1、 1 实际问题与实际问题与二元一次方程组二元一次方程组（二（二） （基础基础）知识讲解知识讲解 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1熟悉行程、方案、数字等问题的解决方法； 2. 进一步研究用二元一次方程组解决实际问题 【要点梳理】【要点梳理】 要要点一、常见的一些等量关系点一、常见的一些等量关系（二（二） 1.1. 行程问题行程问题 速度时间=路程. 顺水速度=静水速度+水流速度. 逆水速度=静水速度-水流速度. 2 2存贷款问题存贷款问题 利息=本金利率期数. 本息和（本利和）本金利息本金本金 利率 期数本金 (1利率 期数) . 年利率月利率 12. 月利率年利率12 1
2、 . 3. .数字问题数字问题 已知各数位上的数字，写出两位数，三位数等这类问题一般设间接未知数，例如：若一个两位数 的个位数字为 a，十位数字为 b，则这个两位数可以表示为 10b+a 4 4方案问题方案问题 在解决问题时，常常需合理安排需要从几种方案中，选择最佳方案，如网络的使用、到不同旅行社 购票等，一般都要运用方程解答，得出最佳方案 要点诠释：要点诠释： 方案选择题的题目较长，有时方案不止一种，阅读时应抓住重点,比较几种方案得出最佳方案 要要点二点二、实际问题与二元一次方程组实际问题与二元一次方程组 1.1.列方程列方程组解应用题的基本思组解应用题的基本思路路 2.2.列二元一次方程组
3、解应用题的一般步骤列二元一次方程组解应用题的一般步骤 设：用两个字母表示问题中的两个未知数； 列：列出方程组（分析题意，找出两个等量关系，根据等量关系列出方程组） ； 解：解方程组，求出未知数的值； 验：检验求得的值是否正确和符合实际情形； 答：写出答案 要点诠释：要点诠释： （1）解实际应用问题必须写“答” ，而且在写答案前要根据应用题的实际意义，检查求得的结果是否 合理，不符合题意的解应该舍去； （2） “设” 、 “答”两步，都要写清单位名称； 2 （3）一般来说，设几个未知数就应该列出几个方程并组成方程组. 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、行程问题行程问题 1. A、B 两地
4、相距 480 千米，一列慢车从 A 地开出，一列快车从 B 地开出 (1)如果两车同时开出相向而行，那么 3 小时后相遇；如果两车同时开出同向(沿 BA 方向)而行，那 么快车 12 小时可追上慢车，求快车与慢车的速度； (2)如果慢车先开出 l 小时，两车相向而行，那么快车开出几小时可与慢车相遇? 【思路点拨】这两个问题均可以利用路程、速度和时间之间的关系列方程(组)求解 (1)“同时开出相向而行”可用下图表示 “同时开出同向而行”可用下图表示 (2)慢车先开出 1 小时，两车相向而行，仿照（1）用示意图表示出来，并用等式表示出来 【答案与解析】 解：(1)设快车和慢车的速度分别为 x 千米
5、/时和 y 千米/时 根据题意，得 33480 1212480 xy xy ， 解得 100 60 x y 答：快车和慢车的速度分别为 100 千米/时和 60 千米/时 (2)设快车开出 x 小时可与慢车相遇，则此时慢车开出(x+1)小时， 根据题意，得 60(x+1)+100 x480 解得 5 2 8 x 答：快车开出 5 2 8 小时两车相遇 【总结升华】比较复杂的行程问题可以通过画“线条”图帮助分析，求解时应分清相遇、追及、相向、 同向等关键词 【高清课堂：【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二实际问题与二元一次方程组（二）409144 例例 6】 举一反三：举一反三： 【变式】两
6、列火车从相距 810km 的两城同时出发，出发后 10h 相遇；若第一列火车比第二列火车先出 发 9h，则第二列火车出发 5h 后相遇，问这两列火车的速度分别是多少？ 【答案】 解：设这两列火车的速度分别为xkm/h，ykm/m 3 由题意得， 答：这两列火车的速度分别为 45 km/h 和 36 km/h 类型二类型二、存贷款问题存贷款问题 2. 蔬菜种植专业户徐先生要办一个小型蔬菜加工厂，分别向银行申请了甲，乙两种贷款，共 13 万元，王先生每年须付利息 6075 元，已知甲种贷款的年利率为 6%，乙种贷款的年利率为 3.5%，则甲，乙 两种贷款分别是多少元？ 【思路点拨】本题的等量关系：
7、甲种贷款+乙种贷款13 万元；甲种贷款的年利息+乙种贷款的年利息 6075 元. 【答案与解析】 解：设甲，乙两种贷款分别是 x，y 元，根据题意得： 130000 6%3.5%6075 xy xy 解得： 61000 69000 x y 答：甲，乙两种贷款分别是 61000 元和 69000 元 【总结升华】利息贷款金额利息率. 类型三类型三、数字问题数字问题 3.有一个两位数，个位上的数比十位上的数大 5，如果把这两个数的位置对换，那么所得的新数 与原数的和是 143，求这个两位数 【思路点拨】本题中的等量关系：个位上的数十位上的数5；原数+新数143 【答案与解析】 解：设原来的两位数中
8、，个位上的数字为 x，十位上的数字为 y则原数为 10y+x，把这两个数的位置 对换后，所得的新数为 10 x+y，根据题意，得： 5 1010143 xy yxxy ，解方程组，得 9 4 x y 故这个两位数为 10y+x104+949 答：这个两位数为 49 【总结升华】对于两位数、三位数的数字问题，关键是明确它们与各数位上的数字之间的关系：两位 数十位数字10+个位数字； 三位数百位数字100+十位数字10+个位数字 举一反三：举一反三： 【变式】一个两位数，个位数字和十位数字之和为 8，个位与十位互换后，所得的新数比原数小 18， 则这个两位数是 【答案】53 类型四类型四、方案选择
9、问题方案选择问题 10810 95810 xy xxy 45 36 x y 4 4.聪聪暑期在一家商场参加社会实践活动， 商场老板想要购进 A、 B 两种新型节能台灯共 50 盏， 只给了聪聪 2500 元进货款和一份价目表，这两种台灯的进价、标价如下表所示 类型 价格 A 型 B 型 进价（元/盏） 40 65 标价（元/盏） 60 10 0 (1)同学们，你知道聪聪购买了这两种台灯各多少盏吗? (2)在每种台灯销售利润不变的情况下，若老板要求：计划销售这批台灯的总利润达到 1405 元，问至 少需购进 B 型台灯多少盏? 【思路点拨】(1)两种灯的总数为 50，两种灯的进货款总和为 250
10、0 元，列出二元一次方程组，求出两 种灯的数量再利用 B 型灯的数量设参，根据两种灯的总利润达到 1405 元列方程，即可求出 B 型灯的数 量 【答案与解析】 解：(1)设 A 型台灯购进 x 盏，B 型台灯购进 y 盏 根据题意，得 50 40652500 xy xy ，解得： 30 20 x y (2)设购进 B 型台灯 m 盏，根据题意，得 35m+20(50-m)1405， 解得 m27 答：(1)A 型台灯购进 30 盏，B 型台灯购进 20 盏；(2)要使销售这批台灯的总利润达到 1405 元， 至少需购进 B 种台灯 27 盏 【总结升华】本例为直接设元，利用表格进行分析、判断
11、，这种方法值得学习和借鉴 【高清课堂：【高清课堂：实际问题与二元一次方程组（二实际问题与二元一次方程组（二）409144 例例 1】 举一反三：举一反三： 【变式】 某高校共有 5 个大餐厅和 2 个小餐厅， 经过测试同时开放 1 个大餐厅、 2 个小餐厅， 可供 1680 名学生就餐；同时开放 2 个大餐厅、1 个小餐厅，可供 2280 名学生就餐. （1）求 1 个大餐厅、1 个小餐厅分别可供多少名学生就餐； （2）若 7 个餐厅同时开放，能否供全校的 5300 名学生就餐？请说明理由. 【答案】 解：(1)设 1 个大餐厅可供x名学生就餐，1 个小餐厅可供 y 名学生就餐.则根据题意可得： 解得： 960 360 x y 答：1 个大餐厅可供 960 名学生就餐，1 个小餐厅可供 360 名学生就餐. 2 5 9602 36055205300 能供全校的 5300 名学生就餐. 21680 22280 xy xy
