1、第 1 页 共 58 页 课题: 1 11 11 1 正弦定理正弦定理 授课类型：授课类型：新授课 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能： 通过对任意三角形边长和角度关系的探索， 掌握正弦定理的内容及其证明方法； 会运用正弦定理与三角形内角和定理解斜三角形的两类基本问题。 过程与方法过程与方法： 让学生从已有的几何知识出发,共同探究在任意三角形中， 边与其对角的关系， 引导学生通过观察，推导，比较，由特殊到一般归纳出正弦定理，并进行定理基本应用的实 践操作。 情感态度与价值观情感态度与价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 培养学生合 情推理探索数学规律的数学思思想能
2、力，通过三角形函数、正弦定理、向量的数量积等知识 间的联系来体现事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点教学重点 正弦定理的探索和证明及其基本应用。 教学难点教学难点 已知两边和其中一边的对角解三角形时判断解的个数。 教学过程教学过程 . .课题导入课题导入 如图 11-1，固定ABC 的边 CB 及B，使边 AC 绕着顶点 C 转动。 A 思考：C 的大小与它的对边 AB 的长度之间有怎样的数量关系？ 显然，边 AB 的长度随着其对角C 的大小的增大而增大。能否 用一个等式把这种关系精确地表示出来？ C B . .讲授新课讲授新课 探索研究探索研究 (图 11-1) 在初中，我们已学过如何解
3、直角三角形，下面就首先来探讨直角三角形中，角与边的等 式关系。如图 11-2，在 RtABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 根据锐角三角函数中正弦函数 的定义，有sin a A c ，sin b B c ，又sin1 c C c , A 则 sinsinsin abc c ABC b c 从而在直角三角形 ABC 中， sinsinsin abc ABC C a B (图 11-2) 思考：那么对于任意的三角形，以上关系式是否仍然成立？ （由学生讨论、分析） 可分为锐角三角形和钝角三角形两种情况： 如图 11-3，当ABC 是锐角三角形时，设边 AB 上的高是 CD，根据任意角三角函
4、数的 定义，有 CD=sinsinaBbA,则 sinsin ab AB ， C 同理可得 sinsin cb CB ， b a 从而 sinsin ab AB sin c C A c B 第 2 页 共 58 页 (图 11-3) 思考： 是否可以用其它方法证明这一等式？由于涉及边长问题， 从而可以考虑用向量来研究 这个问题。 （证法二）：过点 A 作jAC， C 由向量的加法可得 ABACCB 则 ()j ABjACCB A B j ABj ACj CB j 00 cos 900cos 90 j ABAj CBC sinsincA aC，即 sinsin ac AC 同理，过点 C 作jB
5、C，可得 sinsin bc BC 从而 sinsin ab AB sin c C 类似可推出，当ABC 是钝角三角形时，以上关系式仍然成立。（由学生课后自己推导） 从上面的研探过程，可得以下定理 正弦定理：正弦定理：在一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等，即 sinsin ab AB sin c C 理解定理理解定理 （1）正弦定理说明同一三角形中，边与其对角的正弦成正比，且比例系数为同一正数，即 存在正数 k 使sinakA，sinbkB，sinckC； （2） sinsin ab AB sin c C 等价于 sinsin ab AB ， sinsin cb CB ， sin a
6、A sin c C 从而知正弦定理的基本作用为： 已知三角形的任意两角及其一边可以求其他边，如 sin sin bA a B ； 已知三角形的任意两边与其中一边的对角可以求其他角的正弦值，如sinsin a AB b 。 一般地，已知三角形的某些边和角，求其他的边和角的过程叫作解三角形解三角形。 例题分析例题分析 例 1在ABC中，已知 0 32.0A， 0 81.8B，42.9acm，解三角形。 解：根据三角形内角和定理， 0 180()CA B 000 180(32.081.8 ) 0 66.2； 根据正弦定理， 第 3 页 共 58 页 0 0 sin42.9sin81.8 80.1()
7、 sin sin32.0 aB bcm A ； 根据正弦定理， 0 0 sin42.9sin66.2 74.1(). sin sin32.0 aC ccm A 评述：对于解三角形中的复杂运算可使用计算器。 例 2在ABC中，已知20acm，28bcm， 0 40A，解三角形（角度精确到 0 1，边 长精确到 1cm）。 解：根据正弦定理， 0 sin28sin40 sin0.8999. 20 bA B a 因为 0 0B 0 180，所以 0 64B，或 0 116 .B 当 0 64B时， 00000 180() 180(4064 ) 76CA B， 0 0 sin20sin76 30().
8、 sin sin40 aC ccm A 当 0 116B时， 00000 180() 180(40116 ) 24CA B， 0 0 sin20sin24 13(). sin sin40 aC ccm A 评述：应注意已知两边和其中一边的对角解三角形时，可能有两解的情形。 . .课堂练习课堂练习 第 5 页练习第 1（1）、2（1）题。 补充练习补充练习 已知ABC 中，sin :sin :sin1:2:3ABC，求: :a b c （答案：1：2：3） . .课时小结课时小结（由学生归纳总结） （1）定理的表示形式： sinsin ab AB sin c C 0 sinsinsin abc
9、k k ABC ； 或sinakA，sinbkB，sinckC(0)k （2）正弦定理的应用范围： 已知两角和任一边，求其它两边及一角； 已知两边和其中一边对角，求另一边的对角。 . .课后作业课后作业 第 10 页习题 1.1A 组第 1（1）、2（1）题。 板书设计板书设计 授后记授后记 第 4 页 共 58 页 课题: 1.1.21.1.2 余弦定理余弦定理 授课类型：授课类型：新授课 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能： 掌握余弦定理的两种表示形式及证明余弦定理的向量方法， 并会运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题。 过程与方法过程与方法： 利用向量的数量积推出余弦定理及其推论
10、， 并通过实践演算掌握运用余弦定理 解决两类基本的解三角形问题 情感态度与价值观情感态度与价值观： 培养学生在方程思想指导下处理解三角形问题的运算能力； 通过三角函 数、余弦定理、向量的数量积等知识间的关系，来理解事物之间的普遍联系与辩证统一。 教学重点教学重点 余弦定理的发现和证明过程及其基本应用； 教学难点教学难点 勾股定理在余弦定理的发现和证明过程中的作用。 教学过程教学过程 . .课题导入课题导入 C 如图 11-4，在ABC 中，设 BC=a,AC=b,AB=c, 已知 a,b 和C，求边 c b a A c B (图 11-4) . .讲授新课讲授新课 探索研究探索研究 联系已经学
11、过的知识和方法，可用什么途径来解决这个问题？ 用正弦定理试求，发现因 A、B 均未知，所以较难求边 c。 由于涉及边长问题，从而可以考虑用向量来研究这个问题。 A 如图 11-5，设CBa，CAb，ABc，那么cab，则 b c 2 22 2 2 cc cabab a ab ba b aba b C a B 从而 222 2coscababC (图 11-5) 同理可证 222 2cosabcbcA 222 2cosbacacB 于是得到以下定理 余弦定理余弦定理： 三角形中任何一边的平方等于其他两边的平方的和减去这两边与它们的夹角 的余弦的积的两倍。即 222 2cosabcbcA 第 5
12、页 共 58 页 222 2cosbacacB 222 2coscababC 思考：这个式子中有几个量？从方程的角度看已知其中三个量，可以求出第四个量，能否由 三边求出一角？ （由学生推出）从余弦定理，又可得到以下推论： 222 cos 2 b ca A bc 222 cos 2 acb B ac 222 cos 2 b ac C ba 理解定理理解定理 从而知余弦定理及其推论的基本作用为： 已知三角形的任意两边及它们的夹角就可以求出第三边； 已知三角形的三条边就可以求出其它角。 思考： 勾股定理指出了直角三角形中三边平方之间的关系， 余弦定理则指出了一般三角 形中三边平方之间的关系，如何看这
13、两个定理之间的关系？ （由学生总结）若ABC 中，C= 0 90，则cos0C，这时 222 cab 由此可知余弦定理是勾股定理的推广，勾股定理是余弦定理的特例。 例题分析例题分析 例 1在ABC 中，已知2 3a，62c， 0 60B，求 b 及 A 解： 222 2cosbacacB = 22 (2 3)( 62)2 2 3 ( 62) cos 0 45 = 2 12 ( 62)4 3( 3 1) =8 2 2.b 求A可以利用余弦定理，也可以利用正弦定理： 解法一：cos 222222 (2 2)( 62 )(2 3)1, 22 2 2 2 ( 62) bca A bc 0 60 .A
14、解法二：sin 0 2 3 sinsin45 , 2 2 a AB b 又622.4 1.4 3.8, 2 32 1.8 3.6, ac，即 0 0A 0 90 , 0 60 .A 第 6 页 共 58 页 评述：解法二应注意确定 A 的取值范围。 例 2在ABC 中，已知134.6acm，87.8bcm，161.7ccm，解三角形 （见课本第 8 页例 4，可由学生通过阅读进行理解） 解：由余弦定理的推论得： cos 222 2 b ca A bc 222 87.8161.7134.6 2 87.8 161.7 0.5543, 0 56 20A； cos 222 2 cab B ca 222
15、 134.6161.787.8 2 134.6 161.7 0.8398, 0 32 53B； 0000 180() 180(56 2032 53)CA B . .课堂练习课堂练习 第 8 页练习第 1（1）、2（1）题。 补充练习补充练习 在ABC 中，若 222 abcbc，求角 A（答案：A=120 0 ） . .课时小结课时小结 （1）余弦定理是任何三角形边角之间存在的共同规律，勾股定理是余弦定理的特例； （2）余弦定理的应用范围：已知三边求三角；已知两边及它们的夹角，求第三边。 . .课后作业课后作业 课后阅读：课本第 9 页探究与发现 课时作业：第 11 页习题 1.1A 组第 3
16、（1），4（1）题。 板书设计板书设计 授后记授后记 第 7 页 共 58 页 课题: 1 11 13 3 解三角形的进一步讨论解三角形的进一步讨论 授课类型：授课类型：新授课 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能： 掌握在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 有两解或一解或无解 等情形；三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 过程与方法过程与方法：通过引导学生分析，解答三个典型例子，使学生学会综合运用正、余弦定理， 三角函数公式及三角形有关性质求解三角形问题。 情感态度与价值观情感态度与价值观：通过正、余弦定理，在解三角形问题时沟通了三角形的有关性质和三角 函数的关系，
17、反映了事物之间的必然联系及一定条件下相互转化的可能， 从而从本质上反映 了事物之间的内在联系。 教学重点教学重点 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； 三角形各种类型的判定方法；三角形面积定理的应用。 教学难点教学难点 正、余弦定理与三角形的有关性质的综合运用。 教学过程教学过程 . .课题导入课题导入 创创设情景设情景 思考：在ABC 中，已知22acm，25bcm， 0 133A，解三角形。 （由学生阅读课本第 9 页解答过程） 从此题的分析我们发现， 在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时， 在某些条 件下会出现无解的情形。下面进一步来研究这种情
18、形下解三角形的问题。 . .讲授新课讲授新课 探索研究探索研究 例例 1 1在ABC 中，已知, ,a b A，讨论三角形解的情况 分析：先由 sin sin bA B a 可进一步求出 B； 则 0 180()CAB 从而 sinaC c A 1当 A 为钝角或直角时，必须ab才能有且只有一解；否则无解。 2当 A 为锐角时， 如果ab，那么只有一解； 如果ab，那么可以分下面三种情况来讨论： （1）若sinabA，则有两解； （2）若sinabA，则只有一解； （3）若sinabA，则无解。 （以上解答过程详见课本第 910 页） 第 8 页 共 58 页 评述：注意在已知三角形的两边及其
19、中一边的对角解三角形时，只有当 A 为锐角且 sinbAab时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。 随堂练习随堂练习 11 （1）在ABC 中，已知80a，100b， 0 45A ，试判断此三角形的解的情况。 （2）在ABC 中，若1a， 1 2 c， 0 40C，则符合题意的 b 的值有_个。 （3）在ABC 中，axcm，2bcm， 0 45B，如果利用正弦定理解三角形有两解，求 x 的取值范围。 （答案：（1）有两解；（2）0；（3）22 2x） 例例 2 2在ABC 中，已知7a，5b，3c，判断ABC 的类型。 分析：由余弦定理可知 222 222 222 是直角ABC是直角三角形
20、 是钝角ABC是钝角三角形 是锐角 abcA abcA abcA ABC是锐角三角形 （注意：是锐角A ABC是锐角三角形） 解： 222 753，即 222 abc， ABC是钝角三角形。 随堂练习随堂练习 22 （1）在ABC 中，已知sin :sin :sin1:2:3ABC，判断ABC 的类型。 （2）已知ABC 满足条件coscosaAbB，判断ABC 的类型。 （答案：（1）ABC是钝角三角形；（2）ABC 是等腰或直角三角形） 例例 3 3在ABC 中， 0 60A，1b，面积为 3 2 ，求 sinsinsin abc ABC 的值 分析：可利用三角形面积定理 111 sins
21、insin 222 SabCacBbcA以及正弦定理 sinsin ab AB sin c C sinsinsin abc ABC 解：由 13 sin 22 SbcA得2c， 则 222 2cosabcbcA= =3，即3a， 从而 sinsinsin abc ABC 2 sin a A . .课堂练习课堂练习 （1）在ABC 中，若55a，16b，且此三角形的面积220 3S，求角 C （2）在ABC 中，其三边分别为 a、b、c，且三角形的面积 222 4 abc S ，求角 C （答案：（1） 0 60或 0 120；（2） 0 45） 第 9 页 共 58 页 . .课时小结课时小结
22、 （1）在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，有两解或一解或无解等情形； （2）三角形各种类型的判定方法； （3）三角形面积定理的应用。 . .课后作业课后作业 （1）在ABC 中，已知4b，10c， 0 30B，试判断此三角形的解的情况。 （2）设 x、x+1、x+2 是钝角三角形的三边长，求实数 x 的取值范围。 （3）在ABC 中， 0 60A，1a，2bc，判断ABC 的形状。 （4）三角形的两边分别为 3cm，5cm,它们所夹的角的余弦为方程 2 5760 xx的根， 求这个三角形的面积。 板书设计板书设计 授后记授后记 第 10 页 共 58 页 课题: 2.2 解三角形解
23、三角形应用举例应用举例 第一课时第一课时 授课类型：授课类型：新授课 教学目标教学目标 知识与技能：知识与技能： 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关测量距离的实际问题， 了解常用的测量相关术语 过程与方法：过程与方法：首先通过巧妙的设疑，顺利地引导新课，为以后的几节课做良好铺垫。其次结 合学生的实际情况， 采用 “提出问题引发思考探索猜想总结规律反馈训练” 的教学过程，根据大纲要求以及教学内容之间的内在关系，铺开例题，设计变式，同时通过 多媒体、图形观察等直观演示，帮助学生掌握解法，能够类比解决实际问题。对于例 2 这样 的开放性题目要鼓励学生讨论， 开放多种思路， 引导学生
24、发现问题并进行适当的指点和矫正 情感态度与价值观：情感态度与价值观：激发学生学习数学的兴趣,并体会数学的应用价值；同时培养学生运用 图形、数学符号表达题意和应用转化思想解决数学问题的能力 教学重点教学重点 实际问题中抽象出一个或几个三角形，然后逐个解决三角形，得到实际问题的解 教学难点教学难点 根据题意建立数学模型，画出示意图 教学过程教学过程 . .课题导入课题导入 1 1、 复习旧知复习旧知 复习提问什么是正弦定理、余弦定理以及它们可以解决哪些类型的三角形？ 2 2、 设置情境设置情境 请学生回答完后再提问： 前面引言第一章 “解三角形” 中， 我们遇到这么一个问题， “遥 不可及的月亮离
25、我们地球究竟有多远呢？” 在古代， 天文学家没有先进的仪器就已经估算出 了两者的距离，是什么神奇的方法探索到这个奥秘的呢？我们知道，对于未知的距离、高度 等，存在着许多可供选择的测量方案，比如可以应用全等三角形、相似三角形的方法，或借 助解直角三角形等等不同的方法， 但由于在实际测量问题的真实背景下， 某些方法会不能实 施。 如因为没有足够的空间， 不能用全等三角形的方法来测量， 所以， 有些方法会有局限性。 于是上面介绍的问题是用以前的方法所不能解决的。 今天我们开始学习正弦定理、 余弦定理 在科学实践中的重要应用，首先研究如何测量距离。 . .讲授新课讲授新课 （1）解决实际测量问题的过程
26、一般要充分认真理解题意，正确做出图形，把实际问题 里的条件和所求转换成三角形中的已知和未知的边、角，通过建立数学模型来求解 例题讲解例题讲解 (2)例 1、如图，设 A、B 两点在河的两岸，要测量两点之间的距离，测量者在 A 的同 侧，在所在的河岸边选定一点 C，测出 AC 的距离是 55m，BAC=51，ACB=75。求 A、B 两点的距离(精确到 0.1m) 第 11 页 共 58 页 启发提问 1：ABC 中，根据已知的边和对应角，运用哪个定理比较适当？ 启发提问 2：运用该定理解题还需要那些边和角呢？请学生回答。 分析：这是一道关于测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离的问题
27、，题目条 件告诉了边 AB 的对角，AC 为已知边，再根据三角形的内角和定理很容易根据两个已知角算 出 AC 的对角，应用正弦定理算出 AB 边。 解：根据正弦定理，得 ACB AB sin = ABC AC sin AB = ABC ACBAC sin sin = ABC ACB sin sin55 = )7551180sin( 75sin55 = 54sin 75sin55 65.7(m) 答:A、B 两点间的距离为 65.7 米 变式练习： 两灯塔 A、 B 与海洋观察站 C 的距离都等于 a km,灯塔 A 在观察站 C 的北偏东 30 ， 灯塔 B 在观察站 C 南偏东 60 ，则
28、A、B 之间的距离为多少？ 老师指导学生画图，建立数学模型。 解略：2a km 例例 2 2、如图，A、B 两点都在河的对岸（不可到达），设计一种测量 A、B 两点间距离的方法。 分析：这是例 1 的变式题，研究的是两个不可到达的点之间的距离测量问题。首先需要构造 三角形，所以需要确定 C、D 两点。根据正弦定理中已知三角形的任意两个内角与一边既可 求出另两边的方法，分别求出 AC 和 BC，再利用余弦定理可以计算出 AB 的距离。 第 12 页 共 58 页 解：测量者可以在河岸边选定两点 C、D，测得 CD=a，并且在 C、D 两点分别测得BCA=， ACD=，CDB=，BDA =，在AD
29、C 和BDC 中，应用正弦定理得 AC = )(180sin )sin( a = )sin( )sin( a BC = )(180sin sin a = )sin( sin a 计算出 AC 和 BC 后，再在ABC 中，应用余弦定理计算出 AB 两点间的距离 AB = cos2 22 BCACBCAC 分组讨论：还没有其它的方法呢？师生一起对不同方法进行对比、分析。 变式训练： 若在河岸选取相距 40 米的 C、 D 两点， 测得BCA=60 ，ACD=30 ，CDB=45 ， BDA =60 略解：将题中各已知量代入例 2 推出的公式，得 AB=206 评注：可见，在研究三角形时，灵活根据
30、两个定理可以寻找到多种解决问题的方案，但有些 过程较繁复，如何找到最优的方法，最主要的还是分析两个定理的特点，结合题目条件来选 择最佳的计算方式。 学生阅读课本学生阅读课本 4 4 页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。页，了解测量中基线的概念，并找到生活中的相应例子。 . .课堂练习课堂练习 课本第 14 页练习第 1、2 题 . .课时小结课时小结 解斜三角形应用题的一般步骤： （1）分析：理解题意，分清已知与未知，画出示意图 （2）建模：根据已知条件与求解目标，把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中，建 立一个解斜三角形的数学模型 （3）求解：利用正弦定理或余弦定理有序地解
31、出三角形，求得数学模型的解 （4）检验：检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 . .课后作业课后作业 课本第 22 页第 1、2、3 题 板书设计板书设计 授后记授后记 第 13 页 共 58 页 课题: 2.2 解三角形解三角形应用举例应用举例 第二课时第二课时 授课类型：授课类型：新授课 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能： 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关底部不可到达的物体 高度测量的问题 过程与方法过程与方法：本节课是解三角形应用举例的延伸。采用启发与尝试的方法，让学生在温故知 新中学会正确识图、画图、想图，帮助学生逐步构建知识框架。通过 3
32、道例题的安排和练习 的训练来巩固深化解三角形实际问题的一般方法。教学形式要坚持引导讨论归纳，目 的不在于让学生记住结论，更多的要养成良好的研究、探索习惯。作业设计思考题，提供学 生更广阔的思考空间 情感态度与价值观情感态度与价值观：进一步培养学生学习数学、应用数学的意识及观察、归纳、类比、概括 的能力 教学重点教学重点 结合实际测量工具，解决生活中的测量高度问题 教学难点教学难点 能观察较复杂的图形，从中找到解决问题的关键条件 教学过程教学过程 . .课题导入课题导入 提问：现实生活中,人们是怎样测量底部不可到达的建筑物高度呢？又怎样在水平飞行的飞 机上测量飞机下方山顶的海拔高度呢？今天我们就
33、来共同探讨这方面的问题 . .讲授新课讲授新课 范例讲解范例讲解 例例 1 1、AB 是底部 B 不可到达的一个建筑物，A 为建筑物的最高点，设计一种测量建筑物高度 AB 的方法。 分析：求 AB 长的关键是先求 AE，在ACE 中，如能求出 C 点到建筑物顶部 A 的距离 CA，再 测出由 C 点观察 A 的仰角，就可以计算出 AE 的长。 解：选择一条水平基线 HG，使 H、G、B 三点在同一条直线上。由在 H、G 两点用测角仪器测 得 A 的仰角分别是、，CD = a，测角仪器的高是 h，那么，在ACD 中，根据正弦定理 第 14 页 共 58 页 可得 AC = )sin( sin a
34、 AB = AE + h = ACsin+ h = )sin( sinsin a + h 例例 2 2、如图，在山顶铁塔上 B 处测得地面上一点 A 的俯角=540 4 ，在塔底 C 处测得 A 处 的俯角=50 1 。已知铁塔 BC 部分的高为 27.3 m,求出山高 CD(精确到 1 m) 师:根据已知条件,大家能设计出解题方案吗？ （给时间给学生讨论思考） 若在ABD 中求 CD， 则关键需要求出哪条边呢？ 生：需求出 BD 边。 师：那如何求 BD 边呢？ 生：可首先求出 AB 边，再根据BAD=求得。 解:在ABC 中, BCA=90 +,ABC =90 -,BAC=- ,BAD =
35、.根据正弦定 理, )sin( BC = )90sin( AB 所以 AB = )sin( )90sin( BC = )sin( cos BC 解 RtABD 中,得 BD =ABsinBAD= )sin( sincos BC 将测量数据代入上式,得 BD = )1500454sin( 0454sin150cos3 .27 第 15 页 共 58 页 = 934sin 0454sin150cos3 .27 177 (m) CD =BD -BC177-27.3=150(m) 答:山的高度约为 150 米. 师：有没有别的解法呢？ 生：若在ACD 中求 CD，可先求出 AC。 师：分析得很好，请大
36、家接着思考如何求出 AC？ 生：同理，在ABC 中，根据正弦定理求得。（解题过程略） 例 3、如图,一辆汽车在一条水平的公路上向正东行驶,到 A 处时测得公路南侧远处一山顶 D 在东偏南15 的方向上,行驶5km后到达B处,测得此山顶在东偏南25 的方向上,仰角为8 , 求此山的高度 CD. 师：欲求出 CD，大家思考在哪个三角形中研究比较适合呢？ 生：在BCD 中 师：在BCD 中，已知 BD 或 BC 都可求出 CD,根据条件,易计算出哪条边的长？ 生：BC 边 解:在ABC 中, A=15 ,C= 25 -15 =10 ,根据正弦定理, A BC sin = C AB sin , BC
37、= C AAB sin sin = 10sin 15sin5 7.4524(km) CD=BCtanDBCBCtan8 1047(m) 答:山的高度约为 1047 米 . .课堂练习课堂练习 课本第 17 页练习第 1、2、3 题 . .课时小结课时小结 利用正弦定理和余弦定理来解题时，要学会审题及根据题意画方位图,要懂得从所给的 背景资料中进行加工、抽取主要因素，进行适当的简化。 . .课后作业课后作业 第 16 页 共 58 页 1、 课本第 23 页练习第 6、7、8 题 2、 为测某塔 AB 的高度，在一幢与塔 AB 相距 20m 的楼的楼顶处测得塔顶 A 的仰角为 30 ， 测得塔基
38、 B 的俯角为 45 ，则塔 AB 的高度为多少 m？ 答案：20+ 3 320 (m) 板书设计板书设计 授后记授后记 课题: 2.2 解三角形解三角形应用举例应用举例 第三课时第三课时 授课类型：授课类型：新授课 教学目标教学目标 知识与技能知识与技能： 能够运用正弦定理、 余弦定理等知识和方法解决一些有关计算角度的实际问题 过程与方法过程与方法：本节课是在学习了相关内容后的第三节课，学生已经对解法有了基本的了解， 这节课应通过综合训练强化学生的相应能力。除了安排课本上的例 1，还针对性地选择了既 具典型性有具启发性的 2 道例题， 强调知识的传授更重能力的渗透。 课堂中要充分体现学生 的
39、主体地位，重过程，重讨论，教师通过导疑、导思让学生有效、积极、主动地参与到探究 问题的过程中来，逐步让学生自主发现规律，举一反三。 情感态度与价值观情感态度与价值观：培养学生提出问题、正确分析问题、独立解决问题的能力，并在教学过 程中激发学生的探索精神。 教学重点教学重点 能根据正弦定理、余弦定理的特点找到已知条件和所求角的关系 教学难点教学难点 灵活运用正弦定理和余弦定理解关于角度的问题 教学过程教学过程 . .课题导入课题导入 创设情境创设情境 提问： 前面我们学习了如何测量距离和高度， 这些实际上都可转化已知三角形的一些边和角 求其余边的问题。然而在实际的航海生活中,人们又会遇到新的问题
40、，在浩瀚无垠的海面上 如何确保轮船不迷失方向，保持一定的航速和航向呢？今天我们接着探讨这方面的测量问 题。 . .讲授新课讲授新课 范例讲解范例讲解 例例 1 1、如图，一艘海轮从 A 出发，沿北偏东 75 的方向航行 67.5 n mile 后到达海岛 B,然 后从 B 出发,沿北偏东 32 的方向航行 54.0 n mile 后达到海岛 C.如果下次航行直接从 A 出 发到达 C,此船应该沿怎样的方向航行,需要航行多少距离?(角度精确到 0.1 ,距离精确到 0.01n mile) 第 17 页 共 58 页 学生看图思考并讲述解题思路 教师根据学生的回答归纳分析：首先根据三角形的内角和定
41、理求出 AC 边所对的角ABC， 即可用余弦定理算出 AC 边，再根据正弦定理算出 AC 边和 AB 边的夹角CAB。 解：在ABC 中，ABC=180 - 75 + 32 =137 ，根据余弦定理， AC=ABCBCABBCABcos2 22 = 137cos0 .545 .6720 .545 .67 22 113.15 根据正弦定理, CAB BC sin = ABC AC sin sinCAB = AC ABCBCsin = 15.113 137sin0.54 0.3255, 所以 CAB =19.0 , 75 - CAB =56.0 答:此船应该沿北偏东 56.1 的方向航行,需要航行
42、 113.15n mile 例例 2 2、在某点 B 处测得建筑物 AE 的顶端 A 的仰角为，沿 BE 方向前进 30m，至点 C 处测得 顶端 A 的仰角为 2，再继续前进 103m 至 D 点，测得顶端 A 的仰角为 4，求的大小和 建筑物 AE 的高。 师：请大家根据题意画出方位图。 第 18 页 共 58 页 生：上台板演方位图（上图） 教师先引导和鼓励学生积极思考解题方法， 让学生动手练习， 请三位同学用三种不同方法板 演，然后教师补充讲评。 解法一：（用正弦定理求解）由已知可得在ACD 中， AC=BC=30， AD=DC=103， ADC =180 -4， 2sin 310 =
43、 )4180sin( 30 。 因为 sin4=2sin2cos2 cos2= 2 3 ,得 2=30 =15 ， 在 RtADE 中，AE=ADsin60 =15 答：所求角为 15 ，建筑物高度为 15m 解法二：（设方程来求解）设 DE= x，AE=h 在 RtACE 中,(103+ x) 2 + h 2 =30 2 在 RtADE 中,x 2 +h 2 =(103) 2 两式相减，得 x=53,h=15 在 RtACE 中,tan2= x h 310 = 3 3 2=30 ,=15 答：所求角为 15 ，建筑物高度为 15m 解法三：（用倍角公式求解）设建筑物高为 AE=8，由题意，得
44、 BAC=， CAD=2， AC = BC =30m , AD = CD =103m 在 RtACE 中，sin2= 30 x - 在 RtADE 中，sin4= 310 4 , - 第 19 页 共 58 页 得 cos2= 2 3 ,2=30 ,=15 ，AE=ADsin60 =15 答：所求角为 15 ，建筑物高度为 15m 例例 3 3、 某巡逻艇在 A 处发现北偏东 45 相距 9 海里的 C 处有一艘走私船， 正沿南偏东 75 的 方向以 10 海里/小时的速度向我海岸行驶， 巡逻艇立即以 14 海里/小时的速度沿着直线方向 追去，问巡逻艇应该沿什么方向去追？需要多少时间才追赶上该
45、走私船？ 师：你能根据题意画出方位图？教师启发学生做图建立数学模型 分析：这道题的关键是计算出三角形的各边，即需要引入时间这个参变量。 解： 如图， 设该巡逻艇沿 AB 方向经过 x 小时后在 B 处追上走私船， 则 CB=10 x, AB=14x,AC=9, ACB=75+45=120 (14x) 2 = 9 2 + (10 x) 2 -2910 xcos120 化简得 32x 2 -30 x-27=0，即 x= 2 3 ,或 x=- 16 9 (舍去) 所以 BC = 10 x =15,AB =14x =21, 又因为 sinBAC = AB BC 120sin = 21 15 2 3 = 14 35 BAC =383 1 ,或BAC =1417 4 （钝角不合题意，舍去）， 383 1 +45=833 1 答：巡逻艇应该沿北偏东 833 1 方向去追，经过 1.4 小时才追赶上该走私船. 评注：评注：在求解三角形中，我们可以根据正弦函数的定义得到两个解，但作为有关现实生活的 应用题，必须检验上述所求的解是否符合实际意义，从而得出实际问题的解 . .课堂练习课堂练习 课本第 18 页练习 . .课时小结课时小结 解三
