1、第八章 立体几何初步 8.2 立体图形的直观图立体图形的直观图 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1用斜二测画法画水平放置的平面图形 的直观图.(直观想象) 2用斜二测画法画常见的柱、锥、台以 及简单组合体的直观图.(直观想象) 3掌握直观图与原图、直观图与三视图 的关系.(数据分析)(直观想象) 1结合初中所学的
2、平行投影 方法，把握图形投影的规则. 2结合常见平面图形感受其 直观图并体会斜二测的含义. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤 知识点1 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (1)画底面，这时使用平面图形的斜二测画法即可. (2)画z轴，z轴过点O，且与x轴的夹角为90，并画出高线 (与原图高线相等，画正棱柱时只需要画侧棱即可)，连线成图. (3)擦去辅助线，被遮线用虚线表示. 用斜二测画法画空间几何体的直观图的步
3、骤 知识点2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 画几何体的直观图时，与画平面图形的直观图相比，只是多画一个 与x轴、y轴都垂直的z轴，并且使平行于z轴的线段的_和 _都不变. 几何体直观图的画法规则 知识点3 平行性 长度 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1对斜二测画法中“斜”“二测”的解读 “斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中 均与x轴成45或135； “二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x轴或z轴 的线段长度不变；平行于y轴的线段长度变为原来的一半. 斜二测画法画图的关键是在原图中找到决定图形位
4、置与形状的点， 并在直观图中画出. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2在直观图中“变”的量与“不变”量 (1)平面图形用其直观图表示时，一般说来，平行关系不变； (2)点的共线性不变，线的共点性不变，但角的大小有变化(特别是 垂直关系有变化)； (3)有些线段的度量关系也发生变化.因此图形的形状发生变化. 斜二测画法的位置特征与度量特征简记为：横不变、纵折半，平行 位置不改变. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 画正五边形的直观图. 分析 (1)如何建立直
5、角坐标系. (2)确定不在坐标轴上的点. (3)建立坐标系xOy后，B、E两点不在坐标轴上或平行于坐标轴的直 线上，故需作BGx轴于G，EHx轴于H. 题型探究题型探究 题型一题型一 水平放置的平面图形直观图的画法 典典例例 1 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)以正五边形的中心为原点O，建立如图(1)所示的直角坐 标系xOy，再建立如图(2)所示的坐标系xOy，使xOy 45； 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)在图(1)中作 BGx 轴于 G，EHx 轴于 H，在坐标系 xOy 中作 OHOH，OGOG，OA1 2OA，OF
6、 1 2OF，过 F作 CDx轴使 CDCD 且 F为 CD的中点. (3)在平面 xOy中，过 G作 GBy轴，且 GB1 2 BG， 过 H作 HEy轴， 且 HE1 2HE， 连接 AB， BC、 CD、DE、EA，得五边形 ABCDE为正五边形 ABCDE 的平面直观图. (4)擦去坐标轴得直观图五边形 ABCDE. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 画平面图形的直观图的关键点 画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置. 顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或与轴平行的线段上；另一类是 不在轴上且不在与轴平行的线段上，遇到这类顶点一般通
7、过过此点作与 轴平行的线段，将其转化到与轴平行的线段上来确定. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 画边长为1 cm的正三角形的水平放置的直观图. 解析 (1)如图所示，以BC边所在直线为x轴，以BC边上的高线 AO所在直线为y轴，再画对应的x轴与y轴，两轴相交于点O，使 xOy45. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)在 x轴上截取 OBOC0.5 cm，在 y轴上截取 OA1 2AO 3 4 cm，连接 AB、AC，则ABC即为正 三角形 ABC 的直观图. (3)擦去坐标轴得直观图ABC. 返回导航 第八章 立体几何初步
8、数学（必修第二册RJA） 用斜二测画法画出六棱锥PABCDEF的直观图，其中底 面ABCDEF是正六边形，点P在底面的投影是正六边形的中心O(尺寸自 定). 题型二题型二 几何体的直观图画法 典典例例 2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 画法：(1)画六棱锥PABCDEF的底面. 在正六边形ABCDEF中，取AD所在直线为x轴，对称轴MN所在直 线为y轴，两轴相交于O(如图1所示)，画相应的x轴和y轴、z轴， 三轴交于O，使xOy45，xOz90(如图2所示). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 在图 2 中，以 O为中点，在 x轴上取
9、ADAD，在 y轴 上取 MN1 2MN，以点 N为中点画 BC平行于 x轴，并且等 于 BC；再以 M为中点画 EF平行于 x轴，并且等于 EF. 连接 AB、CD、DE、FA得到正六边形 ABCDEF 水平放置的直观图 ABCDEF. (2)画六棱锥 PABCDEF 的顶点， 在 Oz轴上截取 OPOP. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (3)成图.连接PA、PB、PC、PD、PE、 PF，并擦去x轴、y轴、z轴，便得到六棱锥PABCDEF的直 观图PABCDEF(图3). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 简单几何体直观图的画法
10、规则： (1)画轴：通常以高所在直线为z轴建系. (2)画底面：根据平面图形的直观图画法确定底面. (3)确定顶点：利用与z轴平行或在z轴上的线段确定有关顶点. (4)连线成图. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 用斜二测画法画长、宽、高分别是4 cm、3 cm、2 cm的长方体ABCDABCD的直观图. 解析 (1)画轴.如图所示，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O， 使xOy45，xOz90. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)画底面.以点 O 为中点，在 x 轴上取线段 MN，使 MN4 cm；在 y 轴上取线段 PQ，
11、使 PQ3 2 cm.分别过点 M 和点 N 作 y 轴的平行线，过 点 P 和 Q 作 x 轴的平行线，设它们的交点分别为 A、B、C、D，四边形 ABCD 就是长方体的底面 ABCD. (3)画侧棱，过 A、B、C、D 各点分别作 z 轴的平行线，并在这些平 行线上分别截取 2 cm 长的线段 AA、BB、CC、DD. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (4)成图.顺次连接A、B、C、D，并加以整理(擦掉辅助线， 将被遮挡的线改为虚线)，就得到长方体的直观图(如图). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 直观图的还原与计算 典典例
12、例 3 (1)已知ABC 是正三角形， 且它的边长为 a， 那么ABC 的平面直观图ABC的面积为 ( ) A 3 4 a2 B 3 8 a2 C 6 8 a2 D 6 16 a2 D 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)如图，矩形OABC是水平放置的一个平面图形的直观 图，其中OA6，OC3，BCx轴，则原平面图形的面 积为_. 分析 利用斜二测画法的规则将直观图复原. 36 2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)如图，建立如图所示的平面直角坐标系 xOy. 如图，建立坐标系 xOy，使xOy45 ，由直观图 画法知：ABABa
13、，OC1 2OC 3 4 a，过 C作 CD Ox于 D，则 CD 2 2 OC 6 8 a.所以ABC的面积 是 S1 2 AB CD 1 2 a 6 8 a 6 16 a2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)在直观图中，设 BC与 y轴的交点为 D，则易得 OD 3 2，所以原平面图形为一边长为 6，高为 6 2的平行四边形，所以其 面积为 66 236 2. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 由于斜二测画法中平行于 x 轴的线段的长度在直观图 中长度不变，而平行于 y 轴的线段在直观图中长度要减半，同时要倾斜 45 ，因此平
14、面多边形的直观图中的计算需注意两点. (1)直观图中任何一点距 x轴的距离都为原图形中相应点距 x 轴距 离的1 2sin45 2 4 倍. (2)S 直观图 2 4 S 原图. 由直观图计算原图形中的量时，注意上述两个结论的转换. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (2019 河南省郑州市检测)水平放置的正方形 ABCO如图所示，在平面直角坐标系xOy中，点B的坐标为(4,4)，则由斜 二测画法画出的该正方形的直观图中，顶点B到x轴的距离为_. 2 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 由斜二测画法画出的直观图如图所示， 作 B
15、Ex轴于点 E，在 RtBEC中，BC2，BCE45 ，所以 BE BCsin45 2 2 2 2. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如图所示，ABC水 平 放 置 的 直 观 图 为 ABC ， BAC30，ACB 90，请用作图法画出原ABC，并量 出ABC的各内角，BAC是否等于 BAC的2倍？BCA是否等于 BCA？ 易错警示易错警示 典典例例 4 对斜二测画法理解不透，导致判断错误. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 错解 BAC2BAC，BCABCA 错因分析 错误的原因是对斜二测画法理解不透，在用斜二测画 法画直观图时，角的度数一
16、般会发生变化，但这种变化并不是角的度数 减小了一半，它的变化与角的两边的位置有关. 正解 如图所示，画出直角坐标系xOy，以点A为原点.在直观图 中过C作CDOy轴，交AB于D，在Ox轴上截取AB AB，ADAD.过D作DCOy轴，使DC2DC，连接AC， BC ， 则 ABC 为 原 三 角 形 . 用 量 角 器 量 出 BAC ， 可 以 得 出 BAC60，所以BAC2BAC，BCABCA. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 水平放置的ABC，有一边在水平线上，用斜二 测画法作出的直观图是正三角形ABC，则ABC是 ( ) A锐角三角形 B直角三角形 C钝角三角形 D任意三角形 解析 将ABC还原，由斜二测画法知，ABC为钝角三 角形. C
