1、 1圆锥曲线的方程与几何性质是高考的重点； 2 直线与圆锥曲线的位置关系是命题的热点，尤其是有关弦长计算及存在性问题； 3数学运算（数的运算、代数式运算）也是这里的考查要求之一 1圆锥曲线的定义 (1)椭圆：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)； (2)双曲线：|MF1|MF2|2a(2a|F1F2|)； (3)抛物线：|MF|d(d 为 M 点到准线的距离) 2圆锥曲线的标准方程 (1)椭圆：x 2 a2 y2 b21(ab0)(焦点在 x 轴上)或 y2 a2 x2 b21(ab0)(焦点在 y 轴上)； (2)双曲线：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)(焦点在 x 轴上)或
2、y2 a2 x2 b21(a0，b0)(焦点在 y 轴上)； (3)抛物线：y22px，y22px，x22py，x22py(p0) 3圆锥曲线的重要性质 (1)椭圆、双曲线中 a，b，c 之间的关系 在椭圆中：a2b2c2；离心率为 ec a 1b 2 a2 在双曲线中：c2a2b2；离心率为 ec a 1b 2 a2 (2)双曲线的渐近线方程与焦点坐标 双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax；焦点坐标 F1(c，0)，F2(c，0) 双曲线y 2 a2 x2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y a bx，焦点坐标 F1(0，c)，F2(0，c) (3)
3、抛物线的焦点坐标与准线方程 抛物线 y22px(p0)的焦点 F? ? ? ? p 2，0 ，准线方程 x p 2 抛物线 x22py(p0)的焦点 F? ? ? ? 0，p 2 ，准线方程 yp 2 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题四专题四 第第 2 2 讲讲 椭圆、椭圆、抛物线、抛物线、双双曲线曲线 解析几何解析几何 4弦长问题 (1)直线与圆锥曲线相交的弦长 设而不求，利用根与系数的关系，进行整体代入即当斜率为 k，直线与圆锥曲线交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)时， |AB| 1k2|x1x2|1k2（x1x2）24x1x2 (2)过抛物线焦点的弦长 抛物
4、线 y22px(p0)过焦点 F 的弦 AB， 若 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则 x1x2p 2 4 ，y1y2p2，弦长|AB|x1x2p 热点一 圆锥曲线的几何性质 【例 1】 (2018 哈三中)如果双曲线的两个焦点分别为?1(?3,0)、?2(3,0)，一条渐近线方程为? = 2?，那么经 过双曲线焦点且垂直于?轴的弦的长度为（ ） A43 B23 C2 D1 解析解析 因为双曲线的两个焦点分别?1(?3,0)，?2(3,0)，条渐近线方程为? = 2?， ? 2 + ?2= 9 ? ? = 2 ，解得? = 3,? = 6， 双曲线的方程为? 2 3 ? ?2 6 = 1，
5、 由 ?2 3 ? ?2 6 = 1 ? = 3 ? ? = 23， 所以经过双曲线焦点且垂直于?轴的弦的长度为2 23 = 43 答案答案 A 探究提高 1分析圆锥曲线中 a，b，c，e 各量之间的关系是求解圆锥曲线性质问题的关键 2确定椭圆和双曲线的离心率的值及范围，其关键就是确立一个关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，再根 据 a，b，c 的关系消掉 b 得到 a，c 的关系式建立关于 a，b，c 的方程(组)或不等式(组)，要充分利用椭圆和 双曲线的几何性质、点的坐标的范围等 3求双曲线渐近线方程关键在于求b a或 a b的值，也可将双曲线等号右边的“1”变为“0”，然后因式
6、分解得到 【训练 1】 (1)(2017 全国卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21(ab0)的左、右顶点分别为 A1，A2，且以线段 A1A2为 直径的圆与直线 bxay2ab0 相切，则 C 的离心率为（ ） A 6 3 B 3 3 C 2 3 D1 3 (2)(2016 北京卷)双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线为正方形 OABC 的边 OA，OC 所在的直线，点 B 为该 双曲线的焦点，若正方形 OABC 的边长为 2，则 a_ 解析 (1)以线段 A1A2为直径的圆是 x2y2a2，直线 bxay2ab0 与圆相切， 热点热点题型题型 所以圆心(0，0)到直
7、线的距离 d 2ab a2b2a，整理为 a 23b2，即b a 1 3 ec a a2b2 a 1? ? ? ? b a 2 1? ? ? ? 1 3 2 6 3 (2)取 B 为双曲线右焦点，如图所示 四边形 OABC 为正方形且边长为 2，c|OB|2 2，又AOB 4， b atan 41，即 ab又 a 2b2c28，a2 答案 (1)A (2)2 热点二 直线与圆锥曲线 【例 2】 (2018 江南十校)已知椭圆?: ?2 ?2 + ?2 ?2 = 1(? ? 0)，?为其短轴的一个端点，?1,?2分别为其左右两 个焦点，已知三角形?1?2的面积为2，且cos?1?2= 1 3 （
8、1）求椭圆?的方程； （2） 若动直线?:? = ? + ?(? 0,?2 2 3)与椭圆?交于?(?1,?1),?(?2,?2)， ?为线段?的中点， 且?1 2 + ?2 2 = 3， 求|?| |?|的最大值 解（1）由cos?1?2= 2?2;4?2 2?2 = 1 3 ? ?2 ?2 = 1 3 ? ? 2 = 3?2，?2= 2?2， cos?1?2= 1 3 ? sin?1?2 = 22 3 ， 结合?1?2= 1 2? 2 22 3 = 2 ? ?2= 3，? ?2= 2， 故椭圆?的方程为? 2 3 + ?2 2 = 1； 另解：依题意：?1?2= 1 2 2? = ? =
9、2， cos?1?2= 2cos2 ?1?2 2 ? 1 = 1 3 ? ?2 ?2 = 2 3， 解得：?2= 3，?2= 2， 故椭圆?的方程为? 2 3 + ?2 2 = 1； （2）联立 ? = ? + ? 2?2+ 3?2= 6 ? (3?2+ 2)?2+ 6? + 3?2? 6 = 0 ? ? = 24(3?2+ 2 ? ?2) 0 ? 3?2+ 2 ?2 且?1+ ?2= ;6? 3?2:2，?1?2 = 3?2;6 3?2:2； 依题意，?1 2 + ?2 2 = 3 ? (?1+ ?2)2? 2?1?2= 3 ? (?6?)2 (3?2+ 2)2 ? 6(?2? 2) 3?2
10、+ 2 = 3 化简得：3?2+ 2 = 2?2（3?2 2） ； 设?(?0,?0)，由2?1 2 + 3?1 2 = 6 2?2 2 + 3?2 2 = 6 ? 2(?12? ?22) = ?3(?12? ?22) ? ? = ?1;?2 ?1;?2 = 2?0 ;3?0 又?0= ?0+ ?， 解得：?(? 3? 2? , 1 ?) ? |?| 2 = 9?2:4 4?2 = 3?2;1 2?2 ， |?|2= (1 + ?2)|?1? ?2|2 = (1 + ?2) 24(3?2:2;?2) (3?2:2)2 = 2(2?2:1) ?2 ? |?|2|?|2= (3 ? 1 ?2)(2
11、 + 1 ?2) 25 4 |?| |?| 5 2 当且仅当3 ? 1 ?2 = 2 + 1 ?2，即? = 2时，|?| |?|的最大值为 5 2 探究提高 1判断直线与圆锥曲线的交点个数时，可直接求解相应方程组得到交点坐标，也可利用消元后的 一元二次方程的判别式来确定； 2 弦长计算公式： 直线 AB 与圆锥曲线有两个交点 A(x1， y1)， B(x2， y2)， 则弦长|AB| 1k2 （x1x2）24x1x2， 其中 k 为弦 AB 所在直线的斜率 3对于弦的中点问题常用“根与系数的关系”或“点差法”求解，在使用根与系数的关系时，要注意使用条 件 0，在用“点差法”时，要检验直线与圆
12、锥曲线是否相交 【训练 2】 (2017 北京卷)已知抛物线 C：y22px 过点 P(1，1)，过点? ? ? ? 0，1 2 作直线 l 与抛物线 C 交于不同的 两点 M，N，过点 M 作 x 轴的垂线分别与直线 OP，ON 交于点 A，B，其中 O 为原点 (1)求抛物线 C 的方程，并求其焦点坐标和准线方程； (2)求证：A 为线段 BM 的中点 解 (1)把 P(1，1)代入 y22px，得 p1 2，所以抛物线 C 的方程为 y 2x， 焦点坐标为? ? ? ? 1 4，0 ，准线方程为 x 1 4 (2)证明 当直线 MN 斜率不存在或斜率为零时，显然与抛物线只有一个交点不满足
13、题意，所以直线 MN(也就 是直线 l)斜率存在且不为零 由题意，设直线 l 的方程为 ykx1 2(k0)，l 与抛物线 C 的交点为 M(x1，y1)，N(x2，y2) 由 ? ? ? ? ?ykx1 2， y2x， 消去 y 得 4k2x2(4k4)x10 考虑 (4k4)244k216(12k)， 由题可知有两交点，所以判别式大于零，所以 k 0 ， ? 0)的离心率为2，则点(4,0)到?的渐近线的距 离为（ ） A2 B2 C32 2 D22 【解题思路】由离心率计算出? ?，得到渐近线方程，再由点到直线距离公式计算即可 【答案】 e = ? ? = 1 + (? ?) 2 = 2
14、， ? ? = 1， 所以双曲线的渐近线方程为x y = 0， 所以点（4，0）到渐近线的距离d = 4 1:1 = 22，故选 D 3 (2018 全国 II 卷)已知?1，?2是椭圆?的两个焦点，?是?上的一点，若?1 ?2，且?2?1= 60，则?的 离心率为（ ） A1 ? 3 2 B2 ? 3 C3;1 2 D3 ? 1 【解题思路】设|?2| = ?，则根据平面几何知识可求|?1?2|,|?1|，再结合椭圆定义可求离心率 【答案】在?1?2中，?1?2= 90,?2?1= 60 设|?2| = ?，则2? = |?1?2| = 2?,|?1| = 3?， 又由椭圆定义可知2? =
15、|?1| + |?2| = (3 + 1)? 则离心率? = ? ? = 2? 2? = 2? (3:1)? = 3 ? 1， 故选 D 4(2018 全国 I 卷)设抛物线 2 :2C yx?，点?2,0A，?2,0B ?，过点A的直线l与C交于M，N两点 （1）当l与x轴垂直时，求直线BM的方程； 经典常规题 限时训练限时训练 （45 分钟） （2）证明：ABMABN? 【解题思路】(1)首先根据l与x轴垂直，且过点?2 0A，求得直线 l 的方程为 x=1，代入抛物线方程求得点 M 的坐标为?2,2或?2, 2?，利用两点式求得直线BM的方程； (2)分直线 l 与 x 轴垂直、l 与
16、x 轴不垂直两种情况证明，特殊情况比较简单，也比较直观，对于一般情况将角 相等通过直线的斜率的关系来体现，从而证得结果 【答案】 （1）当 l 与 x 轴垂直时，l 的方程为 x=2，可得 M 的坐标为（2，2）或（2，2） 所以直线 BM 的方程为 1 1 2 yx?或 1 1 2 yx? ? （2）当 l 与 x 轴垂直时，AB 为 MN 的垂直平分线，所以ABMABN? 当 l 与 x 轴不垂直时，设 l 的方程为?20yk xk?，M（x1，y1） ，N（x2，y2） ，则 x10，x20 由 ? 2 2 2 yk x yx ? ? ? ? ? ? 得 2 240kyyk?，可知 12 2 yy k ?， 12 4y y ? 直线 BM，BN 的斜率之和为 ? ? 2 11212 12 1212 2 2222 BMBN x yx yyyyy kk xxxx ? ? ? 将 1 1 2 y x k ?， 2 2 2 y x k ?及 y1+y2，y1y2的表达式代入式分子， 可得
