1、第七章 复数 7.1 复数的概念复数的概念 7.1.2 复数的几何意义复数的几何意义 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1理解可以用复平面内的点或以原点 为起点的向量来表示复数及它们之间 的一一对应关系.(直观想象) 2掌握实轴、虚轴、模及共轭复数等 概念.(直观想象) 3掌握用向量的模来表示复数的模的 方法并能够解决与模有关的问
2、题.(直观 想象) 1类比向量的坐标表示理解复数 的几何意义及模的概念. 2类比向量的形式特征，感受复 数的形式特征. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 建立直角坐标系来表示复数的平面叫做_，x轴叫做 _，y轴叫做_.实轴上的点都表示_；除了原点外，虚 轴上的点都表示纯虚数. 复平面 知识点1 复平面 实轴 虚轴 实数 实轴 虚轴 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 复数的几何意义 知识点2 Z(a,b) 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 复数的模 知识点3 向量OZ
3、 的模称为复数 zabi 的模或绝对值，记作_或_. 即|z|abi|_，其中 a，bR.如果 b0，那么 zabi 是一 个实数 a，它的模就等于_(a 的绝对值). |z| |abi| |a| a2b2 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 共轭复数 知识点4 (1)定义：当两个复数的实部_，虚部_时，这两 个复数叫做互为共轭复数.虚部不等于0的两个共轭复数也叫做共轭虚数. (2)表示方法： 复数 z 的共轭复数用 z 表示， 即如果 zabi， 那么 z _. 相等 互为相反数 abi 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 要点解读 1复平面、实轴、虚轴与复数的对
4、应 (1)复平面内点的坐标与复数实部虚部的对应：点Z的横坐标是a，纵 坐标是b，复数zabi(a，bR)可用点Z(a，b)表示. (2)实轴与复数的对应：实轴上的点都表示实数. (3)虚轴与复数的对应：除了原点外，虚轴上的点都表示纯虚数，原 点对应的有序实数对为(0,0)，它所确定的复数是z00i0，表示的是 实数. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 2复数几何意义的两个注意点 (1)复数与复平面上的点：复数 zabi(a，bR)的对应点的坐标为 (a，b)而不是(a，bi). (2)复数与向量的对应：复数 zabi(a，bR)的对应向量是以原点 O 为起点的，否则就谈不上一一
5、对应，因为复平面上与OZ 相等的向量有 无数个. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 3对复数模的三点说明 (1)数学上所谓大小的定义是：在(实)数轴上右边的比左边的大，而 复数的表示要引入虚数轴，在平面上表示，所以也就不符合关于大和小 的定义，而且定义复数的大小也没有什么意义，所以我们说两个复数不 能比较大小. (2)数的角度理解：复数 abi(a，bR)的模|abi| a2b2，两个 虚数不能比较大小，但它们的模表示实数，可以比较大小. (3)几何角度理解： 表示复数的点 Z 到原点的距离.|z1z2|表示复数 z1， z2对应的点之间的距离. 返回导航 第七章 复数 数学（
6、必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 已知复数z(a24)(2a3)i，其中aR.当复数z在复平 面内对应的点Z满足以下条件时，求a的值(或取值范围). (1)Z在实轴上； (2)Z在第二象限； (3)Z在抛物线y24x上. 分析 根据复数与点的对应关系，得到复数的实部与虚部之间应 满足的条件，建立关于a的方程或不等式，即可求得实数a的值(或取值范 围) 题型探究题型探究 题型一题型一 复数与复平面内点的关系 典典例例 1 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 因为 z(a24)(2a3)i， 所以复数 z 在复
7、平面内对应的点 Z 的坐标为(a24,2a3). (1)若点 Z 在实轴上，则有 2a30，解得 a3 2. (2)若点Z在第二象限， 则有 a240， 即 2a3 2， 解得3 2a1 时，P 在第一象限；当 m2 3时，P 在第三象限，当 2 3m|z2|. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） (2)解法一：设 zabi(a、bR)， 则|z| a2b2， 代入方程得 abi a2b228i， a a2b22 b8 ， 解得 a15 b8 .z158i. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解法二：原式可化为 z2|z|8i， |z|R，2|z|是 z 的实部，
8、 于是|z| 2|z|282， 即|z|2684|z|z|2，|z|17 代入 z2|z|8i 得 z158i. 归纳提升 (1)复数的模是非负实数，因此复数的模可以比较大小. (2)根据复数模的计算公式|abi| a2b2可把复数模的问题转化为 实数问题解决. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 若复数 z2a1 a2 (a2a6)i 是实数，则 z1(a 1)(12a)i 的模为_. 解析 z 为实数，a2a60，a2 或 3 a2 时，z 无意义，a3，z125i，|z1| 29. 29 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 已知复数z满足|z|2
9、2|z|30，则复数z对应点的轨迹是 ( ) A1个圆 B线段 C2个点 D2个圆 错解 由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1，故选 D 错因分析 错解中忽视了“|z|”的几何意义导致错误. 正解 由题意可知(|z|3)(|z|1)0，即|z|3或|z|1 |z|0，|z|1应舍去，故应选A 易错警示易错警示 典典例例 4 混淆复数的模与实数的绝对值致误 A 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 点评 由复数模的定义和复数的几何意义知，|z|表示 z 在复平面内 的对应点到原点的距离 ，因此|z|0zi 时，z21，但|z|1，不要 作错误的迁移. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知复数 z122i， (1)求|z1|； (2)若|z|1，试求复数 z 和 z1所对应的两点间的距离的最大值. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)|z1| 22222 2. (2)由于|z|1， 故复数 z 所对应的点的轨迹是以原点为圆心，以 1 为半径的圆，而 z1所对应的点为 Z1(2，2)，则所求距离的最大值可以看成点(2，2)到 圆心的距离再加 1由图可知，最大值为 2 21
