所以 B1D1平面 A1EM，又 B1D1?平面 B1CD1，所以平面 A1EM平面 B1CD1. 1(2018 全国 I 卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正方体所得截 面面积的最大值为（ ） A 3 3 4 B 2 3 3 C 3 2 4 D 3 2 【解题思路】首先利用正方体的棱是 3 组每组有互相平行的 4 条棱，所以与 12
12、条棱所成角相等，只需与从同 一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长 是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【答案】 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体 1111 ABCDABC D?中， 平面 11 AB D与线 11111 ,AA AB AD所成的角是相等的， 所以平面 11 AB D与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面 1 C BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 11 AB D与 1 C BD中间的， 且过棱的中点的正六边形，
13、且边长为 2 2 ， 所以其面积为 2 323 3 6 424 S ? ? ? ? ? ，故选 A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置， 之后需要从题的条件中找寻相关的字眼， 从而得到其为过六条棱的中点的正六边形， 利用六边形的面积的求法， 应用相关的公式求得结果. 2(2018 全国 I 卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 1 O， 2 O，过直线 12 OO的平面截该圆柱所得的截面是 面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 A12 2 B12 C8 2 D10 【解题思路】首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定
14、圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而 利用相关公式求得圆柱的表面积. 【答案】根据题意，可得截面是边长为2 2的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为2 2， 经典常规题 限时训练限时训练 （45 分钟） 所以其表面积为 ? 2 2222 2 212S?，故选 B. 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量， 即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 3 (2018 全国III卷)设A B C D， ， ，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积
15、为9 3， 则三棱锥DABC?体积的最大值为（ ） A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 【解题思路】作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的重心，判断出当DM ?平面ABC时，三棱 锥DABC?体积最大，然后进行计算可得； 【答案】如图所示， 点M为三角形ABC的重心，E为AC中点， 当DM ?平面ABC时，三棱锥DABC?体积最大， 此时，4ODOBR?， 2 3 9 3 4 ABC SAB? ，6AB ?， 点M为三角形ABC的重心， 2 2 3 3 BMBE?， RtABC中，有 22 2OMOBBM?，426DMODOM?， ?max 1 9 3618 3 3 D ABC V ? ?故选 B 4(2018 全国 II 卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为 45 ， 若S
