1、 1 相交线，垂线相交线，垂线（基础基础）知识讲解）知识讲解 撰稿：孙景艳 审稿： 赵炜 【学习目标】【学习目标】 1.了解两直线相交所成的角的位置和大小关系，理解邻补角和对顶角概念，掌握对顶角的性质； 2.理解垂直作为两条直线相交的特殊情形，掌握垂直的定义及性质； 3.理解点到直线的距离的概念，并会度量点到直线的距离； 4.能依据对顶角、邻补角及垂直的概念与性质，进行简单的计算. 【要点梳理】【要点梳理】 知识点一、知识点一、邻补角与对顶角邻补角与对顶角 1邻补角邻补角：如果两个角有一条公共边，并且它们的另一边互为反向延长线，那么具有这种关系的两 个角叫做互为邻补角 要点诠释：要点诠释： (
2、1)邻补角的定义既包含了位置关系，又包含了数量关系： “邻”指的是位置相邻， “补”指的是两个 角的和为 180 (2)邻补角是成对出现的，而且是“互为”邻补角 (3)互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定互为邻补角 (4)邻补角满足的条件：有公共顶点；有一条公共边，另一边互为反向延长线. 2. 对顶角及性质对顶角及性质： （1）定义：）定义：由两条直线相交构成的四个角中，有公共顶点没有公共边(相对)的两个角，互为对顶角 （2）性质：）性质：对顶角相等 要点诠释：要点诠释： (1)由定义可知只有两条直线相交时，才能产生对顶角 (2)对顶角满足的条件：相等的两个角；有公共顶点且一角的两
3、边是另一角两边的反向延长线. 3. . 邻补角与对顶角对比邻补角与对顶角对比： 角的 名称 特 征 性 质 相 同 点 不 同 点 对顶 角 两条直线 相交形成的角； 有一个公 共顶点； 没有公共 边. 对 顶 角 相等. 都是两条直 线相交而成的角； 都有一个公 共顶点； 都是成对出 现的. 有无 公 共边； 两直 线 相交时， 对顶角 只有 2 对； 邻补 角有 4 对. 邻补 角 两条直线 相交而成； 有一个公 共顶点； 有一条公 共边. 邻 补 角 互补. 【高清课堂：高清课堂：相交线相交线 403101 两条直线垂直】两条直线垂直】 知识点二、知识点二、垂线垂线 1 1垂线的定义：垂
4、线的定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直，其 中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫垂足 2 要点诠释：要点诠释： (1)记法：直线a与b垂直，记作：ab； 直线 AB 和 CD 垂直于点 O，记作：ABCD 于点 O. (2) 垂直的定义具有二重性，既可以作垂直的判定，又可以作垂直的性质，即有： 90AOC 判定 性质 CDAB 2 2垂线的垂线的画法：画法：过一点画已知直线的垂线，可通过直角三角板来画，具体方法是使直角三角板的一 条直角边和已知直线重合，沿直线左右移动三角板，使另一条直角边经过已知点，沿此直角边画直线，则 所画直线就为已知直线的垂
5、线(如图所示) 要点诠释：要点诠释： (1)如果过一点画已知射线或线段的垂线时，指的是它所在直线的垂线，垂足可能在射线的反向延长 线上，也可能在线段的延长线上 (2)过直线外一点作已知直线的垂线，这点与垂足间的线段为垂线段 3 3垂线的垂线的性质：性质： （1）在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直 （2）连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短简单说成：垂线段最短 要点诠释：要点诠释： （1）性质（1）成立的前提是在“同一平面内” ， “有”表示存在， “只有”表示唯一， “有且只有”说 明了垂线的存在性和唯一性 （2）性质（2）是“连接直线外一点和直线上各点的所有线段
6、中，垂线段最短 ”实际上，连接直线 外一点和直线上各点的线段有无数条，但只有一条最短，即垂线段最短在实际问题中经常应用其“最短 性”解决问题 4 4点到直线的距离：点到直线的距离： 定义：定义：直线外一点到这条直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离 要点诠释：要点诠释： （1） 点到直线的距离是垂线段的长度，是一个数量，不能说垂线段是距离； （2）求点到直线的距离时，要从已知条件中找出垂线段或画出垂线段，然后计算或度量垂线段的长度 【典型例题】【典型例题】 类型一、类型一、邻补角与对顶角邻补角与对顶角 1如图所示，M、N 是直线 AB 上两点，12，问1 与2，3 与4 是对顶角吗? 1 与5
7、，3 与6 是邻补角吗？ 3 【答案与解析】 解：1 和2，3 和4 都不是对顶角1 与5，3 与6 也都不是邻补角 【总结升华】牢记两条直线相交，才能产生对顶角或邻补角 举一反三：举一反三： 【变式】判断正误： （1）如果两个角有公共顶点且没有公共边，那么这两个角是对顶角. （ ） （2）如果两个角相等，那么这两个角是对顶角.（ ） (3)有一条公共边的两个角是邻补角. （ ） (4)如果两个角是邻补角，那么它们一定互补. （ ） (5)有一条公共边和公共顶点，且互为补角的两个角是邻补角.（ ） 【答案】(1) （2） （3） （4） （5），反例：AOC 为 120，射线 OB 为 AOC
8、 的角平分线，AOB 与AOC 互补，且有边公共为 AO，公共顶点为 O，但它们不是邻补角. 2.如图所示，直线 AB、CD 相交于点 O，165，求2、3、4 的度数 【答案与解析】 解： 1 是2 的邻补角，165， 218065115 又 1 和3 是对顶角，2 与4 是对顶角 3165， 42115 【总结升华】 (1)两条直线相交所成的四个角中，只要已知其中一个角，就可以求出另外三角；(2) 求出2 后用 “对顶角相等” ，求3 和4 举一反三：举一反三： 【变式】如图所示，两直线相交，已知l 与2 的度数之比为 3:2，求1 与2 的度数 【答案】 解：设1 与2 的度数分别为 3
9、x 和 2x根据题意，得 3x+2x180 4 解这个方程得 x36，所以 3x108，2x72 答：这两个角的度数分别是 108，72 3. 任意画两条相交的直线， 在形成的四个角中， 两两相配共能组成几对角?各对角存在怎样的位 置关系？根据这种位置关系将它们分类 【答案与解析】 解：如图， 任意两条相交直线，两两相配共组成 6 对角，在这 6 对角中，它们的位置关系有两种：有公共顶点， 一边重合，另一边互为反向延长线； 有公共顶点，角的两边互为反向延长线 这 6 对角为1 与2，1 与3，1 与4，2 与3，2 与4，3 与4，其中13， 24，1+2180，3+4180，1+4180，2
10、+3180在位置上1 与3， 2 与4 是对顶角，1 与2，3 与4，l 与4，2 与3 是邻补角 【总结升华】两条相交的直线，两两相配共组成 6 对角，这 6 对角中有：4 对邻补角，2 对对顶角 类型二、类型二、垂线垂线 4下列语句中，正确的有 ( ) 一条直线的垂线只有一条； 在同一平面内，过直线上一点有且仅有一条直线与已知直线垂直； 两直线相交，则交点叫垂足； 互相垂直的两条直线形成的四个角一定都是直角 A0 个 B1 个 C2 个 D3 个 【答案】C 【解析】正确的是： 【总结升华】充分理解垂直的定义与性质. 举一反三：举一反三： 【变式 1】直线l外有一点 P，则点 P 到直线l
11、的距离是( ). A点 P 到直线l的垂线的长度. B点 P 到直线l的垂线段. C点 P 到直线l的垂线段的长度. D点 P 到直线l的垂线. 【答案】C 5. (山东济宁)如图所示，直线 AB、CD 相交于点 O，EOAB 于点 O， COE55则BOD 的度数为 ( ). 5 A40 B45 C30 D35 【答案】D 【解析】要求BOD，只要求出其对顶角AOC 的度数即可为此要寻找AOC 与COE 的数量关 系因为 EOAB，所以AOE90，所以AOCAOECOE905535，所以BOD AOC35 【总结升华】图形的定义既可以作为判定图形的依据，也可以作为该图形具备的性质. 【高清课
12、堂：高清课堂：相交线相交线 403101 经典例题经典例题 3 3】 举一反三：举一反三： 【变式】如图, 直线 AB 和 CD 交于 O 点, OD 平分BOF, OE CD 于点 O, AOC=40, 则EOF=_. 【答案】130 6. 如图所示，要把水渠中的水引到水池 C，在渠岸 AB 的什么地方开沟，才能使沟最短?画出图 来，并说明原因 【答案与解析】 解：如图，过点 C 作 CDAB，垂足为 D所以在点 D 沿 CD 开沟，才能使沟最短，原因是从直线外 一点到直线上所有各点的连线中，垂线段最短 【总结升华】 “如何开沟、使沟最短” ，实质上是如何过 C 点向 AB 引线段，使线段最短，这就是最 熟悉的垂线的性质的应用 举一反三：举一反三： 【变式】(1)用三角尺或量角器画已知直线l的垂线，这样的垂线能画出几条? (2)经过直线l上一点 A 画l的垂线，这样的垂线能画出几条? (3)经过直线l外一点 B 画l的垂线，这样的垂线能画出几条? 【答案】 解：(1)能画无数条；(2)能画一条；(3)能画一条
