1、 1三视图的识别和简单应用； 2简单几何体的表面积与体积计算 1空间几何体的三视图 (1)几何体的摆放位置不同，其三视图也不同，需要注意长对正、高平齐、宽相等 (2)由三视图还原几何体：一般先从俯视图确定底面，再利用正视图与侧视图确定几何体 2空间几何体的两组常用公式 (1)正柱体、正锥体、正台体的侧面积公式： S柱侧ch(c 为底面周长，h 为高)； S锥侧1 2ch(c 为底面周长，h为斜高/母线)； S台侧1 2(cc)h(c，c 分别为上下底面的周长，h为斜高/母线)； S球表4R2(R 为球的半径) (2)柱体、锥体和球的体积公式： V柱体Sh(S 为底面面积，h 为高)； V锥体1
2、 3Sh(S 为底面面积，h 为高)； V球4 3R 3 热点一 空间几何体的三视图与直观图 【例 1】 (1) (2018 张家口期中)如图所示，在正方体 1111 ABCDABC D?中，M为 1 DD的中点，则图中阴影部 分 1 BC M在平面 11 BCC B上的正投影是（ ） 热点题型热点题型 知识与技巧的梳理知识与技巧的梳理 考向预测考向预测 专题三专题三 第第 1 1 讲讲 空间几何体的表面积和体积空间几何体的表面积和体积 立体几何立体几何 A B C D (2)(2017 泰安模拟)某三棱锥的三视图如图所示，其侧视图为直角三角形，则该三棱锥最长的棱长等于( ) A4 2 B 3
3、4 C 41 D5 2 解析 (1) 由题意，点M在平面 11 BCC B上的投影是 1 CC的中点， B、 1 C在平面 11 BCC B上的投影是它本身，所以 1 BC M在平面 11 BCC B上的正投影是 C 中阴影部分， 故选 C. (2)根据几何体的三视图，知该几何体是底面为直角三角形，两侧面垂直于底面，高为 5 的三棱锥 PABC(如 图所示) 棱锥最长的棱长 PA 2516 41 答案 (1) C (2)C 探究提高 1由直观图确定三视图，一要根据三视图的含义及画法和摆放规则确认二要熟悉常见几何体的 三视图 2由三视图还原到直观图的思路 (1)根据俯视图确定几何体的底面 (2)
4、根据正视图或侧视图确定几何体的侧棱与侧面的特征，调整实线和虚线所对应的棱、面的位置 (3)确定几何体的直观图形状 【训练 1】 (1)(2017 兰州模拟)如图，在底面边长为 1，高为 2 的正四棱柱 ABCDA1B1C1D1中，点 P 是平面 A1B1C1D1内一点，则三棱锥 PBCD 的正视图与侧视图的面积之和为( ) A1 B2 C3 D4 (2)(2016 天津卷)将一个长方体沿相邻三个面的对角线截去一个棱锥，得到的几何体的正视图与俯视图如图所 示，则该几何体的侧视图为( ) 解析 (1)设点 P 在平面 A1ADD1的射影为 P，在平面 C1CDD1的射影为 P，如图所示 三棱锥 P
5、BCD 的正视图与侧视图分别为PAD 与PCD， 因此所求面积 SSPADSPCD1 2 1 2 1 2 1 22 (2)由几何体的正视图和俯视图可知该几何体的直观图如图，故其侧视图为图 答案 (1)B (2)B 热点二 几何体的表面积与体积 【例 2】 (1) (2018 上饶期末)如图所示为一个几何体的三视图，则该几何体的表面积为（ ） A6 B44? C86? D46? (2)(2017 山东卷)由一个长方体和两个1 4圆柱构成的几何体的三视图如图，则该几何体的体积为_ 解析 (1) 根据三视图可得该几何体是有一个圆柱挖去两个 1 4 圆柱所得，作出几何体的直观图（如图） ， 则该几何体
6、的表面积为 2 21 212 2 286S? ? ? ? ?故选 C (2)该几何体由一个长、 宽、 高分别为 2， 1， 1 的长方体和两个半径为 1， 高为 1 的1 4圆柱体构成， 所以 V2 1 1 2 1 41 2 12 2 答案 (1) C (2)2 2 探究提高 1由几何体的三视图求其表面积：(1)关键是分析三视图确定几何体中各元素之间的位置关系及度 量大小(2)还原几何体的直观图，套用相应的面积公式 2(1)多面体的表面积是各个面的面积之和；组合体的表面积注意衔接部分的处理 (2)旋转体的表面积问题注意其侧面展开图的应用 3求不规则几何体的体积：常用分割或补形的思想，将不规则几
7、何体转化为规则几何体以易于求解 【训练 2】 (1) (2017 枣庄模拟)如图，某三棱锥的三视图是三个边长相等的正方形及对角线，若该三棱锥的体 积是1 3，则它的表面积是_ (2)(2016 山东卷)一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示则该几何体的体积为( ) A1 3 2 3 B1 3 2 3 C1 3 2 6 D1 2 6 解析 (1)由题设及几何体的三视图知，该几何体是一个正方体截去 4 个三棱锥后剩余的内接正三棱锥 B A1C1D(如图所示) 设正方体的棱长为 a，则几何体的体积是 Va34 1 3 1 2a 2 a1 3a 31 3， a1，三棱锥的棱长为 2， 因此该
8、三棱锥的表面积为 S4 3 4 ( 2)22 3 (2)由三视图知该四棱锥是底面边长为 1，高为 1 的正四棱锥，结合三视图可得半球半径为 2 2 ，从而该几何体 的体积为1 3 1 2 11 2 4 3? ? ? ? 2 2 3 1 3 2 6 答案 (1)2 3;(2) C 热点三 多面体与球的切、接问题 【例 3】 (2019 广东一模)九章算术中将底面为长方形，且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为“阳马”. 现有一阳马，其正视图和侧视图是如图所示的直角三角形若该阳马的顶点都在同一个球面上，则该球的体积 为（ ） A6 B 8 6 3 C8 6 D24 解析 如图所示，该几何体为四棱锥P
9、ABCD?，底面ABCD为长方形. 其中PD ?底面ABCD，1AB ?，2AD ?，1PD ?. 易知该几何体与变成为1,2,1的长方体有相同的外接球， 则该阳马的外接球的直径为 222 1216PB ?.球体积为： 3 46 6 32 ? ? ? ? ? ? . 答案 A. 探究提高 1与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接球与旋转体的组合通常是作它们的轴截面 解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心或“切点”、“接点”作出截面图，把空间问题化归为平 面问题 2若球面上四点 P，A，B，C，PA，PB，PC 两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方 体确定直径
10、解决外接问题 【训练 3】 (2017 济南一中月考)已知 A，B 是球 O 的球面上两点，AOB90 ，C 为该球面上的动点若三 棱锥 OABC 体积的最大值为 36，则球 O 的表面积为( ) A36 B64 C144 D256 解析 因为AOB 的面积为定值，所以当 OC 垂直于平面 AOB 时，三棱锥 OABC 的体积取得最大值由1 3 1 2 R2 R36，得 R6从而球 O 的表面积 S4R2144 答案 C 1(2018 全国 I 卷)已知正方体的棱长为 1，每条棱所在直线与平面?所成的角都相等，则?截此正方体所得截 面面积的最大值为（ ） A 3 3 4 B 2 3 3 C 3
11、 2 4 D 3 2 【解题思路】首先利用正方体的棱是 3 组每组有互相平行的 4 条棱，所以与 12 条棱所成角相等，只需与从同 一个顶点出发的三条棱所成角相等即可，从而判断出面的位置，截正方体所得的截面为一个正六边形，且边长 是面的对角线的一半，应用面积公式求得结果. 【答案】 根据相互平行的直线与平面所成的角是相等的， 所以在正方体 1111 ABCDABC D?中，平面 11 AB D与线 11111 ,AA AB AD所成的角是相等的， 所以平面 11 AB D与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等的， 同理平面 1 C BD也满足与正方体的每条棱所在的直线所成角都是相等， 要求截
12、面面积最大，则截面的位置为夹在两个面 11 AB D与 1 C BD中间的， 且过棱的中点的正六边形，且边长为 2 2 ，所以其面积为 2 323 3 6 424 S ? ? ? ? ? ，故选 A. 点睛：该题考查的是有关平面被正方体所截得的截面多边形的面积问题，首要任务是需要先确定截面的位置， 之后需要从题的条件中找寻相关的字眼， 从而得到其为过六条棱的中点的正六边形， 利用六边形的面积的求法， 应用相关的公式求得结果. 2(2018 全国 I 卷)已知圆柱的上、下底面的中心分别为 1 O， 2 O，过直线 12 OO的平面截该圆柱所得的截面是 面积为 8 的正方形，则该圆柱的表面积为 A
13、12 2 B12 C8 2 D10 【解题思路】首先根据正方形的面积求得正方形的边长，从而进一步确定圆柱的底面圆半径与圆柱的高，从而 利用相关公式求得圆柱的表面积. 【答案】根据题意，可得截面是边长为2 2的正方形， 结合圆柱的特征，可知该圆柱的底面为半径是2的圆，且高为2 2， 所以其表面积为 ? 2 2222 2 212S?，故选 B. 点睛：该题考查的是有关圆柱的表面积的求解问题，在解题的过程中，需要利用题的条件确定圆柱的相关量， 经典常规题 限时训练限时训练 （45 分钟） 即圆柱的底面圆的半径以及圆柱的高，在求圆柱的表面积的时候，一定要注意是两个底面圆与侧面积的和. 3 (2018
14、全国III卷)设A B C D， ， ，是同一个半径为4的球的球面上四点，ABC为等边三角形且其面积为9 3， 则三棱锥DABC?体积的最大值为（ ） A12 3 B18 3 C24 3 D54 3 【解题思路】作图，D为MO与球的交点，点M为三角形ABC的重心，判断出当DM ?平面ABC时，三棱 锥DABC?体积最大，然后进行计算可得； 【答案】如图所示， 点M为三角形ABC的重心，E为AC中点， 当DM ?平面ABC时，三棱锥DABC?体积最大，此时，4ODOBR?， 2 3 9 3 4 ABC SAB? ，6AB ?， 点M为三角形ABC的重心， 2 2 3 3 BMBE?， RtABC中，有 22 2OMOBBM?，426DMODOM?， ?max 1 9 3618 3 3 D ABC V ? ?故选 B 4(2018 全国 II 卷)已知圆锥的顶点为S，母线SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ，SA与圆锥底面所成角为 45 ， 若SAB的面积为5 15，则该圆锥的侧面积为_ 【解题思路】先根据三角形面积公式求出母线长，再根据母线与底面所成角得底面半径，最后根据圆锥侧面积 公式求结果. 【答案】因为母线SA，SB所成角的余弦值为 7 8 ，所以母线SA，SB所成角的正弦值为 15 8 ，因为SAB
