1、 /28 1 知识点串讲知识点串讲 必修必修四四 /28 2 第一章：三角函数第一章：三角函数 1.11.11 1 任意角任意角 1 1、角的有关概念：角的有关概念： 角的定义：角的定义： 角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置旋转到另一个位置所形成的图形 角的名称：角的名称： 角的分类：角的分类： 2 2、象限角的概念：象限角的概念： 定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与定义：若将角顶点与原点重合，角的始边与x x轴的轴的非负半轴重合，那么角的终边非负半轴重合，那么角的终边( (端点除外端点除外) )在第在第 几象限
2、，我们就说这个角是第几象限角几象限，我们就说这个角是第几象限角 终边相同的角的表示：终边相同的角的表示： 所有与角所有与角终边相同的角，连同终边相同的角，连同在内，可构成一个集合在内，可构成一个集合S S | | = = + + k k360360 ， k kZ Z ，即任一与角，即任一与角终边相同的角，都可以表示成角终边相同的角，都可以表示成角与整个周角的和与整个周角的和 注意：注意： k kZ Z 是任一角；是任一角； 终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角不一定相等，但相等的角终边一定相同终边相同的角有无限个，它们相差终边相同的角有无限个，它们相差 360360的整数
3、倍；的整数倍； 角角 + k+ k720720 与角 与角终边相同，但不能表示与角终边相同，但不能表示与角终边相同的所有角终边相同的所有角 3 3、写出终边在写出终边在y y轴上的角的集合轴上的角的集合( (用用 0 0到到 360360的角表示的角表示) ) 解解: | | = 90= 90+ + n n180180, ,n nZZ 4 4、已知已知角是第三象限角，则角是第三象限角，则 2 2， 2 各是第几象限角？各是第几象限角？ 解：解：角属于第三象限，角属于第三象限， k k360360+180+180k k360360+270+270( (k kZ)Z) 因此，因此，2 2k k36
4、0360+360+3602 22 2k k360360+540+540( (k kZ)Z) 即即(2(2k k +1)360+1)3602 2(2(2k k +1)360+1)360+180+180( (k kZ)Z) 故故 2 2是第一、二象限或终边在是第一、二象限或终边在y y轴的非负半轴上的角轴的非负半轴上的角 又又k k180180+90+90 2 k k180180+13+135 5( (k kZ) Z) 当当k k为偶数时，令为偶数时，令k k=2=2n n( (n nZ)Z)，则，则n n360360+90+90 2 n n360360+135+135( (n nZ) Z) ，
5、当当k k为奇数时，令为奇数时，令k k=2=2n n+1 (+1 (n nZ)Z)，则，则n n360360+270+270 2 n n360360+315+315( (n nZ) Z) ， 负角：按顺时针方向旋转形成的角 始边 终边 顶点 A A O O B B 正角：按逆时针方向旋转形成的角 零角：射线没有任何旋转形成的角 /28 3 因此因此 2 属于第二或第四象限角属于第二或第四象限角 1.1.21.1.2 弧度制弧度制 1 1、弧度制、弧度制 我们规定我们规定, ,长度等于半径的弧所对的圆心角叫做长度等于半径的弧所对的圆心角叫做1 1弧度的角； 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制 在
6、弧度的角； 用弧度来度量角的单位制叫做弧度制 在 弧度制下弧度制下, 1, 1 弧度记做弧度记做 1rad1rad在实际运算中，常常将在实际运算中，常常将 radrad 单位省略单位省略 2 2、 弧度制的性质：弧度制的性质： 半圆所对的圆心角为半圆所对的圆心角为 ; r r 整圆所对的圆心角为整圆所对的圆心角为 .2 2 r r 正角的弧度数是一个正数正角的弧度数是一个正数 负角的弧度数是一个负数负角的弧度数是一个负数 零角的弧度数是零零角的弧度数是零 角的弧度数的绝对值角的弧度数的绝对值| |=|= . r l 3 3、弧长公式、弧长公式 rl r l 弧长等于弧所对应的圆心角弧长等于弧所
7、对应的圆心角( (的弧度数的弧度数) )的绝对值与半径的积的绝对值与半径的积 ., 2 1 6. 是圆的半径是扇形弧长其中积公式利用弧度制证明扇形面例RllRS 证法一证法一: :圆的面积为圆的面积为 2 R , ,圆心角为圆心角为 1rad1rad 的扇形面积为的扇形面积为 2 2 1 R , ,又扇形弧长为又扇形弧长为 l,l,半径为半径为 R,R, 扇形的圆心角大小为扇形的圆心角大小为R l rad, rad, 扇形面积扇形面积 lRR R l S 2 1 2 1 2 证法二证法二: :设圆心角的度数为设圆心角的度数为 n n，则在角度制下的扇形面积公式为，则在角度制下的扇形面积公式为
8、360 2 Rn S ，又此时弧长，又此时弧长 180 Rn l ， RlR Rn S 2 1 1802 1 可看出弧可看出弧度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多度制与角度制下的扇形面积公式可以互化，而弧度制下的扇形面积公式显然要简洁得多 2 2 1 2 1 :RlRS扇形面积公式 /28 4 1.2.11.2.1 任意角的三角函数任意角的三角函数 1 1、三角函数定义、三角函数定义 在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点在直角坐标系中，设是一个任意角，终边上任意一点P（除了原点）的坐标为（除了原点）的坐标为( , )x y，它与，它与 原点的距
9、离为原点的距离为 2222 (|0)r rxyxy，那么，那么 （1 1）比值）比值 y r 叫做的正弦，记作叫做的正弦，记作sin，即，即sin y r ； （2 2）比值）比值 x r 叫做的余弦，记作叫做的余弦，记作cos，即，即cos x r ； （3 3）比值）比值 y x 叫做的正切，记作叫做的正切，记作tan，即，即tan y x ； （4 4）比值）比值 x y 叫做的余切，记作叫做的余切，记作cot，即，即cot x y ； 2 2三角函数的定义域、值域三角函数的定义域、值域 3 3、求函数、求函数 x x x x y tan tan cos cos 的值域的值域 解：解：
10、定义域：定义域：cosxcosx 0 0 x x 的终边不在的终边不在 x x 轴上轴上 又又tanxtanx 0 0 x x 的终边不在的终边不在 y y 轴上轴上 当当 x x 是第象限角时，是第象限角时，0, 0yx cosx=|cosx| tanx=|tanx| cosx=|cosx| tanx=|tanx| y=2y=2 , ,0, 0yx |cosx|= |cosx|= cosx |tanx|=cosx |tanx|= tanx tanx y=y= 2 2 , , 0, 0 0, 0 yx yx |cosx|=|cosx|= cocosx |tanx|=tanx sx |tanx|
11、=tanx y=0y=0 4 4、诱导公式诱导公式 )Z(tan)2tan( )Z(cos)2cos( )Z(sin)2sin( kk kk kk 5 5、三角函数线的定义：三角函数线的定义： 设任意角设任意角的顶点在原点的顶点在原点O，始边与，始边与x轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点轴非负半轴重合，终边与单位圆相交与点P( , )x y， 过过P作作x轴的垂线，垂足为轴的垂线，垂足为M；过点；过点(1,0)A作单位圆的切线，它与角作单位圆的切线，它与角的终边或其反向延的终边或其反向延 长线交与点长线交与点T. . 函函 数数 定定 义义 域域 值值 域域 siny R 1,1 cosy
12、R 1,1 tany |, 2 kkZ R o x y M T P A x y o M T P A /28 5 由四个图看出：由四个图看出： 当角当角的终边不在坐标轴上时，有向线段的终边不在坐标轴上时，有向线段,OMx MPy，于是有，于是有 sin 1 yy yMP r ， cos 1 xx xOM r ，tan yMPAT AT xOMOA 我们就分别称有向线段我们就分别称有向线段,MP OM AT为正弦线、余弦线、正切线。为正弦线、余弦线、正切线。 说明：说明： （1 1）三条有向线段的位置：正弦线为）三条有向线段的位置：正弦线为的终边与单位圆的交的终边与单位圆的交点到点到x轴的垂直线段
13、；余弦线在轴的垂直线段；余弦线在x轴上；轴上； 正切线在过单位圆与正切线在过单位圆与x轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条轴正方向的交点的切线上，三条有向线段中两条 在单位圆内，一条在单位圆外。在单位圆内，一条在单位圆外。 （2 2）三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向三条有向线段的方向：正弦线由垂足指向的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂的终边与单位圆的交点；余弦线由原点指向垂 足；正切线由切点指向与足；正切线由切点指向与的终边的交点。的终边的交点。 （3 3）三条有向线段的正负：三条有向线段凡与三条有向线段的正负：三条有向线段凡与x轴或轴或 y 轴同向的为正值，与轴同向的为正值，
14、与x轴或轴或 y 轴反向的轴反向的 为负值。为负值。 （4 4）三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。三条有向线段的书写：有向线段的起点字母在前，终点字母在后面。 6 6、利用三角函数线比较下列各组数的大小：利用三角函数线比较下列各组数的大小： 1 1 3 2 sin 与与 5 4 sin 2 2 3 2 tan 与与 5 4 tan 解：解： 如图可知：如图可知： 3 2 sin 5 4 sin tantan 3 2 tantan 5 4 o x y M T P A x y o M T P A （） （） （） （） /28 6 1.2.21.2.2 同角三角函数的基本
15、关系同角三角函数的基本关系 1 1、 由三角函数的定义，我们可以得到以下关系：由三角函数的定义，我们可以得到以下关系： 1. 1. （1 1）商数关系：）商数关系： con sin tan （2 2）平方关系：）平方关系：1sin 22 con 2 2、已知已知 12 sin 13 ，并且，并且是第二象限角，求是第二象限角，求cos ,tan ,cot 解：解： 22 sincos1 ， 2222 125 cos1 sin1 ()() 1313 又又是第二象限角，是第二象限角， cos0，即有，即有 5 cos 13 ，从而，从而 sin12 tan cos5 ， 15 cot tan12 3
16、 3、已知、已知cos2sin，求，求 cos2sin5 cos4sin 4 4、求证：、求证： cos1 sin 1 sincos xx xx 证法一：由题义知证法一：由题义知cos0 x ，所以，所以1 sin0,1 sin0 xx 左边左边= = 2 cos (1 sin )cos (1 sin ) (1 sin )(1 sin )cos xxxx xxx 1 sin cos x x 右边右边 原式成立原式成立 证法二：由题义知证法二：由题义知cos0 x ，所以，所以1 sin0,1 sin0 xx 又又 22 (1 sin )(1 sin )1 sincoscoscosxxxxxx
17、， cos1 sin 1 sincos xx xx 证法三：由题义知证法三：由题义知cos0 x ，所以，所以1 sin0,1 sin0 xx cos1 sin 1 sincos xx xx coscos(1 sin )(1 sin ) (1 sin )cos xxxx xx 22 cos1 sin 0 (1 sin )cos xx xx ， cos1 sin 1 sincos xx xx 22 2sin2sincoscos /28 7 1 13 3 诱导公式诱导公式 1 1、诱导公式（一）诱导公式（一） tan)360tan(cos)360(cos sin)360sin(kkk 诱导公式（二
18、）诱导公式（二） tan)180tan(cos)180cos( sin)180sin( 诱导公式（三）诱导公式（三） tan)tan(cos)cos( sin)sin( 诱导公式（四）诱导公式（四） sin(sin( )=sin)=sin cos(cos( ) )= =coscos tantan ( ( ) )= =tantan 诱导公式诱导公式( (五五) ) sin) 2 cos( cos) 2 sin( 诱导公式（六）诱导公式（六） sin) 2 cos( cos) 2 sin( 2 2、化简：化简：. ) 2 9 sin()sin()3sin()cos( ) 2 11 cos() 2
19、cos()cos()2sin( 3 3、. )3cos(4 )3tan(3)sin(2 , 0cossin, 5 4 )sin(的值的值求求且且已知已知 4 4、化简化简: : );2cos()2sin( 2 5 sin 2 cos )1( . )sin( )360tan( )(cos)2( o 2 5 5、. 2 7 30 2 1 cos,sin 2 的两根，且的两根，且的方程的方程是关于是关于已知已知axxx . )900sin()180cos( )6cos()2sin()6tan( 的值的值求求 /28 8 1.4.11.4.1 正弦、余弦函数的图象正弦、余弦函数的图象 1 1、 正弦函
20、数正弦函数 y=sinxy=sinx 的图象和余弦函数的图象和余弦函数 y=cosxy=cosx 的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线的图象分别叫做正弦曲线和余弦曲线 2 2、用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法） ：用五点法作正弦函数和余弦函数的简图（描点法） ： 正弦函数正弦函数 y=sinxy=sinx， x x00， 2 2 的图象中， 五个关键点是：的图象中， 五个关键点是： (0,0) (0,0) ( 2 ,1) (,1) ( ,0) (,0) ( 2 3 , ,- -1) (21) (2 ,0),0) 余弦函数余弦函数 y=cosx xy=cosx x 0,20,2 的五个点关
21、键是哪几个？的五个点关键是哪几个？(0,1) (0,1) ( 2 ,0) (,0) ( , ,- -1) (1) ( 2 3 ,0) (2,0) (2 ,1),1) 3 3、别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的别利用函数的图象和三角函数线两种方法，求满足下列条件的 x x 的集合：的集合： 1 (1)sin; 2 x 15 (2)cos,(0). 22 xx 1.4.2 1.4.2 正弦、余弦函数的性质正弦、余弦函数的性质 1 1、奇偶性：、奇偶性： y=y=cosxcosx 是偶函数是偶函数 y=y=sinxsinx 是奇函数。是奇函数。 2 2、单调性、单调性 正弦函数在
22、每一个闭区间 正弦函数在每一个闭区间 2 2 2k k，2 2 2k k ( (k kZ)Z)上都是增函数， 其值从上都是增函数， 其值从1 1 增大到增大到 1 1； 在每一个闭区间在每一个闭区间 2 2 2k k， 2 3 2 2k k( (k kZ)Z)上都是减函数，其值从上都是减函数，其值从 1 1 减小到减小到1.1. 余弦函数在每一个闭区间余弦函数在每一个闭区间(2(2k k1)1)，2 2k k( (k kZ)Z)上都是增函数，其值从上都是增函数，其值从1 1 增加到增加到 1 1； 在每一个闭区间在每一个闭区间2 2k k，(2(2k k1)1)( (k kZ)Z)上都是减函数
23、，其值从上都是减函数，其值从 1 1 减小到减小到1.1. 3 3、有关对称轴、有关对称轴 观察正、余弦函数的图形，可知观察正、余弦函数的图形，可知 y=sinxy=sinx 的对称轴为的对称轴为 x=x= 2 k k kZ y=cosxZ y=cosx 的对称轴为的对称轴为 x=x=k k kZ Z 4 4、判断下列函数的奇偶性判断下列函数的奇偶性 (1)(1) 1 sincos ( ); 1 sincos xx f x xx (2)(2) 2 ( )lg(sin1 sin);f xxx y=cosx y=sinx 2 345 6 - -2 -3 -4 -5 -6 -6 -5 -4 -3 -
24、2 - 6 54 3 2 -1 1 y x -1 1 o x y /28 9 1.4.31.4.3 正切函数的性质与图象正切函数的性质与图象 1 1、正切函数、正切函数tanyx的定义域是什么？的定义域是什么？ zkkxx, 2 | 2 2、Rxxy tan，且，且zkkx 2 的图象，称“正切曲线” 。的图象，称“正切曲线” 。 3 3、正切函数的性质（正切函数的性质（1 1）定义域：）定义域： zkkxx, 2 | ； （2 2）值域：）值域：R R 观察：当观察：当x从小于从小于z kk 2 ， 2 kx 时，时，tan x 当当x从大于从大于z kk 2 ， kx 2 时，时，xtan
25、。 （3 3）周期性：）周期性：T； （4 4）奇偶性：由）奇偶性：由xxtantan知，正切函数是奇函数；知，正切函数是奇函数； （5 5）单调性：在开区间）单调性：在开区间 zkkk 2 , 2 内，函数单调递增。内，函数单调递增。 4 4、求下列函数的周期：求下列函数的周期： （1 1）3tan 5 yx 答：答：T。 （2 2）tan 3 6 yx 答：答： 3 T 。 说明：函数说明：函数 tan0,0yAxA 的周期的周期T 5 5、求函数求函数 3 3tan xy的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性，的定义域、值域，指出它的周期性、奇偶性、单调性， 解：解：1 1、由、
26、由 23 3 kx得得 18 5 3 k x，所求定义域为，所求定义域为 zk k xRxx, 18 5 3 ,| 且 2 2、值域为、值域为 R R，周期，周期 3 T， 3 3、在区间在区间zk kk 18 5 3 , 183 上是增函数。上是增函数。 O 2 3 2 2 2 3 y x x /28 10 1.51.5 函数函数 y=Asin(wx+y=Asin(wx+ )(A0)(A0，w0w0) )的图象的图象 1 1、函数、函数 y = Asin(wx+y = Asin(wx+ ) )，(A0(A0，w0)w0)的图像可以看作是先把的图像可以看作是先把 y = sinxy = sin
27、x 的图像上所有的点向左的图像上所有的点向左( ( 0)0) 或向右或向右( ( 0 0) )平移平移| | | |个单位，再把所得各点的横坐标缩短个单位，再把所得各点的横坐标缩短(w1)(w1)或伸长或伸长( (0 0w1)w1)(A1)或缩短或缩短(0A1)(0A 0 0，( (a a) ) b b = =| |a a|b b|cos|cos ， ( (a a b b) =) =| |a a|b b|cos|cos ，a a ( (b b) =) =| |a a|b b|cos|cos ， 若若 0 0，( (a a) ) b b =|=|a a|b b|cos(|cos( ) = ) =
28、 | |a a|b b|(|( coscos ) =) =| |a a|b b|cos|cos ，( (a a b b) ) = =| |a a|b b|cos|cos ， a a ( (b b) =|) =|a a|b b|cos(|cos( ) = ) = | |a a|b b|(|( coscos ) =) =| |a a|b b|cos|cos . . 3 3分配律分配律：( (a a + + b b) ) c c = = a a c + c + b b c c 在平面内取一点在平面内取一点O O，作作OA= = a a， AB= = b b，OC= = c c， a a + + b
29、b （即即OB）在在c c方向上的投影等方向上的投影等 于于a a、b b在在c c方向上的投影和方向上的投影和，即即 | |a a + + b b| cos| cos = |= |a a| cos| cos 1 1 + |+ |b b| cos| cos 2 2 | | c c | | |a a + + b b| cos| cos =|=|c c| | |a a| cos| cos 1 1 + |+ |c c| | |b b| cos| cos 2 2， c c ( (a a + + b b) = ) = c c a a + + c c b b 即即：( (a a + + b b) ) c
30、c = = a a c c + + b b c c 说明： （说明： （1 1）一般地，）一般地，( () )（） （2 2），00 （3 3）有如下常用性质：）有如下常用性质： ， ， （） （） （） 5 5、已知已知| |a a|=12|=12， | |b b|=9|=9，254ba ，求求a 与与b 的夹角。的夹角。 6 6、已知已知| |a a|=6|=6， | |b b|=4|=4， a a与与b b的夹角为的夹角为 6060 o o求： （ 求： （1 1）(a+2b)(a(a+2b)(a- -3b). 3b). （2 2）| |a a+ +b b| |与与| |a a- -b
31、b|.|. （ 利用利用 aaa | ） 7 7、已知已知| |a a|=3|=3， | |b b|=4|=4， 且且a a与与b b不共不共线线，k k 为何值时为何值时，向量向量 a+kba+kb 与与 a a- -kbkb 互相垂直互相垂直. . /28 20 2.4.22.4.2 平面向量数量积的坐标表示、模、夹角平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 1 1、平面两向量数量积的坐标表示、平面两向量数量积的坐标表示 两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘积的和. .即即ba 2121 yyxx 2 2、平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式 （
32、1 1）设）设),(yxa ，则，则 222 |yxa或或 22 |yxa. . （2 2）如果表示向量）如果表示向量a的有向线段的起点和终点的坐标分别为的有向线段的起点和终点的坐标分别为),( 11 yx、),( 22 yx， 那么那么 2 21 2 21 )()(|yyxxa( (平面内两点间的距离公式平面内两点间的距离公式) ) 3 3、 向量垂直的判定向量垂直的判定 设设),( 11 yxa ，),( 22 yxb ，则，则ba 0 2121 yyxx 4 4、 两向量夹角的余弦（两向量夹角的余弦（0） cocos s = = |ba ba 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 y
33、xyx yyxx 5 5、已知已知a a（，（，3） ，） ，b b（3，3） ，则） ，则a a与与b b的夹角是多少的夹角是多少? ? 分析：为求分析：为求a a与与b b夹角，需先求夹角，需先求a ab b及及a ab b，再结合夹角，再结合夹角的范围确定其值的范围确定其值. . 解：由解：由a a（，（，3） ，） ，b b（3，3） 有有a ab b33（3），），a a，b b2 记记a a与与b b的夹角为的夹角为，则，则 2 2 ba ba 又又， 4 评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定评述：已知三角形函数值求角时，应注重角的范围的确定. . 6 6、在在ABC
34、ABC中，中，AB=(2=(2， 3)3)，AC=(1=(1， k k) )，且，且ABCABC的一个内角为直角，求的一个内角为直角，求k k值值. . 解：解：当当A A = 90= 90 时，时，AB AC= 0= 0，21 +321 +3k k = 0 = 0 k k = = 2 3 /28 21 当当B B = 90= 90 时，时，AB BC= 0= 0，BC= =AC AB= (1= (1 2 2， k k 3) = (3) = ( 1 1， k k 3)3) 2(2( 1) +3(1) +3(k k 3) = 0 3) = 0 k k = = 3 11 当当C C = 90= 9
35、0 时，时，AC BC= 0= 0， 1 + 1 + k k( (k k 3) = 0 3) = 0 k k = = 2 133 2. 2.5 5. .1 1 平面平面几何中的向量方法几何中的向量方法 例例 1. 1. 已知已知ACAC为为O O的一条直径，的一条直径，ABCABC为圆周角为圆周角. .求证：求证：ABCABC9090 o o. . 证明：设证明：设,OCaAO , bOB ,ba , baOBAOAB , baBC , 0)()( 22 bababaBCAB ,BCAB o ABC90 2. 2.5 5. .2 2 向量在物理中的应用举例向量在物理中的应用举例 1 1、如图，
36、一条河的两岸平行，河的宽度、如图，一条河的两岸平行，河的宽度d d500 m500 m，一艘船从，一艘船从A A处出发处出发到河对岸到河对岸. .已知船的速度已知船的速度| | 1 v| | 10 km/h10 km/h，水流速度，水流速度| | 2 v| |2 km/h2 km/h，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到，问行驶航程最短时，所用时间是多少（精确到 0.1 min0.1 min）？）？ A B O C /28 22 /28 23 第三章：三角恒等变换第三章：三角恒等变换 3.1.1 3.1.1 两角差的余弦公式两角差的余弦公式 1 1、两角两角和和差的余弦公式：差的余弦公式：
37、cos()coscossinsin 2 2、利用和、差角余弦公式求利用和、差角余弦公式求cos75、cos15的值的值. . 解：分析：把解：分析：把75、15构造成两个特殊角的和、差构造成两个特殊角的和、差. . 232162 cos75cos 4530cos45 cos30sin45 sin30 22224 232162 cos15cos 4530cos45 cos30sin45 sin30 22224 3 3、已知已知 4 sin 5 ， 5 ,cos, 213 是第三象限角，求是第三象限角，求cos的值的值. . 解：因为解：因为, 2 ， 4 sin 5 由此得由此得 2 2 43
38、cos1 sin1 55 又因为又因为 5 cos, 13 是第三象限角，所以是第三象限角，所以 2 2 512 sin1 cos1 1313 所所以以 3541233 cos()coscossinsin 51351365 /28 24 3.1.2 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一）两角和与差的正弦、余弦、正切公式（一） 1 1、 sincoscoscoscossinsin 2222 sincoscossin sinsinsincoscossinsincoscossin 2 2、 sinsincoscossin tan coscoscossinsin tantantantan
39、tantan 1tantan1tantan 3 3、已知已知 21 tan,tan, 544 求求tan 4 的值 （的值 （ 3 22 ） 4 4、利用和（差）角公式计算下列各式的值：利用和（差）角公式计算下列各式的值： （1 1） 、） 、sin72 cos42cos72 sin42； （； （2 2） 、） 、cos20 cos70sin20 sin70； （； （3 3） 、） 、1 tan15 1 tan15 解： （解： （1 1） 、） 、 1 sin72 cos42cos72 sin42sin 7242sin30 2 ； （2 2） 、） 、cos20 cos70sin20 s
40、in70cos 2070cos900； （3 3） 、） 、 1tan15tan45tan15 tan 4515tan603 1 tan151 tan45 tan15 3.1.2 3.1.2 两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二）两角和与差的正弦、余弦、正切公式（二） 1 1、化简化简2cos6sinxx 解：解： /28 25 13 2cos6sin2 2cossin2 2 sin30 coscos30 sin2 2sin 30 22 xxxxxxx 2 2、归纳：归纳： b a babatan)sin(cossin 22 3 3、已知：函数已知：函数Rxxxxf,cos32sin2)( （
41、1 1） 求求)(xf的最值。 （的最值。 （2 2）求）求)(xf的周期、单调性。的周期、单调性。 4 4、已知已知 A A、B B、C C 为为ABCABC 的三內角，向量的三內角，向量)3, 1(m ，)sin,(cosAAn ，且，且1nm ， （1 1） 求角求角 A A。 （。 （2 2）若）若3 sincos cossin21 22 BB BB ，求，求 tanCtanC 的值。的值。 3.1.3 3.1.3 二倍角的正弦、余弦和正切公式二倍角的正弦、余弦和正切公式 1 1、 sin2sinsincoscossin2sincos ； 22222 cos2cossin1 sinsi
42、n1 2sin ； 22222 cos2cossincos(1 cos)2cos1 2 tantan2tan tan2tan 1tantan1tan 注意：注意：2, 22 kk kz 2 2、已知、已知 5 sin2, 13 42 求求sin4 ,cos4 ,tan4的值的值 解：由解：由, 42 得得2 2 /28 26 又因为又因为 5 sin2, 13 2 2 512 cos21 sin 21 1313 于是于是 512120 sin42sin2 cos22 1313169 ； 2 2 5119 cos41 2sin 21 2 13169 ； 120 sin4120 169 tan4 119 cos4119 169 3 3、在、在ABCABC 中，中， 5 4 cosA，。BAB的值求)22tan(, 2tan 4 4、已知、已知 1 tan2, 3 求求tan的值的值 解：解： 2 2tan1 tan2 1tan3 ，由此得，由此得 2 tan6tan10 解得
