1、导数的简单应用导数的简单应用 导数在研究函数中的应用导数在研究函数中的应用 1函数的单调性与导数的关系函数的单调性与导数的关系 在在(a，b)内可导函数内可导函数f(x)，f(x)在在(a，b)任意子区间内都不恒任意子区间内都不恒 等于等于0.f(x)0f(x)在在(a，b)上为增函数上为增函数f(x)0f x 在在 (a，b)上为减函数上为减函数 (1)f(x)0(0)是是f(x)在区间在区间(a，b)内单调递增内单调递增(减减)的充分不必的充分不必 要条件要条件 (2)f(x)0(0)是是f(x)在区间在区间(a，b)内单调递增内单调递增(减减)的必要不充的必要不充 分条件分条件 (3)由
2、由f(x)在区间在区间(a，b)内单调递增内单调递增(减减)可得可得f(x)0(0)在该区在该区 间内恒成立，而不是间内恒成立，而不是f(x)0(0)恒成立恒成立，“”不能少不能少，必必 要时还需对要时还需对“”进行检验进行检验. 2函数的极值函数的极值 (1)函数的极小值：函数的极小值： 函数函数yf(x)在点在点xa的函数值的函数值f(a)比它在点比它在点xa附近其他点附近其他点 的函数值都小，的函数值都小， f a 0 ；而且在点；而且在点xa附近的左侧附近的左侧f(x) 0，右侧，右侧f(x)0，则点，则点a叫做函数叫做函数yf x 的极小值点的极小值点 ，f(a) 叫做函数叫做函数y
3、f(x)的极小值的极小值 f(x0)0是是x0为为f(x)的极值的极值 点的必要不充分条件例点的必要不充分条件例 如，如，f(x)x3，f(0)0， 但但x0不是极值点不是极值点 (1)极值点不是点，若函数极值点不是点，若函数f(x)在在x1处取得极大值，则处取得极大值，则x1 为极大值点，极大值为为极大值点，极大值为f(x1)；在；在x2处取得极小值，则处取得极小值，则x2 为极小值点，极小值为为极小值点，极小值为f(x2)极大值与极小值之间无极大值与极小值之间无 确定的大小关系确定的大小关系 (2)极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是极值一定在区间内部取得，有极值的函数一定不是 单
4、调函数单调函数. (2)函数的极大值：函数的极大值： 函数函数yf(x)在点在点xb的函数值的函数值f(b)比它在点比它在点xb附近的其附近的其 他点的函数值都大，他点的函数值都大，f(b)0；而且在点；而且在点xb附近的左侧附近的左侧 f(x)0，右侧，右侧f(x)0，则点，则点b叫做函数叫做函数yf(x)的极大的极大 值点，值点，f(b)叫做函数叫做函数yf(x)的极大值的极大值 极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称极小值点、极大值点统称为极值点，极大值和极小值统称 为极值为极值 3函数的最值函数的最值 (1)在闭区间在闭区间a，b上连续的函数上连续的函数f(x)在在a，b上
5、必有最大值与上必有最大值与 最小值最小值 (2)若函数若函数f(x)在在a，b上单调递增，则上单调递增，则f(a)为函数的最小值，为函数的最小值， f(b)为函数的最大值；若函数为函数的最大值；若函数f(x)在在a，b上单调递减，则上单调递减，则 f(a)为函数的最大值，为函数的最大值，f(b)为函数的最小值为函数的最小值 (3)开区间上的单调连续函数无最值开区间上的单调连续函数无最值 熟记常用结论熟记常用结论 (1)若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并若所求函数的单调区间不止一个，这些区间之间不能用并 集集“”及及“或或”连接，只能用连接，只能用“，”“”“和和”字隔开字隔开
6、(2)若函数若函数f(x)在开区间在开区间(a，b)内只有一个极值点，则相应的极内只有一个极值点，则相应的极 值一定是函数的最值值一定是函数的最值 (3)极值只能在定义域内取得极值只能在定义域内取得(不包括端点不包括端点)，最值却可以在端，最值却可以在端 点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极点处取得，有极值的不一定有最值，有最值的也未必有极 值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在值；极值有可能成为最值，非常数可导函数最值只要不在 端点处取，则必定在极值处取端点处取，则必定在极值处取 小题查验基础小题查验基础 一、判断题一、判断题(对的打对的打“”，错的打，错的打“”“
7、”) (1)若函数若函数f(x)在在(a，b)内单调递增，那么一定有内单调递增，那么一定有f(x)0. ( ) (2)如果函数如果函数f(x)在某个区间内恒有在某个区间内恒有f(x)0，则，则f(x)在此区间在此区间 内没有单调性内没有单调性 ( ) (3)函数的极大值不一定比极小值大函数的极大值不一定比极小值大 ( ) (4)对可导函数对可导函数f(x)，f(x0)0是是x0点为极值点的充要条件点为极值点的充要条件 ( ) 二、选填题二、选填题 1函数函数f(x)cos xx在在(0，)上的单调性是上的单调性是 ( ) A先增后减先增后减 B先减后增先减后增 C增函数增函数 D减函数减函数
8、解析：解析：f(x)sin x10， f(x)在在(0，)上是减函数上是减函数 D 2函数函数f(x)(x3)ex的单调递增区间是的单调递增区间是 ( ) A(，2) B(0,3) C(1,4) D(2，) 解析：解析：函数函数f(x)(x3)ex的导函数为的导函数为f(x)(x3)ex ex(x3)ex(x2)ex.由函数导数与函数单调性的关系，由函数导数与函数单调性的关系， 得当得当f(x)0时，函数时，函数f(x)单调递增，此时由不等式单调递增，此时由不等式f(x) (x2)ex0，解得，解得x2. D 3已知函数已知函数 yf(x)的导函数的导函数 yf(x)的图象如图所示，则函的图象
9、如图所示，则函 数数 yf(x)在区间在区间(a，b)内的极小值点的个数为内的极小值点的个数为 ( ) A1 B2 C3 D4 解析：解析：如图，在区间如图，在区间(a，b)内，内，f(c)0，且在，且在xc附近的附近的 左侧左侧f(x)0，右侧，右侧f(x)0，所以在区间，所以在区间(a，b)内只有内只有1 个极小值点，故选个极小值点，故选A. A 4函数函数f(x)2x32x2在区间在区间1,2上的最大值是上的最大值是_ 解析：解析：f(x)6x24x，令，令f(x)0，得，得x0或或x2 3. f(1)4，f(0)0，f 2 3 8 27， ，f(2)8， 函数函数f(x)2x32x2在
10、区间在区间1,2上的最大值是上的最大值是8. 8 5已知已知f(x)x3ax在在1，)上是增函数，则上是增函数，则a的最大值是的最大值是 _ 解析：解析：f(x)3x2a，由题意知，由题意知f(x)0在在1，)上恒成上恒成 立，即立，即a3x2在在1，)上恒成立，又上恒成立，又x1，)时，时， 3x23，a3，即，即a的最大值是的最大值是3. 3 第一课时第一课时 导数与函数的单调性导数与函数的单调性 考点一考点一 求函数的单调区间求函数的单调区间基础自学过关基础自学过关 题组练透题组练透 1已知函数已知函数f(x)xln x，则，则f(x) ( ) A在在(0，)上单调递增上单调递增 B在在
11、(0，)上单调递减上单调递减 C在在 0，1 e 上单调递增上单调递增 D在在 0，1 e 上单调递减上单调递减 解析：解析：因为函数因为函数f(x)xln x的定义域为的定义域为(0，)， 所以所以f(x)ln x1(x0)，当，当f(x)0时，解得时，解得x1 e， ， 即函数即函数f(x)的单调递增区间为的单调递增区间为 1 e， ， ； 当当f(x)0时，解得时，解得0 x1 e， ， 即函数即函数f(x)的单调递减区间为的单调递减区间为 0，1 e ，故选，故选D. D 2若幂函数若幂函数f(x)的图象过点的图象过点 2 2 ，1 2 ，则函数，则函数g(x)exf(x)的单的单 调
12、递减区间为调递减区间为_ 解析：解析：设幂函数设幂函数f(x)xa，因为图象过点，因为图象过点 2 2 ，1 2 ， 所以所以1 2 2 2 a， ，a2， 所以所以f(x)x2，故，故g(x)exx2， 则则g(x)exx22exxex(x22x)， 令令g(x)0，得，得2x0， 故函数故函数g(x)的单调的单调递减区间为递减区间为(2,0) (2,0) 3(2018 开封调研开封调研)已知定义在区间已知定义在区间(，)上的函数上的函数f(x) xsin xcos x，则，则f(x)的单调递增区间是的单调递增区间是_ 解析解析：f(x)sin xxcos xsin xxcos x. 令令f
13、(x)xcos x0(x(，)， 解得解得x 2或 或0 x 2， ， 即函数即函数f(x)的单的单调递增区间是调递增区间是 ， 2 和和 0， 2 . ， 2 和和 0， 2 名师微点名师微点 利用导数求函数单调区间的利用导数求函数单调区间的3种方法种方法 (1)当导函数不等式可解时，解不等式当导函数不等式可解时，解不等式f(x)0或或f(x)0 求出单调区间求出单调区间 (2)当方程当方程f(x)0可解时，解出方程的实根，按实根把函可解时，解出方程的实根，按实根把函 数的定义域划分成若干个区间，确定各区间数的定义域划分成若干个区间，确定各区间f(x)的符号，从的符号，从 而确定单调区间而确
14、定单调区间 (3)若导函数的方程、不等式都不可解，根据若导函数的方程、不等式都不可解，根据f(x)的结构特的结构特 征，利用其图象与性质确定征，利用其图象与性质确定f(x)的符号，从而确定单调区间的符号，从而确定单调区间 考点二考点二 判断含参函数的单调性判断含参函数的单调性师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (2018 全国卷全国卷节选节选)已知函数已知函数f(x) 1 x xaln x，讨论，讨论f(x)的的 单调性单调性 解解 f(x)的定义域为的定义域为(0，)， f(x) 1 x2 1a x x 2 ax1 x2 . 当当a2时，则时，则f(x)0， 当且仅当当且仅当a2，x
15、1时，时，f(x)0， 所以所以f(x)在在(0，)上单调递减上单调递减 当当a2时，令时，令f(x)0，得，得xa a24 2 或或xa a24 2 . 当当x 0，a a24 2 a a24 2 ， 时，时，f(x)0； 当当x a a24 2 ，a a24 2 时，时，f(x)0. 所以所以f(x)在在 0，a a24 2 ， a a24 2 ， 上单调递减，上单调递减， 在在 a a24 2 ，a a24 2 上单调递增上单调递增 综合综合可知，当可知，当a2时，时，f(x)在在(0，)上单调递减；当上单调递减；当a 2时，时，f(x)在在 0，a a24 2 ， a a24 2 ，
16、上单调递上单调递 减，在减，在 a a24 2 ，a a24 2 上单调递增上单调递增 解题技法解题技法 含参函数单调性的求法含参函数单调性的求法 此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以此类问题中，导数的解析式通过化简变形后，通常可以 转化为一个二次函数的含参问题对于二次三项式含参问转化为一个二次函数的含参问题对于二次三项式含参问 题，有如下处理思路：题，有如下处理思路： (1)首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别首先考虑二次三项式是否存在零点，这里涉及对判别 式式0和和0分类讨论，即分类讨论，即“有无实根判别式，两种情形需有无实根判别式，两种情形需 知晓知晓” (2)如果
17、二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑如果二次三项式能因式分解，这表明存在零点，逻辑 分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数如果首分类有两种情况，需要考虑首项系数是否含有参数如果首 项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论；项系数有参数，就按首项系数为零、为正、为负进行讨论； 如果首项系数无参数，只需讨论两个根如果首项系数无参数，只需讨论两个根x1，x2的大小，即的大小，即 “首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根首项系数含参数，先论系数零正负；首项系数无参数，根 的大小定胜负的大小定胜负” (3)注意：讨论两个根注意：讨论两个根x1，x2的大小时，一定要结合函
18、数的大小时，一定要结合函数 定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即定义域进行讨论，考虑两根是否在定义域中，即“定义域，定义域， 紧跟踪，两根是否在其中紧跟踪，两根是否在其中” 口诀记忆口诀记忆 导数取零把根找，先定有无后大小；导数取零把根找，先定有无后大小； 有无实根判别式，两种情形需知晓有无实根判别式，两种情形需知晓. 因式分解见两根，逻辑分类有区分；因式分解见两根，逻辑分类有区分； 首项系数含参数，先论系数零正负首项系数含参数，先论系数零正负. 首项系数无参数，根的大小定胜负；首项系数无参数，根的大小定胜负； 定义域，紧跟踪，两根是否在其中定义域，紧跟踪，两根是否在其中. 过关训练过关
19、训练 解：解：g(x)1 x 2axb(x0) 由函数由函数g(x)的图象在点的图象在点(1，g(1)处的切线平行于处的切线平行于x轴，轴， 得得g(1)12ab0，所以，所以b2a1. 已知函数已知函数 g(x)ln xax2bx， 其中， 其中 g(x)的函数图象在点的函数图象在点(1， g(1) 处的切线平行于处的切线平行于 x 轴轴 (1)确定确定 a 与与 b 的关系；的关系； (2)若若a0，试讨论函数，试讨论函数g(x)的单调性的单调性 解：解：由由(1)得得g(x)2ax 2 2a1 x1 x 2ax 1 x1 x . 因为函数因为函数g(x)的定义域为的定义域为(0，)， 所
20、以当所以当a0时，时，g(x)x 1 x . 由由g(x)0，得，得0 x1，由，由g(x)0，得，得x1， 即函数即函数g(x)在在(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1，)上单调递减上单调递减 当当a0时，令时，令g(x)0，得，得x1或或x 1 2a， ， 若若 1 2a 1，即，即a 1 2 ，由，由g(x)0，得，得x1或或0 x 1 2a ，由，由 g(x)0，得，得 1 2a x1， 即即函数函数g(x)在在 0， 1 2a ，(1，)上单调递增，在上单调递增，在 1 2a， ，1 上单上单 调递减；调递减； 若若 1 2a 1，即，即0a1 2，由 ，由g(x)0，得，得x
21、 1 2a或 或0 x1， 由由g(x)0，得，得1x 1 2a， ， 即函数即函数g(x)在在(0,1)， 1 2a， ， 上单调递增，在上单调递增，在 1， 1 2a 上单调上单调 递减；递减；若若 1 2a 1，即，即a1 2，在 ，在(0，)上恒有上恒有g(x)0， 即函数即函数g(x)在在(0，)上单调递增上单调递增 综上可得，当综上可得，当a0时，函数时，函数g(x)在在(0,1)上单调递增，在上单调递增，在(1，) 上单调递减；上单调递减； 当当0a 1 2 时，函数时，函数g(x)在在(0,1)， 1 2a， ，上单调递增，在上单调递增，在 1， 1 2a 上单调递减；上单调递
22、减； 当当a1 2时，函数 时，函数g(x)在在(0，)上单调递增；上单调递增； 当当a1 2时，函数 时，函数g(x)在在 0， 1 2a ，(1，)上单调递增，上单调递增， 在在 1 2a， ，1 上单调递减上单调递减 考点三考点三 根据函数的单调性求参数根据函数的单调性求参数师生共研过关师生共研过关 典例精析典例精析 (1)若函数若函数f(x)x1 3sin 2x asin x在在(，)单调递增，单调递增， 则则a的取值范围是的取值范围是_ 解析解析 函数函数f(x)x1 3sin 2x asin x在在(，)单调递增单调递增，等等 价于价于f(x)1 2 3 cos 2xacos x
23、4 3 cos2xacos x 5 3 0在在( ，)恒成立恒成立设设cos xt，则则g(t) 4 3 t2at 5 3 0在在 1,1恒成立恒成立，所以所以 g 1 4 3 a5 3 0， g 1 4 3 a5 3 0， 解得解得1 3 a1 3. 1 3， ，1 3 (2)若函数若函数h(x)ln x 1 2 ax22x(a0)在在1,4上单调递减，上单调递减， 则则a的取值范围为的取值范围为_ 解析解析因为因为h(x)在在1,4上单调递减上单调递减， 所以当所以当x1,4时时，h(x)1 x ax20恒成立恒成立， 即即a 1 x2 2 x恒成立 恒成立 由由(1)知知G(x) 1 x
24、2 2 x， ，所以所以aG(x)max，而而G(x) 1 x 1 2 1， 因为因为x1,4，所以所以1 x 1 4， ，1 ，所以所以G(x)max 7 16(此时 此时x4)， 所以所以a 7 16 ，又因为又因为a0，所以所以a的取值范围是的取值范围是 7 16， ，0 (0，) 7 16， ，0 (0，) 变式发散变式发散 1(变条件变条件)若本例若本例(2)条件变为条件变为“函数函数h(x)在在1,4上单调递增上单调递增”， 则则a的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：因为因为h(x)在在1,4上单调递增，所以当上单调递增，所以当x1,4时，时， h(x)0恒成立，即恒成立，即a
25、 1 x2 2 x恒成立， 恒成立， 又因为当又因为当 x1,4时，时， 1 x2 2 x min 1(此时此时x1)， 所以所以a1，即，即a的取值范围是的取值范围是(，1 (，1 2(变条件变条件)若本例若本例(2)条件变为条件变为“函数函数h(x)在在1,4上存在单调上存在单调 递减区间递减区间”，则，则a的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：因为因为h(x)在在1,4上存在单调递减区间，上存在单调递减区间， 所以所以h(x)0在在1,4上有解，上有解， 所以当所以当x1,4时，时，a 1 x2 2 x有解， 有解， 而当而当x1,4时，时， 1 x2 2 x min 1(此时此时x1
26、)， 所以所以a1，又因为，又因为a0， 所以所以a的取的取值范围是值范围是(1,0)(0，) (1,0)(0，) 3(变条件变条件)若本例若本例(2)条件变为条件变为“函数函数h(x)在在1,4上不单调上不单调”， 则则a的取值范围为的取值范围为_ 解析：解析：因为因为h(x)在在1,4上不单调，上不单调， 所以所以h(x)0在在(1,4)上有解，即上有解，即a 1 x2 2 x 1 x 1 2 1在在 (1,4)上有解，上有解， 令令m(x) 1 x2 2 x， ，x(1,4)，则，则1m(x) 7 16. 所以实数所以实数a的取值范围是的取值范围是 1， 7 16 . 1， 7 16 解
27、题技法解题技法 由函数的单调性求参数的取值范围的方法由函数的单调性求参数的取值范围的方法 (1)可导函数在区间可导函数在区间(a，b)上单调，实际上就是在该区间上单调，实际上就是在该区间 上上f(x)0(或或f(x)0)恒成立，得到关于参数的不等式，从恒成立，得到关于参数的不等式，从 而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围而转化为求函数的最值问题，求出参数的取值范围 (2)可导函数在区间可导函数在区间(a，b)上存在单调区间，实际上就是上存在单调区间，实际上就是 f(x)0(或或f(x)0)在该区间上存在解集，从而转化为不等在该区间上存在解集，从而转化为不等 式问题，求出参数的取值范围式
28、问题，求出参数的取值范围 (3)若已知若已知f(x)在区间在区间I上的单调性，区间上的单调性，区间I上含有参数时，上含有参数时， 可先求出可先求出f(x)的单调区间，令的单调区间，令I是其单调区间的子集，从而求是其单调区间的子集，从而求 出参数的取值范围出参数的取值范围 过关训练过关训练 1(2019 渭南质检渭南质检)已知函数已知函数f(x)ax3bx2的图象经过点的图象经过点 M(1,4)，曲线在点，曲线在点M处的切线恰好与直线处的切线恰好与直线x9y0垂直垂直 若函数若函数f(x)在区间在区间m，m1上单调递增，则上单调递增，则m的取值范围的取值范围 是是_ (，30，) 解析：解析：f
29、(x)ax3bx2的图象经过点的图象经过点M(1,4)， ab4， f(x)3ax22bx，则，则f(1)3a2b. 由题意可得由题意可得f(1) 1 9 1，即，即3a2b9. 联立联立两式解得两式解得a1，b3， f(x)x33x2，f(x)3x26x. 令令f(x)3x26x0，得，得x0或或x2. 函数函数f(x)在区间在区间m，m1上单调递增，上单调递增， m，m1(，20，)， m0或或m12，即，即m0或或m3. 2已知函数已知函数f(x) 3x a 2x2ln x(a0)，若函数，若函数f(x)在在1,2上上 为单调函数，则为单调函数，则a的取值范围是的取值范围是_ 解析：解析：f(x)3 a 4x1 x，若函数 ，若函数f(x)在在1,2上为单调函数，上为单调函数， 即即f(x)3 a 4x1 x 0或或f(x)3 a 4x1 x 0在在1,2上恒成立，上恒成立， 即即3 a 4x1 x或 或3 a 4x1 x在 在1,2上恒成立上恒成立 令令h(x)4x1 x， ，则则h(x)在在1,2上单调递增，上单调递增， 所以所以3 a h(2)或或3 a h(1)，即即3 a 15 2 或或3 a 3，又，又a0， 所以所以0a2 5或 或a1. 0，2 5 1，)
