1、 1 整式的概念整式的概念 撰稿：孙景艳 审稿：赵炜 【学习目标】【学习目标】 1掌握单项式系数及次数的概念； 2. 理解多项式的次数及多项式的项、常数项及次数的概念； 3掌握整式的概念，会判断一个代数式是否为整式； 4. 能准确而熟练地列式子表示一些数量关系 【要点梳理】【要点梳理】 要点一、要点一、单项式单项式 1.单项式的概念：如 2 2xy， 1 3 mn，-1，它们都是数与字母的积，像这样的式子叫单项式，单独的 一个数或一个字母也是单项式 要点诠释：要点诠释： （1）单项式包括三种类型：数字与字母相乘或字母与字母相乘组成的式子；单独的一 个数；单独的一个字母 （2）单项式中不能含有加
2、减运算，但可以含有除法运算如： 2 st 可以写成 1 2 st。但若分母中含有字 母，如 5 m 就不是单项式，因为它无法写成数字与字母的乘积 2.单项式的系数：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数 要点诠释：要点诠释： （1）确定单项式的系数时，最好先将单项式写成数与字母的乘积的形式，再确定其系数； （2）圆周率 是常数单项式中出现 时，应看作系数； （3）当一个单项式的系数是 1 或-1 时， “1”通常省略不写； （4）单项式的系数是带分数时，通常写 成假分数，如： 2 1 1 4 x y写成 2 5 4 x y 3.单项式的次数：一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数
3、 要点诠释：要点诠释：单项式的次数是计算单项式中所有字母的指数和得到的，计算时要注意以下两点： （1）没有写指数的字母，实际上其指数是 1，计算时不能将其遗漏； （2）不能将数字的指数一同计算 要点二、要点二、多项式多项式 1.多项式的概念：几个单项式的和叫做多项式 要点诠释：要点诠释： “几个”是指两个或两个以上 2. 多项式的项：每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项 要点诠释：要点诠释： （1）多项式的每一项包括它前面的符号 （2）一个多项式含有几项，就叫几项式，如： 2 627xx是一个三项式 3. 多项式的次数：多项式里次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数 要点诠释：要点
4、诠释： （1）多项式的次数不是所有项的次数之和，而是多项式中次数最高的单项式的次数 （2）一个多项式中的最高次项有时不止一个，在确定最高次项时，都应写出 要点三、要点三、 整式整式 单项式与多项式统称为整式 要点诠释：要点诠释： （1）单项式、多项式、整式这三者之间的关系如图所示 即单项式、多项式必是整式，但反过来就不一定成立 （2）分母中含有字母的式子一定不是整式 【典型例题】【典型例题】 类型一、整式概念辨析类型一、整式概念辨析 2 1指出下列各式中哪些是单项式？哪些是多项式？哪些是整式？ 22 xy，x， 3 ab ，10，61xy ， 1 x ， 2 1 7 m n， 2 25xx，
5、2 2 xx ， 7 a 【答案与解析】单项式有：x，10， 2 1 7 m n， 7 a； 多项式有： 22 xy， 3 ab ，61xy ， 2 25xx； 整式有： 22 xy，x， 3 ab ，10，61xy ， 2 1 7 m n， 2 25xx， 7 a 【总结升华】 2 2 xx 不是整式，因为分母中含有字母； 2 1 2a a 也不是多项式，因为 1 a 不是单项 式 举一反三：举一反三： 【高清课堂：整式的概念【高清课堂：整式的概念 例例 1】 【变式】下列代数式： 32233 211 1;2;-2 32 axy abxx yx yy x ，其中是单 项式的是_，是多项式的是
6、_。 【答案】， 类型二、单项式类型二、单项式 2指出下列代数式中的单项式，并写出各单项式的系数和次数 2 3 4 a b ，a， 44 2 x， a mn ， 22 3 a y，a-3， 5 - 3 ， 82 -3 10 tm， 2 x y 【答案与解析】 2 3 4 a b ，a， 44 2 x， 22 3 a y， 5 - 3 ， 82 -3 10 tm， 2 x y是单项式，其中 2 3 4 a b 的系数是 3 4 ，次数是 3；a的系数是-1，次数是 1； 44 2 x的系数是 4 2，次数是 4； 22 3 a y的系数是3，次数是 4； 5 3 为非零常数，只有数字因式，系数是
7、它本身，次数为 0； 82 -3 10 tm的系数仍按科学记数法表示为-3108，次数是 3； 2 x y只含有字母因数，系数是 l，次数为字母指数之和为 3 【总结升华】 （1）要区分数字因数、字母因数； （2）不能见了指数就相加，如 44 2 x中， 4 2的指数 4 不能相加，次数为 4； （3）有分数线的，分子、分母的数字都是系数； （4）是常数，不能看作字母 举一反三：举一反三： 【变式 1】 （2011柳州）单项式 3x2y3的系数是 【答案】3 【变式 2】 （2009泰州）下列结论正确的是( ) 3 A没有加减运算的代数式叫做单项式 B单项式 2 3 7 xy 的系数是 3，次
8、数是 2 C单项式 m 既没有系数，也没有次数 D单项式 2 xy z的系数是-1，次数是 4 【答案】D 类型三、多项式类型三、多项式 3.多项式 242 42 1 53 x yx yx，这个多项式的最高次项是什么？一次项的系数是什么？常数 项是什么？这是几次几项式? 【答案与解析】 这个多项式中共有四项， 分别为： 242 42 ,1 53 x yx yx， 它们的次数分别为： 3,6,1,0； 其中 42 2 3 x y的次数是 6，是最高次项，一次项x的系数是-1，常数项是 1，它是六次四项式 【总结升华】确定多项式的次数时，分两步： （1）先求多项式中每一项的次数； （2）取这些次数
9、中的 最大的数即为多项式的次数 4. 已知多项式 3 23122 4 675 3 m x xyxyyx y (1)求多项式各项的系数和次数 (2)如果多项式是七次五项式，求 m 的值 【答案与解析】(1)依题意知此多项式是五项式，第一项 2 6xy的系数是-6，次数是 3；第二项 312 7 m xy 的系数是-7，次数是 3m+1；第三项 3 4 3 x y的系数是 4 3 ，次数是 4；第四项 2 x y系数是-l，次 数 3；第五项-5 系数是-5，次数是 0 (2)由多项式是七次五项式，可得 312 7 m xy 的次数是 7，即 3m-1+27，解得 m2 【总结升华】对于单项式 3
10、12 7 m xy 的次数为 3m+1，可能不太习惯，通过适量的练习，会对用字母表 示多项式的次数或系数有较深地认识 举一反三：举一反三： 【高清课堂：整式的概念【高清课堂：整式的概念 -练习题练习题-3】 【变式】多项式 3 4 b axxxb 是关于x的二次三项式，求 a 与 b 的差的相反数 【答案】 404 22 422. aa bb ab 解：由题意得 类型四、整式的应用类型四、整式的应用 4 5.用整式填空： (1)某商场将一种商品 A 按标价的 9 折出售(即优惠 10%)仍可获利 10%， 若商场商品 A 的标价为 a 元，那么该商品的进价为_元(列出式子即可，不用化简) (2
11、)甲商品的进价为 1400 元，若标价为 a 元，按标价的 9 折出售；乙商品的进价是 400 元，若标 价为 b 元，按标价的 8 折出售，列式表示两种商品的利润率分别为甲：_ 乙：_ 【答案】(1) 90% 10%1 a ；(2)甲商品的利润率为 90%1400 1400 a ，乙商品的利润率为： 80%400 400 b 【解析】本例属于实际生活问题，应分清“进价” 、 “标价” 、 “利润” 、 “利润率” 、 “打折”等问题，打 几折就是标价的十分之几 【总结升华】解答本例需弄清以下两个数量关系：(1)利润售价进价; (2)利润率 -售价 进价 进价 举一反三：举一反三： 【变式】有
12、 a 名男生和 b 名女生在社区做义工，他们为建花坛搬砖男生每人搬了 40 块，女生每人 搬了 30 块这 a 名男生和 b 名女生一共搬了 块砖（用含 ab 的代数式表示） 【答案】 （40a+30b） 6. (2010广东茂名)如图所示，用棋子摆出下列一组“口”字，按照这种方法摆下去，则摆第 n 个“口”字需用棋子 A4 n 枚 B(4n-4)枚 C(4n+4)枚 Dn2枚 【答案】 A 【解析】第一个“口”字用 4 枚棋子，第二个“口”字用 8 枚棋子，第三个“口”字用 12 枚棋子， 由 441，842，1243 依此类推第 n 个“口”字需用棋子 4n 【总结升华】找规律问题一般应经历四个阶级“特例引路” 、 “对比分析” 、 “总结规律” 、 “反思检验” 等
