1、专题一专题一 判断函数图象题判断函数图象题 第三板块第三板块 2021 内 容 索 引 01 02 03 解题策略指导解题策略指导 题型分类突破题型分类突破 素养训练提高素养训练提高 解题策略指导解题策略指导 T 题型概述题型概述 以函数图象形式呈现的、采用选择题型考查函数的图象与性质,是安徽中 考的热点,连续几年都出现在选择题的第9题或第10题,难度大,是整卷的区 分度设置处.因为函数的图象与性质是重点考查内容,预计这类题仍然是 2021年中考的热点. F 方法指导方法指导 1.综合函数性质判断函数图象 (1)根据已知函数图象确定字母系数的取值范围,再确定所要判断的函数图 象的形状,进而作出
2、选择;(2)根据已知的两个函数图象的交点及坐标确定 方程的根的情况,进而确定与x轴的交点情形,从而作出正确选择. 2.判断符合实际问题的函数图象 一般把握以下几点:(1)找起点,结合题中给出的自变量或函数值取值范围, 在图象中找出对应的点;(2)找特殊点,就是图象中的交点或转折点,说明函 数在此处发生了变化;(3)根据图象趋势判断函数增减情况;(4)图象与坐标 轴相交的点有一个值为0. 3.分析动点问题判断函数图象 此类考题一般根据题目描述,确定函数值在每段函数图象上的增减情况或变化 的快慢.(1)当函数值随自变量增大而增大时图象呈现上升趋势,反之下降;(2)当 自变量变大而函数值不变时,对应
3、图象与横轴平行,当自变量不变而函数值变化 时,对应图象用铅垂线段表示. 4.给出动点(面)问题的函数图象判断结论正误 解决这类问题要动中找静,分段思考,求解关键是根据函数的表达方法之间的联 系,先确定函数表达式,再选择图象.一般分析步骤是: (1)观察动点(面)的运动轨迹和拐点的坐标,确定每一段函数自变量的取值范围; (2)结合图象根据相关知识(图形面积、相似)求出函数表达式; (3)根据函数增减性或图象上的特殊点依据选项解决问题. 题型分类突破题型分类突破 类型一 根据函数性质判断函数图象 例1(2017 安徽,9)已知抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一 象限有一个公共
4、点,其横坐标为1.则一次函数y=bx+ac的图象可能是( ) 解析 抛物线y=ax2+bx+c与反比例函数y= 的图象在第一象限有一个 公共点,b0. 交点横坐标为1, a+b+c=b,a+c=0, ac0,一次函数y=bx+ac的图象经过第一、三、四象限. 答案 B 类型二 结合几何图形中的动点(面)问题判断函数图象 例2(2014 安徽,9)如图,矩形ABCD中,AB=3,BC=4,动点P从A点出发,按 ABC的方向在AB和BC上移动,记PA=x,点D到直线PA的距离为y,则y关 于x的函数图象大致是( ) 解析 点P在AB上时,0 x3,点D到AP的距离为AD的长度,是定值4. 点P在B
5、C上时,3x5, ADBC, APB=PAD. 又B=DEA=90,ABPDEA. 观察各选项,只有B选项图象符合.故选B. 答案 B = ,即 3 = 4.y= 12 . 例3(2018 安徽,10)如图,直线l1,l2都与直线l垂直,垂足分别为M,N,MN=1,正 方形ABCD的边长为 ,对角线AC在直线l上,且点C位于点M处,将正方形 ABCD沿l向右平移,直到点A与点N重合为止,记点C平移的距离为x,正方形 ABCD的边位于l1,l2之间的长度和为y,则y关于x的函数图象大致为( ) 2 解析 正方形边长为 2,AC=BD=2. (1)如图 1,当点 C 位于 l1,l2之间,0 x1
6、 时,y=2 2x; (2)如图 2,当点 D 位于 l1,l2之间,1x2 时,设 PR=a,则 SQ=1-a,DP+DQ= 2a+ 2(1-a)= 2, 所以 y=2 2. (3)如图 3,当点 A 位于 l1,l2之间,2x3时,y=-2 2x+6 2; 综上所述,y 关于 x的函数图象大致如选项 A所示. 答案 A 类型三 分析函数图象判断结论正误 例4(2013 安徽,9)图1所示矩形ABCD中,BC=x,CD=y,y与x满足的反比例函 数关系如图2所示,等腰直角三角形AEF的斜边EF过点C,M为EF的中点,则 下列结论正确的是( ) A.当x=3时,ECEM C.当x增大时,EC
7、CF的值增大 D.当y增大时,BE DF的值不变 解析 由题意,知BEC 和DCF 都是等腰直角三角形. 观察反比例函数图象得 x=3 时,y=3,则反比例函数的解析式为 y=9 . 当x=3时,y=3,即BC=CD=3,所以CE= 2BC=3 2,CF= 2CD=3 2,C点与M 点重合,则 EC=EM,所以 A 选项错误; 当 y=9 时,x=1,即 BC=1,CD=9, 所以 EC= 2,而 EM=3 2,所以 B 选项错误; 因为EC CF= 2x(6 2 2x)=-2(x-3)2+18,所以当0x3时,EC CF的值随x 的增大而增大,所以 C 选项错误; 因为 BE DF=BC C
8、D=xy=9,即 BE DF 的值不变,所以 D 选项正确.故选 D. 答案 D 类型四 分析实际问题判断函数图象 例5(2016 安徽,9)一段笔直的公路AC长20千米,途中有一处休息点B,AB长15千米, 甲、乙两名长跑爱好者同时从点A出发,甲以15千米/时的速度匀速跑至点B,原地 休息半小时后,再以10千米/时的速度匀速跑至终点C;乙以12千米/时的速度匀速 跑至终点C,下列选项中,能正确反映甲、乙两人出发后2小时内运动路程y(单位: 千米)与时间x(单位:时)之间函数关系的图象是( ) 答案 A 素养训练提高素养训练提高 1.(2020 甘肃天水)若函数y=ax2+bx+c(a0)的图
9、象如图所示,则函数y=ax+b 和y= 在同一平面直角坐标系中的图象大致是( ) 答案 B 2.(2020 河北)如图,现要在抛物线y=x(4-x)上找点P(a,b),针对b的不同取值, 所找点P的个数,三人的说法如下, 甲:若b=5,则点P的个数为0; 乙:若b=4,则点P的个数为1; 丙:若b=3,则点P的个数为1. 下列判断正确的是( ) A.乙错,丙对 B.甲和乙都错 C.乙对,丙错 D.甲错,丙对 答案 C 3.(2020 辽宁铁岭)如图,二次函数 y=ax2+bx+c(a0)的图象与x轴相交于点A(-1,0) 和B(3,0),下列结论:2a+b=0;当-1x3 时,y0;若(x1,
10、y1),(x2,y2)在函数图象上,当x1x2 时,y1y2;3a+c=0,正确的是( ) A. B. C. D. 答案 B 4.(2020 湖北武汉)一个容器有进水管和出水管,每分钟的进水量和出水量 是两个常数.从某时刻开始,前4 min内只进水不出水,从第4 min到第24 min 内既进水又出水,从第24 min开始只出水不进水,容器内水量y(单位:L)与时 间x(单位:min)之间的关系如图所示,则图中a的值是( ) A.32 B.34 C.36 D.38 答案 C 5.(2020 四川雅安)已知,等边三角形ABC和正方形DEFG的边长相等,按如 图所示的位置摆放(C点与E点重合),点
11、B,C,F共线,ABC沿BF方向匀速运 动,直到B点与F点重合.设运动时间为t,运动过程中两图形重叠部分的面积 为S,则下面能大致反映S与t之间关系的函数图象是( ) 答案 A 6.(2020 辽宁盘锦)如图,四边形ABCD是边长为1的正方形,点E是射线AB上 的动点(点E不与点A,点B重合),点F在线段DA的延长线上,且AF=AE,连接 ED,将ED绕点E顺时针旋转90得到EG,连接EF,FB,BG.设AE=x,四边形 EFBG的面积为y,下列图象能正确反映出y与x的函数关系的是( ) 答案 B 7.(2020 山东潍坊)若定义一种新运算: 例 如:31=3-1=2;54=5+4-6=3.则
12、函数y=(x+2)(x-1)的图象大致是( ) ab= -( 2), + -6( 2), 答案 A 专题二专题二 分类讨论题分类讨论题 第三板块第三板块 2021 内 容 索 引 01 02 03 解题策略指导解题策略指导 题型分类突破题型分类突破 素养训练提高素养训练提高 解题策略指导解题策略指导 T 题型概述题型概述 因题目已知条件存在一些不确定因素,解答无法用统一的方法或者结论不 能给以统一表述的数学问题,我们往往将问题划分为若干类,或若干个局部 问题来解决.分类讨论题难度大,同学们容易漏掉解,出题角度多,可以很好 地考查同学们思维的条理性、缜密性、科学性.2021年中考压轴填空题设 置
13、为分类讨论题可能性非常大. F 方法指导方法指导 1.对问题进行分类讨论时,必须按同一标准分类,且做到不重不漏.解题中, 分类讨论一般分为四步:第一,确定讨论的对象以及讨论对象的取值范围; 第二,正确选择分类标准,合理分类;第三,逐类、逐段分类讨论;第四,归纳并 得出结论. 2.引起分类讨论的七种基本形态.并非所有的数学问题都需要进行分类讨 论,但若涉及以下七种情况,常常需要进行分类讨论使问题简单化. (1)概念分段定义.像绝对值这样分段定义的概念,在中学数学中还有直线 的斜率等,当这些概念出现时,一般要进行分类讨论. (2)公式分段表达.在解决数学问题时,常常要用到数学公式,若该公式是分 段
14、表达的,那么在应用到这些公式时,需分类讨论. (3)实施某些运算引起分类讨论.在解决数学问题时,不论是化简、求值还 是论证,常常要进行运算,若在不同条件下实施这些运算时会得到不同的结 果,就需要分类讨论. (4)图形位置不确定.如果图形的位置不确定,常常会引起分类讨论,因此,如 果图形可能处于不同位置并且影响问题的结果时,首先要有分类讨论的意 识,其次要全面考虑,分析各种可能的位置关系,然后合理分类讨论,防止漏 解. (5)图形的形状不同.当图形的形状不确定时,要对各种可能出现的形状进 行分类讨论. (6)字母系数的参与引起分类讨论.字母系数的出现,常常会使问题出现多 种不同的情况,从而影响问
15、题结果,从而引起分类讨论. (7)条件不唯一引起分类讨论.由于条件不唯一,可能引起方程类型不确定, 曲线种类不确定,位置关系不确定,形状不确定等,需要对不同情况合理分 类,正确讨论. 题型分类突破题型分类突破 类型一 图形形状不同引起的分类讨论 例1(2017 安徽,14)在三角形纸片ABC中,A=90,C=30,AC=30 cm, 将该纸片沿过点B的直线折叠,使点A落在斜边BC上的一点E处,折痕记为 BD(如图1),减去CDE后得到双层BDE(如图2),再沿着过BDE某顶点 的直线将双层三角形剪开,使得展开后的平面图形中有一个是平行四边形, 则所得平行四边形的周长为_ cm. 解析 A=90
16、,C=30,AC=30 cm,AB=10 3 cm,ABC=60, ADBEDB,ABD=EBD=1 2ABC=30,BE=AB=10 3 cm, DE=10 cm,BD=20 cm, 如图 1,平行四边形的边是 DF,BF, 且 DF=BF=20 3 3 cm, 平行四边形的周长=80 3 3 cm. 如图 2,平行四边形的边是 DE,EG,且 DE=AG=10 cm,平行四边形的周长 =40 cm,综上所述,平行四边形的周长为 40 cm或80 3 3 cm. 答案 40 或80 3 3 类型二 图形不确定引起的分类讨论 例2(2018 安徽,14)矩形ABCD中,AB=6,BC=8.点P
17、在矩形ABCD的内部,点E 在边BC上,满足PBEDBC,若APD是等腰三角形,则PE的长为 _. 解析 由题意知,点 P在线段 BD上, (1)如图 1所示,若 PD=PA,则点 P在 AD的垂直平分线上,则点 P为 BD中点, 故 PE=1 2DC=3; (2)如图 2所示,若 DA=DP,则 DP=8, 在 RtBCD中,BD= 2+ 2=10, BP=BD-DP=2, PBEDBC, = = 1 5,PE= 1 5CD= 6 5. 综上所述,PE的长为 3或6 5. 答案 3 或6 5 例3(2012 安徽,10)在一张直角三角形纸片的两直角边上各取一点,分别沿 斜边中点与这两点的连线
18、剪去两个三角形,剩下的部分是如图所示的直角 梯形,其中三边长分别为2,4,3,则原直角三角形纸片的斜边长是( ) A.10 B.4 5 C.10 或 4 5 D.10 或 2 17 解析 如图 1, (2 2)2+ (4 + 4)2=4 5, 如图 2, (2 3)2+ (4 + 4)2=10. 答案 C 类型三 运算引起的分类讨论 例4(2015 安徽,14)已知实数a,b,c满足a+b=ab=c,有下列结论: 若a-b=c,则abc=0;若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8. 其中正确的是_.(把所有正确结论的序号都选上) 若 c0,则1 + 1 =1;若 a=3,则 b+c=9
19、; 求得a=c且b=0,所以abc=0,正确;由a,b,c只有两个数相等,分三种情 况:(1)a=bc,因为a+b=ab,得a=0或a=2,所以b=0或b=2,所以c=0或c=4,其 中a=0,b=0,c=0舍去,所以a+b+c=8;(2)a=cb,由a+b=c,得b=0,所以 c=ab=0,a=0,不合题意舍去;(3)b=ca,同(2)求得a=0,b=0,c=0舍去.综上所 述,若a,b,c中只有两个数相等,则a+b+c=8,正确. 答案 解析 由 c0,知 a0,且 b0,所以1 + 1 = + =1,正确;当 a=3 时,由 a+b=ab,知 b=3 2,c=3+ 3 2 = 9 2,所
20、以 b+c=6,错误;由 a-b=c 且 a+b=c, 素养训练提高素养训练提高 1.(2020 贵州毕节)已知等腰三角形两边的长分别为3和7,则此等腰三角形 的周长为( ) A.13 B.17 C.13或17 D.13或10 答案 B 2.(2020 黑龙江大庆)已知两个直角三角形的三边长分别为3,4,m和6,8,n,且 这两个直角三角形不相似,则m+n的值为( ) A.10+ 7或 5+2 7 B.15 C.10+ 7 D.15+3 7 答案 A 3.(2020 黑龙江牡丹江)如图,在菱形OABC中,点B在x轴上,点A的坐标为 (2,2 ),将菱形绕点O旋转,当点A落在x轴上时,点C的对应
21、点的坐标为 ( ) A.(-2,-2 3)或(2 3,-2) B.(2,2 3) C.(-2,2 3) D.(-2,-2 3)或(2,2 3) 3 答案 D 4.(2020 黑龙江大庆)如图,在边长为2的正方形EFGH中,M,N分别为EF与 GH的中点,ABC沿竖直方向向上平移,在运动的过程中,点A恒在直线MN 上,当点A运动到线段MN的中点时,点E,F恰与AB,AC两边的中点重合,设点 A到EF的距离为x,ABC与正方形EFGH的公共部分的面积为y,则当y= 时,x的值为( ) A.7 4或 2+ 2 2 B. 10 2 或 2- 2 2 C.2 2 2 D.7 4 或 10 2 5 2 答
22、案 A 5.(2020 辽宁盘锦)如图,AOB三个顶点的坐标分别为A(5,0),O(0,0),B(3,6), 以点O为位似中心,相似比为 ,将AOB缩小,则点B的对应点B的坐标是 _. 2 3 答案 (2,4)或(-2,-4) 6.(2020 辽宁葫芦岛)一张菱形纸片ABCD的边长为6 cm,高AE等于边长的 一半,将菱形纸片沿直线MN折叠,使点A与点B重合,直线MN交直线CD于点 F,则DF的长为_ cm. 答案(3 3+3)或(3 3-3) 7.(2020 云南)已知四边形ABCD是矩形,点E是矩形ABCD的边上的点,且 EA=EC.若AB=6,AC=2 ,则DE的长是_. 10 答案 2
23、 34 3 或 8 3 8.(2020 辽宁沈阳)如图,在矩形ABCD中,AB=6,BC=8,对角线AC,BD相交于 点O,点P为边AD上一动点,连接OP,以OP为折痕,将AOP折叠,点A的对应 点为E,线段PE与OD相交于点F.若PDF为直角三角形,则DP的长为 _. 答案 5 2或 1 9.(2020 云南昆明)如图1,在矩形ABCD中,AB=5,BC=8,点E,F分别为AB,CD 的中点. (1)求证:四边形AEFD是矩形; (2)如图2,点P是边AD上一点,BP交EF于点O,点A关于BP的对称点为点M,当 点M落在线段EF上时,则有OB=OM.请说明理由; (3)如图3,若点P是射线A
24、D上一个动点,点A关于BP的对称点为点M,连接 AM,DM,当AMD是等腰三角形时,求AP的长. 图1 图2 图3 (1)证明 四边形ABCD是矩 形,AB=CD,ABCD,A=90,AE=EB,DF=FC,AE=DF,AEDF, 四边形AEFD是平行四边形,A=90,四边形AEFD是矩形. (2)证明 如图1中,连接PM,BM. 四边形AEFD是矩形,EFAD, BE=AE,BO=OP, 点A与点M关于BP对称,PMB=A=90, OM=OB=OP. 图1 (3)解 如图 2中,当 MA=MD时,连接 BM,过点 M作 MHAD于点 H交 BC 于点 F. MA=MD,MHAD,AH=HD=
25、4, BAH=ABF=AHF=90 ,四边形 ABFH是矩形, BF=AH=4,AB=FH=5,BFM=90 ,BM=BA=5, FM= 2-2= 52-42=3,HM=HF-FM=5-3=2, ABP+APB=90 ,MAH+APB=90 ,ABP=MAH, BAP=AHM=90 ,ABPHAM, = , 2 = 5 4,AP= 5 2. 图2 如图 3中,当 AM=AD时,连接 BM,设 BP交 AM 于点 N. AD=AM=8,BA=BM=5,BNAM, AN=NM=4,BN= 2-2= 52-42=3, tanABN= = , 5 = 4 3,AP= 20 3 , 图3 如图4中,当D
26、A=DM时,此时点P与D重合,AP=8. 如图 5 中,当 MA=MD 时,连接 BM,过点 M 作 MHAD 于点 H 交 BC 于点 F. BM=5,BF=4,FM=3,MH=3+5=8,由ABPHAM,可得 = , 8 = 5 4,AP=10,综上所述,满足条件的 PA 的值为 5 2 或 20 3 或 8 或 10. 图4 图5 专题三专题三 动点动点( (面面) )问题问题 第三板块第三板块 2021 内 容 索 引 01 02 03 解题策略指导解题策略指导 题型分类突破题型分类突破 素养训练提高素养训练提高 解题策略指导解题策略指导 T 题型概述题型概述 “动点型问题”是指图形中
27、存在一个或多个动点,它们是在某条线段、射线 或弧线上运动的,从而引起另一图形的变化,从运动变化的角度来研究、探 索发现图形性质及图形变化,在解题过程中渗透空间观念和合情推理,是一 类开放性题目.对考生的观察能力和创新能力要求较高,题目的难度一般比 较大,是安徽省中考试题的热点题型.预计这类题仍然是2021年中考的热点, 解决这类问题的关键是动中求静,在变化中找到不变的性质是解决数学 “动点”探究题的基本思路,这也是动态几何数学问题中最核心的数学本质. F 方法指导方法指导 1.有特殊位置点的动点问题:本类型问题中的动点往往和某些定点构成特殊的位 置关系,利用“三角形两边之和大于第三边”“两点之
28、间线段最短”或“垂线段最短” 等知识进行解题. 2.几何图形中的动点问题:由动点引起某一线段长度变化(自变量),通过题目中提 供的其他条件表示出另一线段或某一图形面积,从而构建两者之间的函数关系, 再根据函数性质解题. 3.函数图象中的动点问题:动点在某一函数图象上,当点运动到某一特殊位置时, 某一线段长度或某一图形的面积达到最值,或与某些点构成一个特殊的图形;解 题利用函数图象上点坐标的对应关系,用动点的坐标表示出要求图形的数量特 征(如线段的长度或图形面积),再利用函数性质或方程进行求解. 题型分类突破题型分类突破 类型一 有特殊位置点的动点问题 例1如图,在等腰直角三角形ABC中,ACB
29、=90,AC=BC=2,点D是边AC的 中点,点E是斜边AB上的动点,将ADE沿DE所在的直线折叠得到A1DE. 连接A1B,当点E在边AB上移动时,求A1B的最小值. 分析 由图可知动点A1和定点B,D构成一个三角形,当点A1位于BD上时构成 一条线段,根据这种特殊位置关系可得A1BBD-A1D,在RtBCD中求出 BD的长,由折叠可得A1D=AD=1,便可求出A1B的最小值. 解 如图,连接 BD,DE, 在 RtBCD 中, BD= 2+ 2= 5, 由折叠知A1DEADE, 所以 A1D=AD=1. 由 A1B+A1DBD,得 A1BBD-A1D= 5-1. 故 A1B 的最小值是 5
30、-1. 类型二 图形中的动点问题 例2如图(1),已知正方形ABCD,E是线段BC上一点,N是线段 BC延长线上一点,以AE为边在直线BC的上方作正方形AEFG. 图(1) 图(2) (1)连接GD,求证:DG=BE; (2)连接FC,求FCN的度数; (3)如图(2),将图(1)中正方形ABCD改为矩形 ABCD,AB=m,BC=n(m,n为常数),E是线段BC上一动点(不含端 点B,C),以AE为边在直线BC的上方作矩形AEFG,使顶点G恰 好落在射线CD上.判断当点E由B向C运动时,FCN的大小是 否总保持不变?若FCN的大小不变,请用含m,n的代数式表 示tanFCN的值;若FCN的大
31、小发生改变,请画图说明. (1)证明 四边形ABCD和四边形AEFG是正方形, AB=AD,AE=AG,BAD=EAG=90, BAE+EAD=DAG+EAD, BAE=DAG,BAEDAG.DG=BE. (2)解 作FHBN于点H, AEF=ABE=90, BAE+AEB=90,FEH+AEB=90,FEH=BAE, 又AE=EF,EHF=EBA=90, EFHAEB,FH=BE,EH=AB=BC,CH=BE=FH, FCN=CFH= (180-FHC). FHC=90,FCN=45. 1 2 (3)解 当点E由B向C运动时,FCN的大小总保持不变,理由如下: 作FHBN于点H, 由已知可得
32、EAG=BAD=AEF=90, 结合(1)(2)得FEH=BAE=DAG, 又G在射线CD上,GDA=EHF=EBA=90, EFHAGD,EFHAEB, EH=AD=BC=n,CH=BE, = = .tanFCN= = = , 当点 E 由 B 向 C运动时,FCN的大小总保持不变,tanFCN= . 类型三 函数图象中的动点问题 例3(2016 安徽,22)如图,二次函数y=ax2+bx的 图象经过点A(2,4)与B(6,0). (1)求a,b的值; (2)点C是该二次函数图象上A,B两点之间的一 动点,横坐标为x(2x6),写出四边形OACB的 面积S关于点C的横坐标x的函数表达式,并求
33、S 的最大值. 解 (1)将 A(2,4)与 B(6,0)代入 y=ax2+bx,得 4 + 2 = 4, 36 + 6 = 0,解得 = - 1 2 , = 3. (2)如图,过点 A作 x轴的垂线,垂足为 D(2,0),连接 CD,CB,过点 C作 CEAD,CF x轴,垂足分别为 E,F, SOAD=1 2OD AD= 1 2 2 4=4; SACD=1 2AD CE= 1 2 4 (x-2)=2x-4; SBCD=1 2BD CF= 1 2 4 - 1 2 2+ 3 =-x2+6x,则 S=SOAD+SACD+SBCD =4+2x-4-x2+6x=-x2+8x,S 关于 x的函数表达式
34、为 S=-x2+8x(2x6). S=-x2+8x=-(x-4)2+16, 当 x=4 时,四边形 OACB的面积 S有最大值,最大值为 16. 素养训练提高素养训练提高 1.(2020 江苏镇江)点P(m,n)在以y轴为对称轴的二次函数y=x2+ax+4的图 象上.则m-n的最大值为( ) A.15 4 B.4 C.-15 4 D.-17 4 答案 C 2.(2020 江苏宿迁)如图,在平面直角坐标系中,Q是 直线y=- x+2上的一个动点,将Q绕点P(1,0)顺时针 旋转90,得到点Q,连接OQ,则OQ的最小值为 ( ) A.4 5 5 B. 5 C.5 2 3 D.6 5 5 1 2 答
35、案 B 3.(2020 湖北恩施州)如图,正方形ABCD的边长为4,点E在AB上且BE=1,F为 对角线AC上一动点,则BFE周长的最小值为( ) A.5 B.6 C.7 D.8 答案 B 4.(2020 四川德阳)已知:等腰直角三角形ABC的腰长为4,点M在斜边AB上, 点P为该平面内一动点,且满足PC=2,则PM的最小值为( ) A.2 B.2 2-2 C.2 2+2 D.2 2 答案 B 5.(2020 山东潍坊)如图,在RtAOB中,AOB=90,OA=3,OB=4,以点O为 圆心、2为半径的圆与OB交于点C,过点C作CDOB交AB于点D,点P是边 OA上的动点.当PC+PD最小时,O
36、P的长为( ) A.1 2 B.3 4 C.1 D.3 2 答案 B 6.(2020 广西桂林)如图,在RtABC中,AB=AC=4,点E,F分别是AB,AC的中 点,点P是扇形AEF的 上任意一点,连接BP,CP,则 BP+CP的最小值是 _. 1 2 答案 17 7.(2020 湖南永州)AOB在平面直角坐标系中的位置如图所示,且 AOB=60,在AOB内有一点P(4,3),M,N分别是OA,OB边上的动点,连接 PM,PN,MN,则PMN周长的最小值是_. 答案 5 3 8.(2020 内蒙古鄂尔多斯)如图,在等边三角形ABC中,AB=6,点D,E分别在边 BC,AC上,且BD=CE,连
37、接AD,BE交于点F,连接CF,则CF的最小值是 _. 答案 2 3 9.(2020 内蒙古鄂尔多斯)如图,已知正方形ABCD,点M是边BA延长线上的 动点(不与点A重合),且AM1)个小正方形组成的矩形网格中,研究它的 一条对角线所穿过的小正方形个数f, (1)当m,n互质(m,n除1外无其他公因数)时,观察下列图形并完成下表: m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 2 4 7 3 5 7 猜想:当m,n互质时,在mn的矩形网格中,一条对角线所穿过的小正方形的个数f 与m,n的关系式是_(不需要证明); (2)当m,n不互质时,请画图验证你猜想的关系式是否依然成
38、立. 分析 (1)通过题中所给网格图形,先计算出25,34,对角线所穿过的小正方形 个数f,再对照表中数值归纳f与m,n的关系式. (2)根据题意,画出当m,n不互质时,结论不成立的反例即可. 解 (1)如表: f=m+n-1. (2)当m,n不互质时,上述结论不成立,如图. m n m+n f 1 2 3 2 1 3 4 3 2 3 5 4 3 4 7 6 2 5 7 6 24 类型三 直角坐标系下点的坐标变化规律 例5(2013 安徽,18)我们把正六边形的顶点及其对称中心称作如图1所示基 本图的特征点,显然这样的基本图共有7个特征点,将此基本图不断复制并 平移,使得相邻两个基本图的一边重
39、合,这样得到图2,图3, (1)观察以上图形并完成下表: 猜想:在图n中,特征点的个数为_(用n表示); 图形的名称 基本图的个数 特征点的个数 图1 1 7 图2 2 12 图3 3 17 图4 4 _ (2)如图,将图n放在直角坐标系中,设其中第一个基本图的对称中心O1的坐 标为(x1,2),则x1=_;图2 013的对称中心的横坐标为 _. 分析 (1)观察图形,结合已知条件,得出将基本图每复制并平移一次,特征点 增加5个,由此得出图4中特征点的个数为17+5=22个,进一步猜想出:在图n 中,特征点的个数为:7+5(n-1)=5n+2. (2)过点O1作O1My轴于点M,根据正六边形、
40、等腰三角形的性质得出 BO1M=30,再由余弦函数的定义求出O1M= ,即x1= ;然后结合图 形分别得出图2、图3、图4的对称中心的横坐标,找到规律,进而得出图 2013的对称中心的横坐标. 3 3 解析 (1)由题意,可知图1中特征点有7个; 图2中特征点有12个,12=7+51; 图3中特征点有17个,17=7+52; 图4中特征点有7+53=22个; 由以上猜想:在图n中,特征点的个数为:7+5(n-1)=5n+2. (2)如图,过点O1作O1My轴于点M, 正六边形的中心角360 6 =60,O1C=O1B=O1A=2,BO1M=30. O1M=O1B cosBO1M=2 3 2 =
41、 3.x1= 3.由题意,可得题图 2的对称中 心的横坐标为 3 + 3=2 3, 图 3的对称中心的横坐标为 3+2 3=3 3, 图 4的对称中心的横坐标为 3+3 3=4 3, 图 2 013的对称中心的横坐标为 3+2 012 3=2 013 3. 答案 (1)22 5n+2 (2) 3 2 013 3 素养训练提高素养训练提高 1.(2020 湖北十堰)根据图中数字的规律,若第n个图中出现数字396,则 n=( ) A.17 B.18 C.19 D.20 答案 B 2.(2020 云南)按一定规律排列的单项式:a,-2a,4a,-8a,16a,-32a,第n个单 项式是( ) A.(
42、-2)n-1a B.(-2)na C.2n-1a D.2na 答案 A A.22 021 3 B.22 020 3 C.22 019 3 D.22 018 3 3.(2020 辽宁鞍山)如图,在平面直角坐标系中,点A1,A2,A3,A4,在x轴正半轴 上,点B1,B2,B3,在直线y= x(x0)上,若A1(1,0),且A1B1A2,A2B2A3, A3B3A4,均为等边三角形,则线段B2 019B2 020的长度为( ) 3 3 答案 D 4.(2020 湖北鄂州)如图,点 A1,A2,A3在反比例函数 y=1 (x0)的图象上,点 B1,B2,B3,Bn在 y 轴上,且B1OA1=B2B1
43、A2=B3B2A3=,直线 y=x与 双曲线 y=1 交于点 A1,B1A1OA1,B2A2B1A2,B3A3B2A3,则 Bn(n为正 整数)的坐标是( ) A.(2 ,0) B.(0, 2+1) C.(0, 2(-1) D.(0,2 ) 答案 D 5.(2020 海南)海南黎锦有着悠久的历史,已被列入世界非物质文化遗产名 录.如图是黎锦上的图案,每个图案都是由相同菱形构成的,若按照第1个图 至第4个图中的规律编织图案,则第5个图中有_个菱形,第n个 图中有_个菱形(用含n的代数式表示). 答案 41 2n2-2n+1 6.(2020 青海)观察下列各式的规律: 13-22=3-4=-1;2
44、4-32=8-9=-1;35-42=15-16=-1. 请按以上规律写出第4个算式_. 用含有字母的式子表示第n个算式为_. 答案 46-52=24-25=-1 n(n+2)-(n+1)2=-1 7.(2020 湖南张家界)观察下面的变化规律: 2 13=1- 1 3 , 2 35 = 1 3 1 5 , 2 57 = 1 5 1 7 , 2 79 = 1 7 1 9, 根据上面的规律计算: 2 13 + 2 35 + 2 57+ 2 2 0192 021=_. 答案 2 020 2 021 8.(2020 辽宁丹东)如图,在矩形OAA1B 中,OA=3,AA1=2,连接OA1,以OA1为边,
45、作矩形 OA1A2B1使A1A2= OA1,连接OA2交A1B于点C; 以OA2为边,作矩形OA2A3B2,使A2A3= OA2,连接 OA3交A2B1于点C1;以OA3为边,作矩形OA3A4B3, 使A3A4= OA3,连接OA4交A3B2于点C2;按照 这个规律进行下去,则C2 019C2 020A2 022的面积 为_. 2 3 2 3 2 3 答案 132 021 34 03936 9.(2020 安徽滁州南谯二模)观察以下等式: 第1个等式:52-22=37, 第2个等式:72-42=311, 第3个等式:92-62=315, 按照以上规律,解决下列问题: (1)写出第6个等式和第n
46、个等式; (2)证明你写的第n个等式的正确性. (1)解 第6个等式:152-122=327; 第n个等式:(2n+3)2-(2n)2=3(4n+3). (2)证明 第n个等式的左边=(2n+3+2n)(2n+3-2n)=3(4n+3)=右边.所以第n 个等式正确. 10.(2020 安徽模拟)观察以下等式: 第 1 个等式:3 1 1 2 = 3 1 3 2, 第 2 个等式:4 2 1 3 = 4 2 4 3, 第 3 个等式:5 3 1 4 = 5 3 5 4, 第 4 个等式:6 4 1 5 = 6 4 6 5, 第 5 个等式:7 5 1 6 = 7 5 7 6, 按照以上规律,解决下列问题 (1)写出第6个等式 _; (2)写出你猜想的第n个等式 _(用含n的等式表 示),并证明. (1)解 第 6 个等式:8 6 1 7 = 8 6 8 7. (2)证明 猜想的第 n 个等式+2 1 +1 = +2 +2 +1. +2 1 +1 = +2 +1- +1 = +2 (1- +1)= +2 +2 +1 = +2 +2 +1,故等 式成立. 11.(2
