1、5.1导数的概念及其意义导数的概念及其意义&5.2导数的运算导数的运算 目目 录录 基础基础在批注中理解透在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 考点考点在细解中明规律在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 课时跟踪检测课时跟踪检测 基础基础在批注中理解透 单纯识记无意义，深刻理解提能力单纯识记无意义，深刻理解提能力 1导数的概念导数的概念 (1)函数函数 yf(x)在在 xx0处的导数： 函数处的导数： 函数 yf(x)在在 xx0处的瞬处的瞬 时变化率时变化率lim x0 y x lim x0 f x0 x f x
2、0 x 为函数 为函数 yf(x)在在 xx0处的导数，记作处的导数，记作 f(x0)或或 yxx0，即，即 f(x0)lim x0 y x lim x0 f x0 x f x0 x . 函数函数yf(x)的导数的导数f(x)反映了函数反映了函数f(x)的瞬时变化趋势，其的瞬时变化趋势，其 正负号反映了变化的方向，其大小正负号反映了变化的方向，其大小|f(x)|反映了变化的快反映了变化的快 慢，慢，|f(x)|越大，曲线在这点处的切线越越大，曲线在这点处的切线越“陡陡” (2)导数的几何意义：函数导数的几何意义：函数f(x)在在xx0处的导数处的导数f(x0)的几何的几何 意义是在曲线意义是在
3、曲线yf(x)上点上点P(x0，y0) 处的切线的斜率 处的切线的斜率(瞬时瞬时 速度就是位移函数速度就是位移函数s(t)对时间对时间t的导数的导数)相应地，切线方程相应地，切线方程 为为yy0f(x0)(xx0) 曲线曲线yf x 在点在点P x0，y0 处的切线是指处的切线是指P为切点，为切点， 斜率为斜率为kf x0 的切线，是唯一的一条切线的切线，是唯一的一条切线. (3)函数函数f(x)的导函数：称函数的导函数：称函数f(x)lim x 0 f xx f x x 为为f(x) 的导函数的导函数 (4)f(x)是一个函数，是一个函数，f(x0)是函数是函数f(x)在在x0处的函数值处的
4、函数值(常常 数数)，f(x0)0. 2基本初等函数的导数公式基本初等函数的导数公式 原函数原函数 导函数导函数 f(x)xn(nQ*) f(x)n xn 1 f(x)sin x f(x)cos x f(x)cos x f(x)sin x f(x)ax(a0，且，且a1) f(x)axln a f(x)ex f(x)ex f(x)logax(a0，且且a1) f(x) 1 xln a f(x)ln x f(x)1 x 3.导数的运算法则导数的运算法则 (1)f(x) g(x)f(x) g(x)； (2)f(x) g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)； (3) f x g x f x g x
5、 f x g x g x 2 (g(x)0) 4复合函数的导数复合函数的导数 复合函数复合函数yf(g(x)的导数和函数的导数和函数yf(u)，ug(x)的导数间的导数间 的关系为的关系为yxyu ux，即，即y对对x的导数等于的导数等于y对对u的导数与的导数与 u对对x的导数的乘积的导数的乘积 熟记常用结论熟记常用结论 1奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函 数的导数还是周期函数数的导数还是周期函数 2熟记以下结论：熟记以下结论：(1) 1 x 1 x2； ；(2)(ln|x|)1 x； ； (3) 1 f x f x f x
6、2(f(x) 0)； (4)af(x) bg(x)af(x) bg(x) 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“”) (1)f(x0)是导函数是导函数 f(x)在在 xx0处的函数值处的函数值 ( ) (2)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点 ( ) (3)因为因为(ln x)1 x，所以 ，所以 1 x ln x ( ) 二、选填题二、选填题 1下列求导运算正确的是下列求导运算正确的是 ( ) A. x1 x 1 1 x2 B (log2x) 1 xln 2 C(3x)3xlog3e D(x2cos x)2
7、sin x 解析：解析： x1 x x 1 x 1 1 x2 ；(3x)3xln 3； x2cos x (x2)cos xx2(cos x)2xcos xx2sin x故故 选选B. B 2如图所示为函数如图所示为函数yf(x)，yg(x)的导函数的图象，那么的导函数的图象，那么y f(x)，yg(x)的图象可能是的图象可能是 ( ) D 解析：解析：由由yf(x)的图象知，的图象知，yf(x)在在(0，)上单调递上单调递 减，说明函数减，说明函数yf(x)的切线的斜率在的切线的斜率在(0，)上也单调递上也单调递 减，故可排除减，故可排除A、C. 又由图象知又由图象知yf(x)与与yg(x)的
8、图象在的图象在xx0处相交，说明处相交，说明 yf(x)与与yg(x)的图象在的图象在xx0处的切线的斜率相同，故可排处的切线的斜率相同，故可排 除除B.故选故选D. 3 已知直线 已知直线 ykx1 与曲线与曲线 yx3mxn 相切于点相切于点 A(1,3)， 则则 n ( ) A1 B1 C3 D4 解析：解析：对于对于 yx3mxn，求导得，求导得 y3x2m，所以，所以 k 3m，又，又 k13,1mn3，可解得，可解得 n3. 4若若f(x)x ex，则，则f(1)_. 解析：解析：f(x)exxex，f(1)2e. 2e C 5曲线曲线y1 2 x2在点 在点(1，1)处的切线方程
9、为处的切线方程为 _ 解析：解析：y 2 x2 2， ，y|x 12. 故所求切线方程为故所求切线方程为2xy10. 2xy10 考点考点在细解中明规律 题目千变总有根，梳干理枝究其本题目千变总有根，梳干理枝究其本 考点一考点一 导数的运算导数的运算基础自学过关基础自学过关 题组练透题组练透 1f(x)x(2 018ln x)，若，若f(x0)2 019，则，则x0等于等于 ( ) Ae2 B1 Cln 2 De 解析解析：f(x)2 018ln xx1 x 2 019ln x，故由，故由f(x0) 2 019，得，得2 019ln x02 019，则，则ln x00，解得，解得x01. B
10、2(2019 宜昌联考宜昌联考)已知已知f(x)是函数是函数f(x)的导数，的导数，f(x)f(1) 2x x2，则，则f(2) ( ) A.12 8ln 2 12ln 2 B. 2 12ln 2 C. 4 12ln 2 D2 解析：解析：因为因为f(x)f(1) 2xln 22x，所以，所以f(1)f(1) 2ln 22，解得，解得f(1) 2 12ln 2，所以 ，所以f(x) 2 12ln 2 2 xln 2 2x，所以，所以f(2) 2 12ln 2 22ln 222 4 12ln 2. C 3若函数若函数f(x)ax4bx2c满足满足f(1)2，则，则f(1) _. 解析：解析：f(
11、x)4ax32bx， f(x)为奇函数且为奇函数且f(1)2， f(1)2. 2 4求下列函数的导数求下列函数的导数 (1)yx2sin x； (2)yln x1 x； ； 解解：(1)y(x2)sin xx2(sin x)2xsin xx2cos x. (2)y ln x1 x (ln x) 1 x 1 x 1 x2. (3)ycos x ex ； (4)yxsin 2x 2 cos 2x 2 . 解解：(3)y cos x ex cos x excos x ex ex 2 sin x cos x ex . (4)yxsin 2x 2 cos 2x 2 1 2xsin(4x )1 2xsin
12、 4x， ， y1 2sin 4x 1 2x 4cos 4x 1 2sin 4x 2xcos 4x. 名师微点名师微点 常见形式及具体求导常见形式及具体求导 6 种方法种方法 复合函数复合函数 对数形式对数形式 根式形式根式形式 分式形式分式形式 三角形式三角形式 连乘形式连乘形式 先确定复合关系先确定复合关系，由外向内逐层求导由外向内逐层求导，必要必要 时可换元时可换元 先化为和先化为和、差形式差形式，再求导再求导 先化为分数指数幂的形式先化为分数指数幂的形式，再求导再求导 先化为整式函数或较为简单的分式函数先化为整式函数或较为简单的分式函数，再再 求导求导 先利用三角函数公式转化为和或差的
13、形式先利用三角函数公式转化为和或差的形式， 再求导再求导 先展开化为多项式形式先展开化为多项式形式，再求导再求导 考点二考点二 导数的几何意义及其应用导数的几何意义及其应用全析考法过关全析考法过关 考法全析考法全析 考法考法(一一) 求切线方程求切线方程 例例1 (2018 全国卷全国卷)设函数设函数f(x)x3(a1) x2ax，若，若 f(x)为奇函数，则曲线为奇函数，则曲线yf(x)在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为 ( ) Ay2x Byx Cy2x Dyx D 解析解析 法一：法一：f(x)x3(a1)x2ax， f(x)3x22(a1)xa. 又又f(x)为奇函数，为奇
14、函数，f(x)f(x)恒成立，恒成立， 即即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，恒成立， a1，f(x)3x21，f(0)1， 曲线曲线yf(x)在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为yx. 法二：法二：f(x)x3(a1)x2ax为奇函数，为奇函数， f(x)3x22(a1)xa为偶函数，为偶函数， a1，即，即f(x)3x21，f(0)1， 曲线曲线yf(x)在点在点(0,0)处的切线方程为处的切线方程为yx. 考法考法(二二) 求切点坐标求切点坐标 例例2 已知函数已知函数f(x)xln x在点在点P(x0，f(x0)处的切线与直处的切线与直 线线xy0垂直，则切点垂
15、直，则切点P(x0，f(x0)的坐标为的坐标为_ 解析解析 f(x)xln x，f(x)ln x1，由题意得，由题意得 f(x0) (1)1，即，即f(x0)1，ln x011，ln x00， x01，f(x0)0，即，即P(1,0) (1,0) 考法考法(三三) 由曲线的切线由曲线的切线(斜率斜率)求参数的值求参数的值(范围范围) 例例 3 (1)(2018 商丘二模商丘二模)设曲线设曲线 f(x)exx(e 为自然为自然 对数的底数对数的底数)上任意一点处的切线为上任意一点处的切线为 l1，总存在曲线，总存在曲线 g(x)3ax 2cos x 上某点处的切线上某点处的切线 l2，使得，使得
16、 l1l2，则实数，则实数 a 的取值范的取值范 围是围是_ 1 3， ，2 3 解析解析 由由 f(x)exx，得，得 f(x)ex1， ex11， 1 ex1 (0,1) 由 由 g(x)3ax2cos x， 得， 得 g(x) 3a2sin x，又，又2sin x2,2，3a2sin x23a， 23a要使过曲线要使过曲线 f(x)exx 上任意一点的切线上任意一点的切线 l1，总存，总存 在过曲线在过曲线 g(x)3ax2cos x 上某点处的切线上某点处的切线 l2，使得，使得 l1l2， 则则 23a0， 23a1， 解得解得1 3 a2 3. (2)(2018 全国卷全国卷)曲线
17、曲线y(ax1)ex在点在点(0,1)处的切线的处的切线的 斜率为斜率为2，则，则a_. 解析解析 y(axa1)ex， 当当x0时，时，ya1， a12，解得，解得a3. 3 例例4 已知曲线已知曲线f(x)x3ax1 4在 在x0处的切线与曲线处的切线与曲线 g(x)ln x相切，则相切，则a的值为的值为_ 解析解析 由由 f(x)x3ax1 4，得 ，得 f(x)3x2a. f(0)a，f(0)1 4， ， 曲线曲线 yf(x)在在 x0 处的切线方程为处的切线方程为 y1 4 ax. 设直线设直线 y1 4 ax 与曲线与曲线 g(x)ln x 相切于点相切于点(x0， ， ln x0
18、)， g(x)1 x， ， ln x01 4 ax0， a 1 x0， ， 将将代入代入得得 ln x03 4， ，x0e 3 4 ，a 1 e 3 4 e 3 4 . 考法考法(四四) 两曲线的公切线问题两曲线的公切线问题 e 3 4 规律探求规律探求 看看 个个 性性 考法考法(一一)是求曲线的切线方程，曲线是求曲线的切线方程，曲线yf(x)在点在点P(x0，f(x0)处处 的切线方程是的切线方程是yf(x0)f(x0)(xx0)；求过某点；求过某点M(x1，y1)的切的切 线方程时，需设出切点线方程时，需设出切点A(x0，f(x0)，则切线方程为，则切线方程为yf(x0) f(x0)(x
19、x0)，再把点，再把点M(x1，y1)代入切线方程，求代入切线方程，求x0. 考法考法(二二)是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导是求切点坐标，其思路是先求函数的导数，然后让导 数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标数值等于切线的斜率，从而得出切线方程或求出切点坐标 考法考法(三三)是由切线求参数的值是由切线求参数的值(范围范围)，其关键是列出函数的，其关键是列出函数的 导数等于切线斜率的方程导数等于切线斜率的方程 考法考法(四四)是曲线的公切线问题解决此类问题通常有两种方法：是曲线的公切线问题解决此类问题通常有两种方法： 一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，
20、列出关系一是利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系 式求解；二是设公切线式求解；二是设公切线l在在yf(x)上的切点上的切点P1(x1，f(x1)，在，在yg(x) 上的切点上的切点P2(x2，g(x2)，则，则f(x1)g(x2)f x 1 g x2 x1x2 找找 共共 性性 1.解题口诀归纳解题口诀归纳 切线问题抓切点，斜率导数本相关；切线问题抓切点，斜率导数本相关； 曲线方程和切线，利用切点方程建曲线方程和切线，利用切点方程建. 2.求曲线的切线注意点求曲线的切线注意点 (1)“过点过点A的曲线的切线方程的曲线的切线方程”与与“在点在点A处的切线方处的切线方 程程”是不相
21、同的，后者是不相同的，后者A必为切点，前者未必是切点；必为切点，前者未必是切点； (2)曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的曲线在某点处的切线若有则只有一条，曲线过某点的 切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个切线往往不止一条；切线与曲线的公共点不一定只有一个 过关训练过关训练 1口诀第口诀第1、2句句曲线曲线y x1 x1 在点在点(0，1)处的切线与两坐处的切线与两坐 标轴围成的封闭图形的面积为标轴围成的封闭图形的面积为 ( ) A.1 8 B.1 4 C.1 2 D1 解析：解析：因为因为 y 2 x1 2，所以 ，所以 y|x 02，所以曲线在点，所以曲线在点(0
22、， 1)处的切线方程为处的切线方程为 y12x，即，即 y2x1，与两坐标轴的，与两坐标轴的 交点坐标分别为交点坐标分别为(0，1)， 1 2， ，0 ，所以与两坐标轴围成的三，所以与两坐标轴围成的三 角形的面积角形的面积 S1 2 |1|1 2 1 4. B 2口诀第口诀第3、4句句已知直线已知直线2xy10与曲线与曲线yaexx相相 切切(其中其中e为自然对数的底数为自然对数的底数)，则实数，则实数a的值为的值为_ 解析：解析：由题意知由题意知yaex12，则，则a0，xln a，代入，代入 曲线方程得曲线方程得y1ln a，所以切线方程为，所以切线方程为y(1ln a)2(x ln a)，即，即y2xln a12x1a1. 1 3口诀第口诀第3、4句句若一直线与曲线若一直线与曲线yln x和曲线和曲线x2ay(a0) 相切于同一点相切于同一点P，则，则a的值为的值为_ 解析：解析：设切点设切点P(x0，y0)，则由，则由yln x，得，得y1 x， ， 由由x2ay，得，得y2 ax，则有 ，则有 1 x0 2 ax0， ， y0ln x0， x2 0 ay0， 解得解得a2e. 2e
