1、 1 有理数的乘除有理数的乘除（提高提高） 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1会根据有理数的乘法法则进行乘法运算，并运用相关运算律进行简算； 2. 理解乘法与除法的逆运算关系，会进行有理数除法运算； 3. 巩固倒数的概念，能进行简单有理数的加、减、乘、除混合运算； 4. 培养观察、分析、归纳及运算能力. 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、有理数的乘法有理数的乘法 1.有理数的乘法法则： （1）两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对值相乘； （2）任何数同 0 相乘，都得 0 要点诠释：要点诠释： (1) 不为 0 的两数相乘，先确定符号，再把绝对值相乘 （2）当因数
2、中有负号时，必须用括号括起来，如-2 与-3 的乘积，应列为(-2)(-3)，不应该写 成-2-3 2. 有理数的乘法法则的推广： （1）几个不等于 0 的数相乘，积的符号由负因数的个数决定当负因数 有奇数个时，积为负；当负因数的个数有偶数个时，积为正； （2）几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0 要点诠释：要点诠释： （1）在有理数的乘法中，每一个乘数都叫做一个因数 (2)几个不等于 0 的有理数相乘，先根据负因数的个数确定积的符号，然后把各因数的绝对值相乘 (3)几个数相乘，如果有一个因数为 0，那么积就等于 0反之，如果积为 0，那么至少有一个因数为 0 3. 有理数的乘法
3、运算律： （1）乘法交换律：两个数相乘，交换因数的位置，积相等，即：abba （2） 乘法结合律：三个数相乘，先把前两个数相乘， 或者先把后两个数相乘， 积相等 即： abc(ab)c a(bc) （3）乘法分配律：一个数同两个数的和相乘，等于把这个数分别同这两个数相乘，再把积相加即： a(b+c)ab+ac 要点诠释：要点诠释： （1）在交换因数的位置时，要连同符号一起交换 （2）乘法运算律可推广为：三个以上的有理数相乘，可以任意交换因数的位置，或者把其中的几个 因数相乘 如 abcdd(ac)b 一个数同几个数的和相乘， 等于把这个数分别同这几个数相乘， 再把积相加 如 a(b+c+d)a
4、b+ac+ad （3）运用运算律的目的是“简化运算” ，有时，根据需要可以把运算律“顺用” ，也可以把运算律“逆 用” 要点二、要点二、有理数的有理数的除除法法 1.倒数的意义： 乘积是 1 的两个数互为倒数 要点诠释：要点诠释：(1)“互为倒数”的两个数是互相依存的.如-2 的倒数是 1 2 ，-2 和 1 2 是互相依存的； (2)0 和任何数相乘都不等于 1，因此 0 没有倒数； (3)倒数的结果必须化成最简形式，使分母中不含小数和分数； (4)互为倒数的两个数必定同号(同为正数或同为负数) 2. 有理数除法法则： 法则一：除以一个不等于 0 的数，等于乘这个数的倒数，即 1 (0)ab
5、ab b . 法则二：两数相除，同号得正，异号得负，并把绝对值相除0 除以任何一个不等于 0 的数，都得 0. 2 要点诠释：要点诠释： （1）一般在不能整除的情况下应用法则一，在能整除时应用法则二方便些 （2）因为 0 没有倒数，所以 0 不能当除数 （3）法则二与有理数乘法法则相似，两数相除时先确定商的符号，再确定商的绝对值 要点三、要点三、有理数有理数的乘除混合运算的乘除混合运算 由于乘除是同一级运算，应按从左往右的顺序计算，一般先将除法化成乘法，然后确定积的符号，最 后算出结果 要点四、要点四、有理数有理数的加减乘除混合运算的加减乘除混合运算 有理数的加减乘除混合运算，如无括号，则按照
6、“先乘除，后加减”的顺序进行，如有括号，则先算 括号里面的 【典型例题】【典型例题】 类型一、有理数的乘法运算类型一、有理数的乘法运算 1计算：(1) 54 ( 3)1( 0.25) 65 ； (2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20)； (3)(-5)(-8.1)3.140 【答案与解析】几个不等于零的数相乘，首先确定积的符号，然后把绝对值相乘因数是小数的要化 为分数，是带分数的通常化为假分数，以便能约分几个数相乘，有一个因数为零，积就为零 (1) 54 ( 3)1( 0.25) 65 5919 3 6548 ； (2)(1-2)(2-3)(3-4)(19-20) 19- ( 1)
7、( 1) ( 1)( 1)1 个（ 1）相乘 ； (3)(-5)(-8.1)3.1400 【总结升华】几个不等于零的数相乘，积的符号由负因数的个数确定，与正因数的个数无关当因数 中有一个数为 0 时，积为 0但注意第一个负因数可以不用括号，但是后面的负因子必须加括号. 2.运用简便方法计算： (1) 1 0.25 0.534 5 ； （2） 24511 27 188 39271717 【答案与解析】 根据题目特点， (1)可以先用乘法交换律把0.25与 4 相乘， 再运用乘法结合律将0.5与 1 3 5 相乘(2)计算 245 27 3927 的值可运用分配律，计算 11 188 1717 的
8、值则可逆用分配律 解：(1) 原式 161168 0.25 0.54(0.25 4) 5255 ； （2） 24511 27 188 39271717 24511 2727+27 188 39271717 11 18 125( 1+) 83 1717 3 【总结升华】首先要观察几个因数之间的关系和特点适当运用“凑整法”进行交换和结合 举一反三：举一反三： 【变式】用简便方法计算： (1) 2215 130.34( 13)0.34 3737 ； (2)3.14 35.26.28 ( 23.3) 1.57 36.4 【答案】 （1）原式 2125 ( 13)( 13)0.340.34 3377 2
9、125 ( 13)0.34 3377 ( 13) 1 0.34 ( 1)130.3413.34 (2)3.14 35.26.28 ( 23.3) 1.57 36.4 (-3.14)35.2+(-3.14)223.3+(-3.14)18.2 -3.14(35.2+46.6+18.2) -3.14100 -314 类型二、有理数的除法运算类型二、有理数的除法运算 3计算： 17 ( 49)2( 3) 33 【思路点拨】对于乘除混合运算，首先由负数的个数确定结果的符号，同时应将小数化成分数，带分 数化成假分数，算式化成连乘积的形式，再进行约分但要注意除法没有分配律 【答案与解析】 解： 17 ( 4
10、9)2( 3) 33 331 ( 49) 773 331 493 773 【总结升华】进行乘除混合运算时，往往先将除法转化为乘法，再确定积的符号，最后求出结果 举一反三：举一反三： 【高清课堂：有理数【高清课堂：有理数乘除乘除 3 381226 有理数除法例有理数除法例 1（3） 】 【变式】计算： 111 ( 3 )( 2 )( 1 ) 335 【答案】原式 103525 () () () 37621 类型三、有理数的类型三、有理数的乘除混合运算乘除混合运算 4.计算： 94 81( 16) 49 【答案与解析】在有理数的乘除运算中，应按从左到右的运算顺序进行运算. 4 94441 81(
11、16)811 499916 【总结升华】在有理数的乘除运算中，可先将除法运算转化为乘法运算乘除运算是同一级运算，再 应按从左到右的顺序进行 举一反三：举一反三： 【变式】计算： 144 10( 2) 893 【答案】 144 10( 2) 893 194181941243 10 8432843216 类型四、有理数的加减乘除混合运算类型四、有理数的加减乘除混合运算 5. 计算： 12112 3031065 【答案与解析】 方法 1： 12112 3031065 12035 121 303010 方法 2： 21121 3106530 2112 ( 30)10 31065 所以 121121 3
12、03106510 【总结升华】除法没有分配律，在进行有理数的除法运算时，若除数是和的形式，一般先算括号内的， 然后再进行除法运算，也可以仿照方法 2 利用倒数关系巧妙解决，如果按 a(b+c) ab+ac 进行分配 就错了 举一反三：举一反三： 【变式】 （1） 21121 31 0653 0 ； （2） 753 18 1.45 63.95 6 9618 【答案】 （1）原式= 2112 ( 30)2035 1210 31065 （2）原式 753 1818181.45 63.95 6 9618 (14 153)( 1.453.95) 6 22.5 617 类型五、含绝对值的化简类型五、含绝对
13、值的化简 6. 已知 a、b、c 为不等于零的有理数，你能求出 |abc abc 的值吗? 【思路点拨】先分别确定 a、b、c 的取值，再代入求值 5 【答案与解析】 解：分四种情况： (1)当 a、b、c 三个数都为正数时， | | 1 1 13 abcabc abcabc ； (2)当 a、b、c 三个数中有两个为正数，一个为负数时，不妨设 a 为负数，b、c 为正数， | 1 1 11 abcabc abcabc ； (3)当 a、b、c 三个数中有一个为正数，两个为负数时，不妨设 a 为正数，b、c 为负数， | 1 1 11 abcabc abcabc ； (4)当 a、b、c 三个
14、数都为负数时， | ( 1)( 1)( 1)3 abcabc abcabc 综上， |abc abc 的值为：3, 3,1, 1 【总结升华】在含有绝对值的式子中，当不知道绝对值里面的数的正负时，需分类讨论. 举一反三：举一反三： 【高清课堂：有理数【高清课堂：有理数乘除乘除 381226 有理数除法例有理数除法例 2】 【变式】计算 ab ab 的取值. 【答案】(1)当 a0、b0 时，1 12 ab ab 原式； (2)当 a0、b0 时，1 12 ab ab 原式； (3)当 a0，b0 时，1 10 ab ab 原式； (4)当 a0，b0 时，1 10 ab ab 原式 综上， ab ab 的值为：2, 2,0
