1、 1 立体几何题型归类总结立体几何题型归类总结 一、考点分析一、考点分析 基本图形基本图形 1棱柱棱柱有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由 这些面所围成的几何体叫做棱柱。这些面所围成的几何体叫做棱柱。 底面是正多形 棱垂直于底面 斜棱柱 棱柱 正棱柱 直棱柱 其他棱柱 四棱柱四棱柱 底面为平行四边形底面为平行四边形 平行六面体平行六面体 侧棱垂直于底面侧棱垂直于底面 直平行六面体直平行六面体 底面为矩形底面为矩形 长方体长方体 底面为正方形底面为正方形 正四棱柱正四棱柱
2、侧棱与底面边长相等侧棱与底面边长相等 正方体正方体 2. 棱锥棱锥 棱锥棱锥有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥。 正棱锥正棱锥如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫如果有一个棱锥的底面是正多边形，并且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫 做正棱锥。做正棱锥。 3球球 球的性质：球的性质： 球心与截面圆心的连线垂直于截面；球心与截面圆心的连线垂直于截面； 22 rRd（其中，球心到截面的距离为（其中，球心到截面的距离为
3、d、 球的半径为球的半径为 R、截面的半径为、截面的半径为 r） 球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体，球与多面体的组合体：球与正四面体，球与长方体， 球与正方体等的内接与外切球与正方体等的内接与外切. 注：球的有关问题转化为圆的问题解决注：球的有关问题转化为圆的问题解决. 球面积、体积公式：球面积、体积公式： 23 4 4, 3 SR VR 球球 （其中（其中 R 为球的半径）为球的半径） 顶点顶点侧面侧面 斜高斜高 高高 侧棱侧棱 底面底面 O CD A B H S r r d d R R 球面球面 轴轴球心球心 半径半径 A O O1 B A CD B CD O AB O C A
4、 A c 2 平行垂直基础知识网络平行垂直基础知识网络 异面直线所成的角，线面角，二面角的求法异面直线所成的角，线面角，二面角的求法 1求异面直线所成的角求异面直线所成的角0 ,90： 解题步骤：一找（作） ：利用平移法找出异面直线所成的角； （解题步骤：一找（作） ：利用平移法找出异面直线所成的角； （1）可固定一条直线平移）可固定一条直线平移 另一条与其相交； （另一条与其相交； （2）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法）可将两条一面直线同时平移至某一特殊位置。常用中位线平移法 二证：证明所找二证：证明所找 （作）的角就是异面直线所成的角（或其补角） 。常需要证明线线
5、平行；（作）的角就是异面直线所成的角（或其补角） 。常需要证明线线平行； 三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角；三计算：通过解三角形，求出异面直线所成的角； 2 求直线与平面所成的角求直线与平面所成的角0 ,90：关键找“两足” ：垂足与斜足：关键找“两足” ：垂足与斜足 解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用） ；解题步骤：一找：找（作）出斜线与其在平面内的射影的夹角（注意三垂线定理的应用） ； 二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角） （常需证明线面垂直） ；三计算：常通过二证：证明所找（作）的角就是直线与平面所成的角（或其补角
6、） （常需证明线面垂直） ；三计算：常通过 解直角三角形，求出线面角。解直角三角形，求出线面角。 3 求二面角的平面角求二面角的平面角0, 解题步骤：解题步骤： 一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角；一找：根据二面角的平面角的定义，找（作）出二面角的平面角； 二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法） ；二证：证明所找（作）的平面角就是二面角的平面角（常用定义法，三垂线法，垂面法） ； 三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。三计算：通过解三角形，求出二面角的平面角。 平行关系平行关系 平面几何知识平面几何知识 线线平行线线平行 线面平
7、行线面平行 面面平行面面平行 垂直关系垂直关系 平面几何知识平面几何知识 线线垂直线线垂直 线面垂直线面垂直 面面垂直面面垂直 判定 性质 判定推论 性质 判定 判定 性质 判定 面面垂直定义 1.,/aba b 2., /aa bb 3.,/aa 4./,aa 5./, 平行与垂直关系可互相转化 3 俯视图 二、典型例题二、典型例题 考点一：三视图考点一：三视图 1一空间几何体的三视图如图一空间几何体的三视图如图 1 所示所示,则该几何体的体积为则该几何体的体积为_. 第第 1 题题 2.2.若某空间几何体的三视图如图若某空间几何体的三视图如图 2 2 所示，则该几何体的体积是所示，则该几何
8、体的体积是_._. 第第 2 题题 第第 3 题题 3一个几何体的三视图如图一个几何体的三视图如图 3 所示，则这个几何体的体积为所示，则这个几何体的体积为 . . 4若某几何体的三视图（单位：若某几何体的三视图（单位：cm）如图）如图 4 所示，则此几何体的体积是所示，则此几何体的体积是 . . 第第 4 4 题题 第第 5 5 题题 5如图如图 5 是一个几何体的三视图，若它的体积是是一个几何体的三视图，若它的体积是3 3，则，则 a . . 2 2 侧(左)视图 2 2 2 正(主)视图 3 正视图正视图 俯视图俯视图 1 1 2 左视图左视图 a 4 6已知某个几何体的三视图如图已知某
9、个几何体的三视图如图 6，根据图中标出的尺寸（单位：，根据图中标出的尺寸（单位：cm） ，可得这个几何体的体积） ，可得这个几何体的体积 是是 . . 7.7.若某几何体的三视图（单位：若某几何体的三视图（单位：cm）如图所示，则此几何体的体积是）如图所示，则此几何体的体积是 3 cm 8.8.设某几何体的三视图如设某几何体的三视图如图图 8 8（尺寸的长度单位为（尺寸的长度单位为 m m） ，则该几何体的体积为） ，则该几何体的体积为_m_m 3 3。 。 第第 7 题题 第第 8 题题 9 9一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 1 的正方形
10、，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面的正方形，俯视图是一个圆，那么这个几何体的侧面 积为积为_._. 图图 9 20 20 正视图正视图 20 侧视图侧视图 10 10 20 俯视图俯视图 2 23 2 21 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 5 10.10.一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图一个三棱柱的底面是正三角形，侧棱垂直于底面，它的三视图及其尺寸如图 1010 所示（单位所示（单位 cmcm） ，则该） ，则该 三棱柱的表面积为三棱柱的表面积为_._. 图图 10 1111. . 如图如图 1111 所示，一个空间几何体的主视图和左视
11、图都是边长为所示，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 1 的正方形，俯视图是一个直径为的正方形，俯视图是一个直径为 1 1 的的 圆，那么这个几何体的全面积为圆，那么这个几何体的全面积为_._. 图图 图图 11 图图 12 图图 13 12. 12. 如图如图 1212，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为，一个空间几何体的主视图和左视图都是边长为 1 1 的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何的正三角形，俯视图是一个圆，那么几何 体的侧面积为体的侧面积为_._. 13.13.已知某几何体的俯视图是如图已知某几何体的俯视图是如图 1313 所示的边长为所示的边长为2的正方形，主视
12、图与左视图是边长为的正方形，主视图与左视图是边长为2的正三角形，的正三角形， 则其表面积是则其表面积是_._. 14.14.如果一个几何体的三视图如如果一个几何体的三视图如图图 1414 所示所示( (单位长度单位长度: : cm),), 则此几何体的表面积是则此几何体的表面积是_._. 图图 14 1515一个棱锥的三视图如图图一个棱锥的三视图如图图 9 9- -3 3- -7 7，则该棱锥的全面积（单位：，则该棱锥的全面积（单位： 2 cm ）_._. 正视图正视图 左视图左视图 俯视图俯视图 图图 15 正视图 俯视图 6 俯视图 侧视图 正视图 33 4 1616图图 1616 是一个
13、几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是是一个几何体的三视图，根据图中数据，可得该几何体的表面积是_._. 图图 16 图图 17 1717. .如图如图 1717，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直，一个空间几何体的主视图、左视图、俯视图为全等的等腰直角三角形，如果直角三角形的直 角边长为角边长为 1 1，那么这个几何体的体积为，那么这个几何体的体积为_._. 1 18 8. .若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图若一个底面为正三角形、侧棱与底面垂直的棱柱的三视图如图 9 9- -3 3- -1414 所示，则这个棱
14、柱的体积为所示，则这个棱柱的体积为 _._. 图图 18 考点二考点二 体积体积、表面积表面积、距离、角、距离、角 注：注：1-6 体积表面积体积表面积 7-11 异面直线所成角异面直线所成角 12-15 线面角线面角 1. 将一个边长为将一个边长为 a 的正方体，切成的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则表面积增加了个全等的小正方体，则表面积增加了_. 2. 在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的在正方体的八个顶点中，有四个恰好是正四面体的顶点，则正方体的表面积与此正四面体的表面积的 比值为比值为_. 3设正六棱锥的底面边长为设正六棱锥的
15、底面边长为 1，侧棱长为，侧棱长为5，那么它的体积为，那么它的体积为_. 4正棱锥的高和底面边长都缩小原来的正棱锥的高和底面边长都缩小原来的 2 1 ，则它的体积是原来的，则它的体积是原来的_. 5已知圆锥的母线长为已知圆锥的母线长为 8，底面周长为，底面周长为 6，则它的体积是，则它的体积是 . 6.平行六面体平行六面体 1 AC的体积为的体积为 30，则四面体，则四面体 11 ABCD的体积等于的体积等于 . 7如图如图 7，在正方体，在正方体 1111 ABCDABC D 中，中， ,E F 分别是分别是 11 AD ， 11 C D 中点，求异面直线中点，求异面直线 1 AB 与与EF
16、所成角的角所成角的角 _. 8. 如图如图 8 所示，已知正四棱锥所示，已知正四棱锥 SABCD 侧棱长为侧棱长为2，底面边长为，底面边长为3，E 是是 SA 的中点，则异面直线的中点，则异面直线 BE 与与 SC 所成角的大小为所成角的大小为_. 俯视图 正(主)视图 侧(左)视图 2 3 2 2 7 第第 8 题题 第第 7 题题 9.正方体正方体 ABCDABC D 中中,异面直线异面直线 CD和 和 BC 所成的角的度数是所成的角的度数是_. 10如图如图 9-1-3，在长方体，在长方体 1111 ABCDABC D 中，已知中，已知 1 3,ABBC BCCC ，则异面直线，则异面直
17、线 1 AA 与与 1 BC 所成的所成的 角是角是_，异面直线，异面直线AB与与 1 CD 所成的角的度数是所成的角的度数是_ 图图 13 11. 如图如图 9-1-4， 在空间四边形， 在空间四边形ABCD中，中，AC BD ACBD , ,E F 分别是分别是 AB、 CD 的中点， 则的中点， 则EF 与与AC 所成角的大小为所成角的大小为_. 12. 正方体正方体 1 AC中，中， 1 AB与平面与平面 11 ABC D所成的角为所成的角为 . 13如图如图 13 在正三棱柱在正三棱柱 111 ABCABC 中，中， 1 ABAA ，则直线，则直线 1 CB 与平面与平面 11 AA
18、B B 所成角的正弦值为所成角的正弦值为 _. 8 14. 如图如图 9-3-6，在正方体，在正方体 ABCDA1B1C1D1 中，对角线中，对角线 BD1 与平面与平面 ABCD 所成的角的正切值为所成的角的正切值为 _. 图图 9-3-6 图图 9-3-1 图图 7 1515如图如图 9 9- -3 3- -1 1，已知，已知ABC为等腰直角三角形为等腰直角三角形, ,P为空间一点，且为空间一点，且5 2,ACBCPCAC，PCBC， 5PC ，AB的中点为的中点为M，则，则PM与平面与平面ABC所成的角为所成的角为 16如图如图 7，正方体，正方体 ABCDA1B1C1D1的棱长为的棱长
19、为 1，O 是底面是底面 A1B1C1D1的中心，则的中心，则 O 到平面到平面 AB C1D1 的距离为的距离为_. 17.一平面截一球得到直径是一平面截一球得到直径是 6cm 的圆面， 球心到这个平面的距离是的圆面， 球心到这个平面的距离是 4cm， 则该球的体积是， 则该球的体积是_. 1 18 8长方体长方体 1111 ABCDABC D的的 8 8 个顶点在同一个球面上，且个顶点在同一个球面上，且 AB=2AB=2，AD=AD=3， 1 1 AA，则顶点，则顶点 A A、B B 间的球面距离是间的球面距离是_._. 19.已知点已知点, ,A B C D在同一个球面上，在同一个球面上
20、，,ABBCD平面,BCCD若若6,AB 2 13,AC 8AD ， 则则,B C两点间的球面距离是两点间的球面距离是 . 20. 在正方体在正方体 ABCDA1B1C1D1中，中，M 为为 DD1的中点，的中点，O 为底面为底面 ABCD 的中心，的中心，P 为棱为棱 A1B1上任意上任意 一点，则直线一点，则直线 OP 与直线与直线 AM 所成的角是所成的角是_. 21ABC 的顶点的顶点 B 在平面在平面 a 内，内， A、C 在在 a 的同一侧，的同一侧，AB、BC 与与 a 所成的角分别是所成的角分别是 30和和 45， 若若 AB=3，BC=24 ，AC=5，则，则 AC 与与 a
21、 所成的角为所成的角为_. 22矩形矩形 ABCD 中，中，AB=4，BC=3，沿，沿 AC 将矩形将矩形 ABCD 折成一个直二面角折成一个直二面角 BACD， 则四面体则四面体 ABCD 的外接球的体积为的外接球的体积为_. 23已知点已知点, ,A B C D在同一个球面上，在同一个球面上，,ABBCD平面,BCCD若若6,AB 2 13,AC 8AD ， 则则,B C两点间的球面距离是两点间的球面距离是 . 24正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为正三棱锥的一个侧面的面积与底面积之比为 23，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为，则这个三棱锥的侧面和底面所成二面角的度数为 A
22、C B P M A1 C A1 B A1 A A1 B1 C1 D1 D A1 O A1 9 _ . 25.25.已知已知, , ,S A B C是球是球O表面上的点，表面上的点，SAABC 平面，ABBC，1SAAB， 2BC ，则球，则球O表面积等于表面积等于_._. 26已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为已知正方体的八个顶点都在球面上，且球的体积为 32 3 ，则正方体的棱长为，则正方体的棱长为_. 27. 一个四面体的所有棱长都为一个四面体的所有棱长都为2，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为，四个顶点在同一球面上，则此球的表面积为_. 考点四考点四 平行与垂直的证明平行与
23、垂直的证明 1. 正方体正方体 1111 ABCD-A B C D， 1 AA =2，E 为棱为棱 1 CC的中点的中点 () 求证：求证： 11 B DAE； () 求证：求证：/AC平面平面 1 B DE； （）求三棱锥（）求三棱锥A-BDE的体积的体积 2.已知正方体已知正方体 1111 ABCDABC D，O是底是底ABCD对角线的交点对角线的交点. 求证：求证：() C1O面面 11 AB D；(2) 1 AC 面面 11 AB D A 1 D 1 C 1 B 1 A E D C B D1 O D BA C1 B1 A1 C 10 3如图，如图，PA 矩形矩形ABCD所在平面，所在平
24、面，M、N分别是分别是AB和和PC的中点的中点. （）求证：（）求证：MN平面平面PAD； （）（）求证：求证：MNCD； （）（）若若45PDA，求证：，求证：MN 平面平面PCD. . 4. 如图（如图（1） ，） ，ABCD 为非直角梯形，点为非直角梯形，点 E，F 分别为上下底分别为上下底 AB，CD 上的动点，且上的动点，且EFCD。现将梯形。现将梯形 AEFD 沿沿 EF 折起，得到图（折起，得到图（2） （1）若折起后形成的空间图形满足）若折起后形成的空间图形满足DFBC，求证：，求证：ADCF； （2）若折起后形成的空间图形满足）若折起后形成的空间图形满足, ,A B C D四
25、点共面，求证：四点共面，求证：/ /AB平面平面DEC； A B C D E F 图（1） E B C F D A 图（2） N M P D CB A 11 5如图，在五面体如图，在五面体 ABCDEF 中，中，FA 平面平面 ABCD, AD/BC/FE，ABAD，M 为为 EC 的中点，的中点， N 为为 AE 的中点，的中点，AF=AB=BC=FE= 1 2 AD (I) 证明平面证明平面 AMD平面平面 CDE； (II) 证明证明/BN平面平面 CDE； 6在四棱锥在四棱锥 PABCD 中中,侧面侧面 PCD 是正三角形是正三角形, 且与底面且与底面 ABCD垂直垂直,已知菱形已知菱
26、形 ABCD中中ADC60, M 是是 PA 的中点，的中点，O 是是 DC 中点中点. （1）求证：）求证：OM / 平面平面 PCB； （2）求证）求证:PACD； （3）求证）求证:平面平面 PAB平面平面 COM. A F E B C D M N P D A B C O M 12 7 7如图，在四棱锥如图，在四棱锥 PABCD 中，底面中，底面 ABCD 是正方形，侧棱是正方形，侧棱 PD底面底面 ABCD，PD= =DC，E 是是 PC 的中的中 点，作点，作 EFPB 交交 PB 于点于点 F. . （1 1）证明）证明 PA/平面平面 EDB； （； （2 2）证明）证明 PB平
27、面平面 EFD 8.8.正四棱柱正四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面边长是的底面边长是3，侧棱长是侧棱长是 3，点点 E，F 分别在分别在 BB1， DD1上上，且且 AEA1B，AFA1D (1)求证：求证：A1C面面 AEF； (2)求二面角求二面角 A-EF-B 的大小；的大小； (3)点点 B1到面到面 AEF 的距离的距离. . A B C D P E F 13 考点五考点五 异面直线所成的角，线面角，二面角异面直线所成的角，线面角，二面角 1.1. 如图如图,四棱锥四棱锥 PABCD 的底面的底面 ABCD 为正方形，为正方形，PD底面底面 ABCD，PD=AD. 求证： （
28、求证： （1）平面）平面 PAC平面平面 PBD； （2）求）求 PC 与平面与平面 PBD 所成的角；所成的角； 2.2.如图所示，已知正四棱锥如图所示，已知正四棱锥 S SABCDABCD 侧棱长为侧棱长为2，底面边长为，底面边长为3，E E 是是 SASA 的中点，则异面直线的中点，则异面直线 BEBE 与与 SCSC 所成角的大小为所成角的大小为 _._. 3 3正六棱柱正六棱柱 ABCDEFA1B1C1D1E1F1底面边长为底面边长为 1，侧棱长为，侧棱长为2，则这个棱柱的侧面对角线，则这个棱柱的侧面对角线 E1D 与与 BC1所成的角是所成的角是_. 4. 若正四棱锥的底面边长为若
29、正四棱锥的底面边长为 23cm，体积为，体积为 4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是_. 14 5. 如图，在底面为平行四边形的四棱锥如图，在底面为平行四边形的四棱锥 PABCD 中，中， ,ABAC PA 平面平面 ABCD，且，且 PAAB，点，点 E 是是 PD 的中点的中点. （1）求证：）求证：AC PB ； （2）求证：）求证：PB/平面平面 AEC； （3）若）若PA ABACa ，求三棱锥，求三棱锥 EACD 的体积；的体积； （4）求二面角）求二面角 EACD 的大小的大小. 15 考点六考点六 线面、面面关系判断题线面、面面关
30、系判断题 1 1已知直线已知直线l l、m m、平面、平面、，且、，且l l，m m，给出下列四个命题：，给出下列四个命题： （1 1），则），则l lm m （2 2）若）若l lm m，则，则 （3 3）若，则）若，则l lm m （4 4）若）若l lm m，则，则 其中正确的是其中正确的是_._. 2.2. m、n是空间两条不同直线，是空间两条不同直线， 、 是空间两条不同平面，下面有四个命题：是空间两条不同平面，下面有四个命题： ,;mnmn , ,;mnmn ,;mnmn ,;mm nn 其中真命题的编号是其中真命题的编号是_（写出所有真命题的编号） 。（写出所有真命题的编号） 。
31、 3. 3. l为一条直线，为一条直线， ， ， 为三个互不重合的平面，给出下面三个命题：为三个互不重合的平面，给出下面三个命题： ， ； ， ；l l， 其中正确的命题有其中正确的命题有_._. 4. 4. 对于平面对于平面和共面的直线和共面的直线m、 , n (1)(1)若若 ,mmn 则则n (2)(2)若若m ,n ,则 则mn (3)(3)若若 ,mn ,则 则mn (4)(4)若若m、n与与所成的角相等，则所成的角相等，则mn 其中真命题的序号是其中真命题的序号是_._. 5. 5. 关于直线关于直线m m、n n与平面与平面与与，有下列四个命题：，有下列四个命题： 若若 /, /
32、mn 且且 / ，则，则 /mn； ； 若若 ,mn 且且 ，则，则m n ； 若若 , /mn 且且 / ，则，则m n ； 若若 /,mn 且且 ，则，则 /mn； ； 其中真命题的序号是其中真命题的序号是_._. 6.6. 已知两条直线已知两条直线 ,m n ，两个平面，两个平面 , ，给出下面四个命题：，给出下面四个命题： / ,mn mn /,/mnmn / ,/mn mn /,/ ,mn mn 其中正确命题的序号是其中正确命题的序号是_._. 7.7.给出下列四个命题给出下列四个命题, , 其中假命题的个数是其中假命题的个数是_._. 垂直于同一直线的两条直线互相平行垂直于同一直线的两条直线互相平行; ; 垂直于同一平面的两个平面互相平行垂直于同一平面的两个平面互相平行. . 若直线若直线 12 ,l l 与同一平面所成的角相等与同一平面所成的角相等, ,则则 12 ,l l 互相平行互相平行. . 16 若直线若直线 12 ,l l 是异面直线是异面直线, ,则与则与 12 ,l l 都相交的两条直线是异面直线都相交的两条直线是异面直线. .
