1、 1等差、等比数列基本运算和性质的考查是高考热点，经常以小题形式出现； 2数列的通项也是高考热点，常在解答题中的第(1)问出现，难度中档以下 3 高考对数列求和的考查主要以解答题的形式出现， 通过分组转化、 错位相减、 裂项相消等方法求数列的和， 难度中档偏下 1等差数列 (1)通项公式：ana1(n1)d； (2)求和公式：Snn（a1an） 2 na1n（n1） 2 d； (3)性质： 若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaq； anam(nm)d； Sm，S2mSm，S3mS2m，?，成等差数列 2等比数列 (1)通项公式：ana1qn-1(q0)； (2)求和公式：q
2、1，Snna1；q1，Sna1（1q n） 1q a1anq 1q ； (3)性质： 若 m，n，p，qN*，且 mnpq，则 amanapaq； anamqn-m； Sm，S2mSm，S3mS2m，?(Sm0)成等比数列 3数列求和 (1)分组转化求和：一个数列既不是等差数列，也不是等比数列，若将这个数列适当拆开，重新组合，就会变 成几个可以求和的部分，分别求和，然后再合并 (2)错位相减法：主要用于求数列anbn的前 n 项和，其中an，bn分别是等差数列和等比数列 (3)裂项相消法：即将数列的通项分成两个式子的代数差的形式，然后通过累加抵消中间若干项的方法，裂项 考向预测考向预测 知识与
3、技巧的梳理知识与技巧的梳理 专题二专题二 第第 4 4 讲讲 数列数列 三角三角函数、函数、解三角形、平面向量解三角形、平面向量与与数列数列 相消法适用于形如? ? ? ? ?c anan1 (其中an是各项均不为零的等差数列，c 为常数)的数列 热点一 等差(比)数列的性质 【例 1】(1)(2018 南昌联考)等比数列? ? n a中，若 45 1a a ?， 89 16a a ?，则 67 a a等于（ ） A?4 B4 C4 D17 2 (2)(2017 北京海淀区质检)已知数列an的前 n 项和为 Sn， 且满足 Sn2an2， 若数列bn满足 bn10log2an， 则使数列bn的
4、前 n 项和取最大值时的 n 的值为_ 解析 (1)数列? ? n a为等比数列， 45 1a a ?， 89 16a a ?， 8 8945 a aqa a?，即 8 16q ?， 4 4q ?， 则 4 6745 4a aqa a?故选 B (2)Sn2an2，n1 时，a12a12，解得 a12 当 n2 时，anSnSn12an2(2an12)，an2an1 数列an是公比与首项都为 2 的等比数列，an2n bn10log2an10n由 bn10n0，解得 n10 使数列bn的前 n 项和取最大值时的 n 的值为 9 或 10 答案 (1) B (2)9 或 10 探究提高 1利用等
5、差(比)性质求解的关键是抓住项与项之间的关系及项的序号之间的关系，从这些特点入 手选择恰当的性质进行求解 2活用函数性质：数列是一种特殊的函数，具有函数的一些性质，如单调性、周期性等，可利用函数的性质 解题 【训练 1】 (1)设等差数列an的公差为 d，若数列2a1an为递减数列，则（ ） Ad0 Bd0 Da1d0，a2n2an4Sn3 (1)求an的通项公式； (2)设 bn 1 anan1，求数列bn的前 n 项和 解 (1)由 a2n2an4Sn3，可知 a2n12an14Sn13 两式相减可得 a2n1a2n2(an1an)4an1， 即 2(an1an)a2n1a2n(an1an
6、)(an1an) 由于 an0，可得 an1an2 又 a212a14a13，解得 a11(舍去)，a13 所以an是首项为 3，公差为 2 的等差数列，通项公式为 an2n1 (2)由 an2n1 可知 bn 1 anan1 1 （2n1）（2n3） 1 2? ? ? ? 1 2n1 1 2n3 设数列bn的前 n 项和为 Tn， 则 Tnb1b2?bn1 2? ? ? ? ? ? ? ? 1 3 1 5 ? ? ? ? 1 5 1 7 ? ? ? ? 1 2n1 1 2n3 n 3（2n3） 探究提高 1裂项相消法求和就是将数列中的每一项裂成两项或多项，使这些裂开的项出现有规律的相互抵 消
7、，要注意消去了哪些项，保留了哪些项 2消项规律：消项后前边剩几项，后边就剩几项，前边剩第几项，后边就剩倒数第几项 【训练 3 2】 (2019 广元一模)设?为数列*?+的前?项和， 已知?1= 2， 对任意? ?， 都有2?= (? + 1)? （1）求数列*?+的通项公式； （2）若数列* 4 ?(?:2)+的前?项和为?，证明： 1 2 ? 0，所以1 ? 1 ?:1 0，解得 q2，所以 bn2n 由 b3a42a1，可得 3da18， 由 S1111b4，可得 a15d16， 联立，解得 a11，d3，由此可得 an3n2 所以an的通项公式为 an3n2，bn的通项公式为 bn2n
8、 (2)设数列a2nbn的前 n 项和为 Tn，由 a2n6n2，bn2n，有 Tn 4210221623?(6n2)2n， 2Tn42210231624?(6n8)2n(6n2)2n 1， 上述两式相减，得Tn42622623?62n(6n2)2n 112（12 n） 12 4(6n2)2n 1 (3n4)2n 216所以 T n(3n4)2 n216 所以数列a2nbn的前 n 项和为(3n4)2n 216 探究提高 1一般地，如果数列an是等差数列，bn是等比数列，求数列anbn的前 n 项和时，可采用错 位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列bn的公比，然后作差求解 2在写“Sn”
9、与“qSn”的表达式时应特别注意将两式“错项对齐”，以便下一步准确地写出“SnqSn”的表达 式 【训练 33】 (2018 浙江期末)已知数列?满足：2?;1?1+ 2?;2?2+ ?+ 2?;1+ ?= ?，? ? ? （1）求?1,?2及数列?的通项公式； （2）若数列?满足：?1= 1，?:1;? ? = 2?，求数列?的通项公式 解 （1）? = 1时?1= 1， ? = 2时2?1+ ?2= 2 ? ?2= 0 2?;1?1+ 2?;2?2+ ?+ 2?;1+ ?= ? 2?;2?1+ 2?;3?2+ ?+ ?;1= ? ? 1 (? 2) ?2 ? ?= 2 ? ? (? 2)
10、?1= 1满足上式，故?= 2 ? ? （2）?:1? ?= (2 ? ?)2?，有 ?2? ?1= 1 21 ?3? ?2= 0 22 ? ? ?;1= (3 ? ?) 2?;1(? 2) 累加整理 ?= 1 + 1 21+ 0 22+ ?+ (3 ? ?) 2?;1，(? 2) 2?= 2 + 1 22+ 0 23+ ?+ (3 ? ?) 2?，(? 2) ? 得?= 1 ? 2 + 1 22 1;2?;2 1;2 + (3 ? ?)2?= (4 ? ?)2? 5(? 2) ?1= 1满足上式，故?= (4 ? ?)2? 5 热点四 an与 Sn的关系问题 【例 4】 (2017 济南模拟
11、)设数列an的前 n 项和为 Sn，对任意的正整数 n，都有 an5Sn1 成立， bn1log2|an|，数列bn的前 n 项和为 Tn，cn bn1 TnTn1 (1)求数列an的通项公式； (2)求数列cn的前 n 项和 An，并求出 An的最值 解 (1)因为 an5Sn1，nN*，所以 an15Sn11，两式相减，得 an11 4an， 又当 n1 时，a15a11，知 a11 4， 所以数列an是公比、首项均为1 4的等比数列 所以数列an的通项公式 an? ? ? ? 1 4 n (2)bn1log2|an|2n1，数列bn的前 n 项和 Tnn2， cn bn1 TnTn1 2
12、n1 n2（n1）2 1 n2 1 （n1）2， 所以 An1 1 （n1）2因此An是单调递增数列， 当 n1 时，An有最小值 A111 4 3 4；An没有最大值 探究提高 1 给出 Sn与 an的递推关系求 an， 常用思路是： 一是利用 SnSn1an(n2)转化为 an的递推关系， 再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an 2形如 an1panq(p1，q0)，可构造一个新的等比数列 【训练 4】(2019 枣庄八中)已知数列?的前?项和为?，?1= 2，?= 2?;1? ?(? 2,? ?) （1）求?的通项公式； （2）若?= ?，
13、求?的前?项和? 解 （1）?= 2?;1? ?(? 2,? ? ?)，当? 33 时，?;1= 2?;2(? ? 1) -得，?= 2?;1? 1,? 1 = 2(?;1? 1)，所以 ?;1 ?;1;1 = 2(? 3) 当 n=2 时，?1+ ?2= 2?1? 2，得?2= 0，则?2;1 ?1;1 = ;1 1 = ?1 2 所以*? 1+是从第二项起，以 2 为公比的等比数列 则? 1 = ?1 ? 2?;2= ?2?;2，?= ?2?;2+ 1(? 2,? ? ?) 所以?= 2,? = 1 ?2?;2+ 1,? 2 （2）易知?= 2,? = 1 ? ? 2?;2+ ?,? 2
14、?= 2 ? 2 20? 3 21? ? ? ? 2?;2+ .2 + 3 + + ?/， 2?= 4 ? 2 21? 3 22? ? ? ? 2?;1+ 2.2 + 3 + + ?/， -得?= ?2 ? 2 ? 2 ? 22? 23? ? 2?;2+ ? ? 2?;1? (?;1)(?:2) 2 = ?4 ? 2;2?;22 1;2 + ? ? 2?;1? (?;1)(?:2) 2 = 2?;1(? ? 1) ? 2 ? (?;1)(?:2) 2 所以?= ?2:?:2 2 ? 2?;1(? ? 1) 1(2018 全国 I 卷)设?为等差数列*?+的前?项和，若3?3= ?2+ ?4，?
15、1= 2，则?5=（ ） A?12 B?10 C10 D12 2(2018 全国 I 卷)记?为数列*?+的前?项和，若?= 2?+ 1，则?6=_ 3(2018 全国 III 卷)等比数列*?+中，?1= 1 ， ?5= 4?3 （1）求*?+的通项公式； （2）记?为*?+的前?项和若?= 63，求? 4(2018 全国 II 卷)记?为等差数列*?+的前?项和，已知?1= ?7，?3= ?15 （1）求*?+的通项公式； （2）求?，并求?的最小值 限时训练限时训练 （45 分钟） 经典常规题 5(2018 全国 I 卷)已知数列*?+满足?1= 1，?:1= 2(? + 1)?，设?= ? ? （1）求?1 ， ?2 ， ?3； （2）判断数列*?+是否为等比数列，并说明理由； （3）求*?+的通项公式
