1、 1以选择题、填空题的形式考查古典概型、几何概型的基本应用，同时渗透互斥事件、对立事件； 2概率常与统计知识结合在一起命题，主要以解答题形式呈现，中档难度 1古典概型的概率 (1)公式 P(A)m n A中所含的基本事件数 基本事件总数 (2)古典概型的两个特点：所有可能出现的基本事件只有有限个；每个基本事件出现的可能性相等 2几何概型的概率 (1)P(A) 构成事件A的区域长度（面积或体积） 试验的全部结果所构成的区域长度（面积或体积） (2)几何概型应满足两个条件：试验中所有可能出现的结果(基本事件)有无限多个；每个基本事件出现的可 能性相等 3概率的性质及互斥事件的概率 (1)概率的取值
2、范围：0P(A)1 (2)必然事件的概率：P(A)1 (3)不可能事件的概率：P(A)0 (4)若 A，B 互斥，则 P(AB)P(A)P(B)，特别地 P(A)P(A )1 热点一 古典概型的概率 【例 1】(2019 湘潭一模)在一次 535 公里的自行车个人赛中，25 名参赛手的成绩（单位：分钟）的茎叶图 如图所示，现将参赛选手按成绩由好到差编为 1-25 号，再用系统抽样方法从中选取 5 人已知选手甲的成绩 为 85 分钟，若甲被选取，则被选取的其余 4 名选手的成绩的平均数为（ ） 热点热点题型题型 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题五专题五 第第 2 2 讲讲
3、 概率及其概率及其与与统计的交汇问题统计的交汇问题 概率概率与统计与统计 A97 B96 C95 D98 解解 将参赛选手按成绩由好到差分为 5 组，则第一组(80,81,82,83,85)，第二组(86,86,86,86,88)， 第三组(89,90,92,93,94)，第四组(95,95,95,97,99)，第五组(100,100,105,106,107)甲的编号为第一组的第 5 个，则其余 4 名选手的成绩分别为 88,94,99,107，这 4 个成绩的平均数为 97，故选 A 探究提高 1求古典概型的概率的关键是正确列举出基本事件的总数和待求事件包含的基本事件数 2两点注意：(1)对
4、于较复杂的题目，列出事件数时要正确分类，分类时应不重不漏 (2)当直接求解有困难时，可考虑求其对立事件的概率 【训练 1】 (2017 昆明诊断)某校高一年级学生全部参加了体育科目的达标测试，现从中随机抽取 40 名学生的 测试成绩，整理数据并按分数段40，50)，50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100进行分组，假 设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，则得到体育成绩的折线图(如下) (1)体育成绩大于或等于 70 分的学生常被称为“体育良好”已知该校高一年级有 1 000 名学生，试估计该校 高一年级中“体育良好”的学生人数； (2)为分析学生平时的体育
5、活动情况，现从体育成绩在60，70)和80，90)的样本学生中随机抽取 2 人，求在抽 取的 2 名学生中，至少有 1 人体育成绩在60，70)的概率 解 (1)由折线图，知样本中体育成绩大于或等于 70 分的学生有 1431330(人) 所以该校高一年级中，“体育良好”的学生人数大约有 1 00030 40750(人) (2)设“至少有 1 人体育成绩在60，70)”为事件 M， 记体育成绩在60，70)的数据为 A1，A2，体育成绩在80，90)的数据为 B1，B2，B3，则从这两组数据中随机抽 取 2 个，所有可能的结果有 10 种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A
6、1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)， (B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3) 而事件 M 的结果有 7 种，即(A1，A2)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3) 因此事件 M 的概率 P(M) 7 10 热点二 概率与统计的综合问题 【例 2】(2018 湘潭一模)近期中央电视台播出的中国诗词大会火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随机抽 取的 100 名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示 题号 分组 频数 频率 第 1 组 160,165) 0100 第 2 组 165,170) 第 3 组
7、 170,175) 20 第 4 组 175,180) 20 0200 第 5 组 180,185 10 0100 第 6 组 160,185 100 100 （1）请先求出频率分布表中、位置的相应数据，再完成如下的频率分布直方图； （2）组委会决定在 5 名（其中第 3 组 2 名，第 4 组 2 名，第 5 组 1 名）选手中随机抽取 2 名选手接受?考官 进行面试，求第 4 组至少有 1 名选手被考官?面试的概率 解 （1）第 1 组的频数为人100 0100 = 10，所以处应填的数为100? (10 + 20 + 20 + 10) = 40， 从而第 2 组的频数为 40 100 =
8、 0400，因此处应填的数为1 ? (01 + 04 + 02+ 01) = 0200 频率分布直方图如图所示， （2）设第 3 组的 2 名选手为?1,?2，第 4 组的 2 名选手为?1,?2，第 5 组的 1 名选手为?1，则从这 5 名选手中 抽 取 2 名 选 手 的 所 有 情 况 为 (?1,?2),(?1,?1),(?1,?2),(?1,?1),(?2,?1) ， (?2,?2),(?2,?1),(?1,?2) ， (? 1,?1),(?2,?1)，共 10 种， 其中第4组的2名选手中至少有1名选手人选的有(?1,?1),(?1,?2),(?2,?1),(?2,?2),(?1
9、,?2),(?1,?1),(?2,?1)， 共 7 种，所以第 4 组至少有 1 名选手被考官?面试的概率为 7 10 探究提高 1 概率与统计的综合题一般是先给出样本数据或样本数据的分布等， 在解题中首先要处理好数据， 如数据的个数、数据的分布规律等，即把数据分析清楚，然后再根据题目要求进行相关计算 2在求解该类问题要注意两点： (1)明确频率与概率的关系，频率可近似替代概率 (2)此类问题中的概率模型多是古典概型，在求解时，要明确基本事件的构成 【训练 2】 (2017 成都诊断)某省 2017 年高中数学学业水平测试的原始成绩采用百分制，发布成绩使用等级 制各等级划分标准为：85 分及以
10、上，记为 A 等；分数在70，85)内，记为 B 等；分数在60，70)内，记为 C 等；60 分以下，记为 D 等同时认定 A，B，C 等为合格，D 等为不合格已知甲、乙两所学校学生的原始成 绩均分布在50，100内，为了比较两校学生的成绩，分别抽取 50 名学生的原始成绩作为样本进行统计按照 50，60)，60，70)，70，80)，80，90)，90，100的分组作出甲校样本的频率分布直方图如图 1 所示，乙校 的样本中等级为 C，D 的所有数据的茎叶图如图 2 所示 (1)求图中 x 的值，并根据样本数据比较甲、乙两校的合格率； (2)在乙校的样本中，从成绩等级为 C，D 的学生中随机
11、抽取 2 名学生进行调研，求抽出的 2 名学生中至少有 1 名学生成绩等级为 D 的概率 解 (1)由题意，可知 10x0012100056100018100010101，x0004， 甲学校的合格率为(1100004)100%096100%96% 乙学校的合格率为? ? ? ? 1 2 50 100%096100%96% 甲、乙两校的合格率均为 96% (2)由题意，将乙校的样本中成绩等级为 C 的 4 名学生记为 C1，C2，C3，C4，成绩等级为 D 的 2 名学生记为 D1，D2， 则随机抽取 2 名学生的基本事件有C1，C2，C1，C3，C1，C4，C1，D1，C1，D2，C2，C3
12、，C2， C4，C2，D1，C2，D2，C3，C4，C3，D1，C3，D2，C4，D1，C4，D2，D1，D2，共 15 个基 本事件 其中“至少有 1 名学生成绩等级为 D”包含C1，D1，C1，D2，C2，D1，C2，D2，C3，D1，C3，D2， C4，D1，C4，D2，D1，D2，共 9 个基本事件 抽取的 2 名学生中至少有 1 名学生成绩等级为 D 的概率为 P 9 15 3 5 1(2018 全国 III 卷)若某群体中的成员只用现金支付的概率为 045，既用现金支付也用非现金支付的概率为 015，则不用现金支付的概率为（ ） A03 B04 C06 D07 【解题思路】由公式
13、( ) = ( ) + ( ) + ( )计算可得， 【答案】设设事件 A 为只用现金支付，事件 B 为只用非现金支付， 则 ( ) = ( ) + ( ) + ( )， 因为 ( ) = 045, ( ) = 015，所以 ( ) = 04，故选 B 2(2018 全国 II 卷)从 2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务，则选中的 2 人都是女同学的概率为 （ ） A06 B05 C04 D03 【解题思路】分别求出事件“2 名男同学和 3 名女同学中任选 2 人参加社区服务”的总可能及事件“选中的 2 人 都是女同学”的总可能，代入概率公式可求得概率 【答案】设 2 名男
14、同学为?1,? 2，3 名女同学为?1,?2,?3， 从以上 5 名同学中任选 2 人总共有?1?2,?1?1,?1?2,?1?3,?2?1,?2?2,?2?3,?1?2,?1?3,?2?3共 10 种可能， 选中的 2 人都是女同学的情况共有?1?2,?1?3,?2?3共三种可能 则选中的 2 人都是女同学的概率为 = 3 10 = 03，故选 D 3(2017 山东卷)某旅游爱好者计划从 3 个亚洲国家 A1，A2，A3和 3 个欧洲国家 B1，B2，B3中选择 2 个国家去 旅游 (1)若从这 6 个国家中任选 2 个 ，求这 2 个国家都是亚洲国家的概率； (2)若从亚洲国家和欧洲国家
15、中各任选 1 个，求这 2 个国家包括 A1但不包括 B1的概率 【解题思路】(1)列举从 6 个国家中任选两个国家的所有可能结果，并找出这 2 个国家都是亚洲国家的基本事 件； (2) 列举从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个的所有可能结果，并找出这 2 个国家包括 A1但不包括 B1 的基本事件，这两问考察的都是古典概型 【答案】解 (1)由题意知，从 6 个国家中任选两个国家，其一切可能的结果组成的基本事件有： A1，A2，A1，A3，A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，A3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1， A3，B2，A3，B3，B1，B2，B1，B3，B2，B3，共 15 个 所选两个国家都是亚洲国家的事件所包含的基本事件有：A1，A2，A1，A3，A2，A3，共 3 个 则所求事件的概率为 P 3 15 1 5 (2)从亚洲国家和欧洲国家中各任选一个，其一切可能的结果组成的基本事件有： A1，B1，A1，B2，A1，B3，A2，B1，A2，B2，A2，B3，A3，B1，A3，B2，A3，B3，共 9 个 经典常规题 限时训练限时
