1、第八章 立体几何初步 8.6 空间直线、平面的垂直空间直线、平面的垂直 8.6.1 直线与直线垂直直线与直线垂直 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1掌握线线垂直的定义，了解常 见线线垂直的形式.(数学抽象) 2会求异面直线所成的角.(数学运 算) 对比平面中线线位置关系，利用基本 模型认识异面直线间的垂直关系及其
2、 所成的角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线 aa，bb，我们把直线_与_所成的角叫做异面直线a 与b所成的角(或夹角). (2)空间两条直线所成角的取值范围：_. 异面直线所成的角 知识点1 a b 090 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 如果两条异面直线所成的角是_，那么我们就说这两条异面 直线互相垂直.直线a与直线b互相垂直，记作_. 空间两直线垂直 知识点2 直角 ab 返回导航 第
3、八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 知识解读 对异面直线所成的角的认识理解的注意点 (1)任意性与无关性：在定义中，空间一点O是任取的，根据等角定 理，可以断定异面直线所成的角与a，b所成的锐角(或直角)相等， 而与点O的位置无关. (2)转化求角：异面直线所成的角是刻画两条异面直线相对位置的一 个重要的量，通过转化为相交直线所成的角，将空间角转化为平面角来 计算. (3)两条直线垂直是指相交垂直或异面垂直. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 题型探究题型探究 题型一题型
4、一 异面直线所成的角 典典例例 1 如图 1，P 是平面 ABC 外的一点，PA4，BC2 5，D， E 分别为 PC，AB 的中点，且 DE3则异面直线 PA 与 BC 所成的角的 大小为_. 90 分析 平移PA，BC至 一个三角形中 找出PA和BC 所成的角 求出 此角 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 如图 2，取 AC 的中点 F，连接 DF，EF，在PAC 中，D 是 PC 的中点，F 是 AC 的中点，DFPA. 同理可得 EFBC. DFE 为异面直线 PA 与 BC 所成的角(或其补角). 在DEF 中，DE3，又 DF1 2PA2，EF 1 2
5、BC 5， DE2DF2EF2， DFE90 ，即异面直线 PA 与 BC 所成的角为 90 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 求两异面直线所成的角的三个步骤 (1)作：根据所成角的定义，用平移法作出异面直线所成的角； (2)证：证明作出的角就是要求的角； (3)计算：求角的值，常利用解三角形得出. 可用“一作二证三计算”来概括.同时注意异面直线所成角的范围是 090. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 在长方体 ABCDA1B1C1D1中，ABBC1，AA1 3，则异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 ( )
6、A1 5 B 5 6 C 5 5 D 2 2 C 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 如图，连接 BD1交 DB1于 O，取 AB 的中点 M，连接 DM， OM. 易知 O 为 BD1的中点，所以 AD1OM，则MOD 或其补角为异面 直线 AD1与 DB1所成角. 因为在长方体 ABCDA1B1C1D1中， ABBC1，AA1 3， AD1 AD2DD2 12， DMAD2 1 2AB 2 5 2 ， DB1 AB2AD2DD2 1 5， 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 所以 OM1 2AD11 OD1 2DB1 5 2 . 于是在DM
7、O 中，由余弦定理，得 cosMOD 12 5 2 2 5 2 2 21 5 2 5 5 ， 即异面直线 AD1与 DB1所成角的余弦值为 5 5 . 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 在 直 三 棱 柱 ABC A1B1C1中 ， AC BC ， 求 证 ： ACBC1 题型二题型二 直线与直线垂直的证明 典典例例 2 证明 如图，连接 A1B，设 A1C1a，B1C1b，AA1h，因为三棱 柱 ABCA1B1C1是直三棱柱， 所以BB1C1A1AB90 ， 所以 BC2 1b 2h2，AB2a2b2， A1B2a2b2h2， 所以 A1B2A1C2 1BC 2 1，
8、 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 则A1C1BC1，即A1C1B90. 又因为ACA1C1，所以A1C1B就是直线AC与BC1所成的角， 所以ACBC1 归纳提升 (1)要证明两异面直线垂直，可根据两条异面直线垂直 的定义，证明这两条异面直线所成的角为90. (2)在证明两条异面直线垂直时，和求两条异面直线所成的角类似， 一般也是通过平移法找到与之平行的直线. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对 点练习 】 如图，正 方体 ABCD A1B1C1D1， 求证： ACB1D. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 证明 如
9、图，连接BD，交AC于O，设BB1的中点为E， 连接OE，则OEDB1， 所以OE与AC所成的角即为DB1与AC所成的角. 连接AE，CE，易证AECE， 又O是AC的中点，所以ACOE，所以ACB1D. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2020 湖南省永州市期末)如图1，已知空间四边形ABCD 中，ADBC，M，N分别为AB，CD的中点，且直线BC与MN所成的角 为30，求BC与AD所成的角. 易错警示易错警示 典典例例 3 忽略异面直线所成的角的范围致误 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 错解 如图2，连接BD，并取其中点E，连接 EN，
10、EM，则ENBC，MEAD，故ENM(或其补 角)为BC与MN所成的角，MEN(或其补角)为BC与 AD所成的角.由ADBC，知MEEN，EMN ENM30，MEN1803030 120，即BC与AD所成的角为120. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 错因分析 解本题时易忽略异面直线所成的角的范围是 090，从而由MEN120直接得出BC与AD所成的角为120 这一错解.事实上，在未判断出MEN是锐角、直角还是钝角之前，不能 断定它就是两条异面直线所成的角，如果MEN为钝角，那么它的补角 才是异面直线所成的角. 正解 以上解答同错解； 异面直角所成角(0,90， BC与AD所成的角为60. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 误区警示 求异面直线所成的角的时候，要注意它的取值范围是 090. 两条异面直线所成的角转化为一个三角形的内角时，容易忽略这个 三角形的内角可能等于两条异面直线所成的角，也可能等于其补角. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 若AOB135，直线aOA，a与OB为异面直 线，则a和OB所成的角的大小为_. 45
