1、 1 有理数的乘除有理数的乘除（基础基础） 撰稿：孙景艳 责编：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算； 4. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、有理数的乘法有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同 0 相乘，都得 0 要点诠释：要点诠释： (1) 不为 0 的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘 （2）当因数
2、中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)(-3)，不应该写 成-2-3 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数 有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0 要点诠释：要点诠释： （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数 (2)几个不等于 0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘 (3)几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0反之，如果积为 0，那么至少有一个因数为 0 3. 有理数的乘法
3、运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：abba （2） 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘， 或者先把后两个数相乘， 积相等 即： abc(ab)c a(bc) （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加即： a(b+c)ab+ac 要点诠释：要点诠释： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换 （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个 因数相乘 如 abcdd(ac)b 一个数同几个数的和相乘， 等于把这个数分别同这几个数相乘， 再把积相加 如 a(b+c+d)a
4、b+ac+ad （3）运用运算律的目的是“简化运算” ，有时，根据需要可以把运算律“顺用” ，也可以把运算律“逆 用” 要点二、要点二、有理数的有理数的除除法法 1.倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数 要点诠释：要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2 的倒数是 1 2 ，-2 和 1 2 是互相依存的； (2)0 和任何数相乘都不等于 1，因此 0 没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数) 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 1 (0)ab
5、ab b . 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 2 0. 要点诠释：要点诠释： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些 （2）因为 0 没有倒数，所以 0 不能当除数 （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值 要点三、要点三、有理数有理数的乘除混合运算的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最 后算出结果 要点四、要点四、有理数有理数的加减乘除混合运算的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照
6、“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算 括号里面的 【典型例题】【典型例题】 类型一类型一、有理数的乘法运算有理数的乘法运算 1计算： (1)(-5)(-4) (2) 11 31 35 (3) 5 50 6 【思路点拨】(1)、(2)、(3)均为两数相乘，直接运用乘法法则即可 【答案与解析】 解：(1)(-5)(-4) (两负数相乘) +(54) (同号得正，并把绝对值相乘) 20 (2) 11 31 35 （异号两数相乘） 11 31 35 （异号得负，并把绝对值相乘） 1 06 35 （化带分数为假分数便可约分） 4 (3) 5 500 6 (任何数同 0 相乘，都得 0) 【总结
7、升华】第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号，如(-4)(-025)可以写 成-4(-0.25)，但不能写成-4-0.25 2 (1) 54 ( 3)1( 0.25) 65 ； (2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20)； (3)(-5)(-8.1)3.140 【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘因数是小数的要化 为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分几个数相乘，有一个因数为零，积就为零 3 (1) 54 ( 3)1( 0.25) 65 5919 3 6548 ； (2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20) 19- ( 1)
8、 ( 1) ( 1)( 1)1 个（ 1）相乘 ； (3)(-5)(-8.1)3.1400 【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关当因数 中有一个数为 0 时，积为 0 3.运用简便方法计算： (1) 5 105( 12) 6 (2)(-0.25)0.5(-100)4 (3) 111 ( 5) 32 3( 6) 3 333 【思路点拨】 (1)根据题目特点，可以把 5 105 6 折成 5 105 6 ，再运用乘法分配律进行计算(2) 运用乘法结合律，把第 1、4 个因式结合在一起(3)逆用乘法分配律：ab+aca(b+c) 【答案与解析】 解：(1)
9、 5 105( 12) 6 5 105( 12) 6 5 105 1212 6 （分配律） 1260 101270 (2)(-0.25)0.5(-100)4 （-40.25）0.5(-100) （交换律） -1(-50)50（结合律） (3) 111 ( 5) 32 3( 6) 3 333 11 ( 5)2( 6) 393 33 （逆用乘法的分配律） 27 330 【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点适当运用“凑整法”进行交换和结合 举一反三：举一反三： 【变式 1】计算： 23572357 88 (- )+(-8) (- )+(-8) -24-24 (-)(-) 551215551
10、215 ； 【答案】原式= 23562356 -8-8 (+ )-10+(+ )-10+ 555555 = 5656 -8-10+-8-10+ 5 5 =-6.8； 【高清课堂：有高清课堂：有理数理数乘除乘除 381226 381226 多个有理数相乘例多个有理数相乘例 2 2】 【变式 2】 542 (1)()( 2.5) ( 4 ) 12253 ； 4 (2) ( 0.125) () 16 ( 7) 7 4 【答案】 （ 545147 (1)= 1225239 原式 4 (2)(0.125 8) 2 (7)8 7 原式 类型二、类型二、有理数的除法运算有理数的除法运算 4计算：(1)(-3
11、2)(-8) （2） 11 2( 1 ) 36 【答案与解析】 (1)(-32)(-8)+(328)= 4 用法则二进行计算 (2) 117776 212 363637 用法则一进行计算 【总结升华】(1)乘法、除法的符号法则是一致的，两数相乘除，同号得正，异号得负；(2)除法的两 个法则是一致的，应学会灵活选择 举一反三：举一反三： 【高清课堂：有理数【高清课堂：有理数乘除乘除 381226 有理数除法（法则）有理数除法（法则） 】 【变式】 计算： （1）1.25( 0.375) 【答案】原式 535810 ()() 48433 类型三：有理数的乘除混合运算类型三：有理数的乘除混合运算 5
12、.计算： 94 81( 16) 49 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算. 94441 81( 16)811 499916 【总结升华】在有理数的乘除运算中，可将除法运算转化为乘法运算乘除运算是同一级运算，应按 从左到右的顺序进行 举一反三：举一反三： 【变式 1】计算：(-9)(-4)(-2) 【答案】 (-9)(-4)(-2)-942 119 9 428 【变式 2】计算：(1) 144 10( 2) 893 (2) 3417 3 1755 【答案】 (1) 144 10( 2) 893 194181941243 10 8432843216 (2) 3417
13、 3 1755 5 35117 17435 351171 174354 类型四、有理数的加减乘除混合运算类型四、有理数的加减乘除混合运算 6. 计算（1） 11351 2641212 ； （2） 11135 1226412 【答案与解析】 （1） 11351 2641212 1135 ( 12) 26412 1135 ( 12)( 12)( 12)( 12) 26412 =6-2+9-5=8 （2）法 1：原式= 16295181121 ()() 121212121288 法 2：由（1）知： 11351 8 2641212 ，所以 162951 12128 【总结升华】除法没有分配律，在进行
14、有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的， 然后再进行除法运算，也可以仿照方法 2 利用倒数关系巧妙解决 举一反三：举一反三： 【变式】 753 18 1.45 63.95 6 9618 【答案】 原式 753 1818181.45 63.95 6 9618 (14 153)( 1.453.95) 6 22.5 617 类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题类型五：利用有理数的加减乘除，解决实际问题 7.气象统计资料表明，高度每增加 1000 米，气温就降低 6如果现在地面的气温是 27，那 么 8000 米的高空的气温大约是多少? 【思路点拨】解决此题的关键是明确高度变化与气温变化的关系由于“高度每增加 1000 米，气温 就降低 6” ，8000 米的高空比地面高度增加 8000 米，因此气温降低 6848，由此便可求出高空的气 温 【答案与解析】 解： 8000 276274821 1000 () 因此 8000 米的高空的气温大约是-21 6 【总结升华】本题是生活实际中的问题，关键是读懂题意，弄清各数量之间的关系，再列出正确的算 式
