1、第六章 平面向量及其应用 6.1 平面向量的概念平面向量的概念 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1理解向量的有关概念及向 量的几何表示.(直观想象) 2理解共线向量、相等向量 的概念.(数学抽象) 3正确区分向量平行与直线 平行.(逻辑推理) 4能够利用向量知识解决实 际问题，培养数学建模能力.( 数学建
2、模) 1向量是一个既有大小又有方向的量，学 习时可以结合物理中的矢量来学习，同时 对比数量来感受要素的差异. 2向量可以用有向线段来表示，因而必然 具备有向线段的三要素：起点、方向、长 度.学习向量的有关概念时注意类比有向线 段，通过对特殊向量的认识，逐步把握向 量的特征. 3相等向量与共线向量之间有一些特殊关 系，要善于对比数量特征加深认识. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 1向量的概念 (1)向量：既有_又有_的量叫做向量. (2)数量：只有大小没有_的量称为数量.
3、向量的基本概念与表示 知识点1 大小 方向 方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 2有向线段 (1)有向线段：具有_的线段叫做有向线段. (2)表示方法：以 A 为起点，B 为终点的有向线段记作_. (3)有向线段AB 的长度：线段 AB 的长度也叫做有向线段AB 的长度， 记作_. (4)有向线段的三要素：_、_、_. 方向 起点 方向 长度 AB AB 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 3向量的表示方法 几何表示 用_来表示向量，有向线段的长度表示向量的 _，有向线段的方向表示向量的_.即用有向线段 的起点、终点字母表示，如AB ，
4、 字母表示 用小写字母 a，b，c，表示 有向线段 大小 方向 知识解读 用小写字母表示向量，手写时必须加箭头，如：a，b， c.书写用 a ， b ， c . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 4向量的相关概念 向量的模 向量AB 的大小称为向量AB 的长度(或模)，记作_ 零向量 长度为 0 的向量叫做零向量，记作_ 单位向量 长度等于_的向量，叫做单位向量 0 1个单位长度 |AB | 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 1平行向量：方向_的非零向量叫做平行向量，向量 a与b平行，记作_；规定：零向量与任意向量_，即对任意 向量a，都
5、有_. 2相等向量：长度_且方向_的向量叫做相等向量， 记作ab. 3共线向量：平行向量也叫做共线向量. 相等向量与共线向量 知识点2 相同或相反 ab 平行 0a 相等 相同 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1理解平行向量的概念时，需注意，平行向量和平 行直线是有区别的，平行直线不包括重合的情况，而平行向量是可以重 合的. 2共线向量就是平行向量，其中“共线”的含义不是平面几何中 “共线”的含义.实际上，共线向量(平行向量)有以下四种情况：方向相 同且模相等；方向相同且模不等；方向相反且模相等；方向相反且模不 等.这样，也就找到了共线向量与相等向量的关
6、系，即共线向量不一定是 相等向量，而相等向量一定是共线向量.共线向量是相等向量的必要条 件. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型探究题型探究 题型一题型一 向量的有关概念 典典例例 1 给出下列命题： 时间、摩擦力、重力都是向量； 两个向量，当且仅当它们的起点相同，终点相同时才相等； 若平面上所有单位向量的起点移到同一个点，则其终点在同一个 圆上； 在菱形 ABCD 中，一定有AB DC . 其中所有正确命题的序号为_. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第
7、二册RJA） 分析 利用向量定义、相等向量、单位向量的定义进行判断. 解析 时间不是向量，故不正确. 两个向量相等只要模相等且方向相同即可，而与起点和终点的位置 无关，故不正确. 单位向量的长度为1，当所有单位向量的起点在同一点O时，终点都 在以O为圆心，1为半径的圆上，故正确. 显然正确，故所有正确命题的序号为. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 解决与向量概念有关问题的关键是突出向量的核心 方向和长度.如：共线向量的核心是方向相同或相反，长度没有限制； 相等向量的核心是方向相同且长度相等；单位向量的核心是方向没有限 制，但长度都是一个单位长度；零向量的
8、核心是方向没有限制，长度是 0；规定零向量与任一向量共线.只有紧紧抓住概念的核心才能顺利解决 与向量概念有关的问题. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 下列说法中正确的是 ( ) A数量可以比较大小，向量也可以比较大小 B方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小 C向量的大小与方向有关 D向量的模可以比较大小 解析 不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A、B不正 确；向量的大小即为向量的模，指的是有向线段的长度，与方向无关， 故C不正确；向量的模是一个数量，可以比较大小，故D正确. D 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第
9、二册RJA） 分析 先确定好向量的起点和终点，用有向线段表示出所求向量. 题型二题型二 向量的几何表示及应用 典典例例 2 某人从 A 点出发向东走了 5 米到达 B 点，然后改变方向 按东北方向走了 10 2米到达 C 点，到达 C 点后又改变方向向西走了 10 米到达 D 点. (1)作出向量AB ，BC ，CD . (2)求AD 的模. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)作出向量AB ，BC ，CD ，如图所示： (2)由题意得， BCD 是直角三角形， 其中BDC90 ， BC10 2米， CD10 米，所以 BD10 米.ABD 是直角三角形，
10、其中ABD90 ， AB5 米，BD10 米，所以 AD 521025 5(米)，所以|AD |5 5. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 向量的两种表示方法及应用 (1)几何表示法：先确定向量的起点，再确定向量的方向，最后根据 向量的长度确定向量的终点.便于用几何方法研究向量运算，为用向量处 理几何问题打下了基础. (2)字母表示法：为了便于运算可用字母 a，b，c 表示但需是黑体， 为了联系平面几何中的图形性质，可用表示向量的有向线段的起点与终 点表示向量，如AB ，CD ，EF 等.便于向量的运算. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二
11、册RJA） 【对点练习】 在如图的方格纸中，画出下列向量. (1)|OA |3，点 A 在点 O 的正西方向； (2)|OB |3 2，点 B 在点 O 北偏西 45 方向； (3)求出|AB |的值. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 取每个方格的单位长为 1，依题意，结合向量的表示可知， (1)(2)的向量如图所示. (3)由图知， AOB 是等腰直角三角形， 所以|AB | |OB |2|OA |23 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 共线向量与相等向量 典典例例 3 如图所示，ABC 中，三边长均不相等，E、F
12、、D 分别 是 AC，AB，BC 的中点. (1)写出与EF 共线的向量； (2)写出与EF 长度相等的向量； (3)写出与EF 相等的向量. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 分析 (1)共线向量只需在图中找出与线段EF平行或共线的所有线 段，再把它们表示成向量即可；(2)在图中找出与线段 EF 长度相等的所 有线段，再把它们表示成向量即可；(3)相等向量必须满足两个条件：方 向相同，长度相等，与起始点的位置无关，所以只需在图中找与线段 EF 平行且长度相等的所有线段，再将它们表示成方向与EF 的方向相同的向 量. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第
13、二册RJA） 解析 (1)E，F 分别是 AC，AB 的中点，EFBC， 与EF 共线的向量为FE ，BD ，DB ，DC ，CD ，BC ，CB . (2)E，F，D 分别是 AC，AB，BC 的中点， EF1 2BC，BDDC 1 2BC，EFBDDC. AB，BC，AC 均不相等，与EF 长度相等的向量为FE ，BD ，DB ， DC ，CD . (3)与EF 相等的向量为DB ，CD . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 相等向量与共线向量的探求方法 寻找相 等向量 先找与表示已知向量的有向线段长度相等的向量，再确 定哪些是同向共线 寻找共 线向量
14、 先找与表示已知向量的有向线段平行或共线的线段，再 构造同向与反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量 的有向线段的终点为起点，起点为终点的向量 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，设 O 是正方形 ABCD 的中心，则下列 结论正确的有_.(填序号) AO OC ；AO AC ； AB 与CD 共线；AO BO . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 AO 与OC 方向相同，长度相等，正确； A，O，C 三点在一条直线上， AO AC ，正确； ABDC，AB CD 共线，正确； AO 与BO 方向不同，二者不相
15、等，错误. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 给出下列四个命题：若|a|0，则a0；若|a|b|， 则ab或ab；若ab，则|a|b|；若ab，bc，则ac.其 中，正确的命题有 ( ) A0个 B1个 C2个 D3个 错解 D 错因分析 对向量的有关概念的理解错误，将向量的模与绝对值 混淆. 易错警示易错警示 典典例例 4 混淆向量的有关概念 A 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 正解 忽略了0与0的区别，a0；混淆了两个向量的模相等 和两个实数相等，两个向量的模相等，只能说明它们的长度相等，它们 的方向并不确定；两个向量平行，可以得出
16、它们的方向相同或相反， 未必得到它们的模相等；当b0时，a、c可以为任意向量，故a不一定 平行于c. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 误区警示 明确向量及其相关概念的联系与区别： (1)区分向量与数量：向量既强调大小，又强调方向，而数量只与大 小有关. (2)零向量和单位向量都是通过模的大小来确定的.零向量的方向是任 意的. (3)平行向量也叫共线向量，当两共线向量的方向相同且模相等时， 两向量为相等向量. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 下列说法正确的是 ( ) A平行向量就是向量所在直线平行的向量 B长度相等的向量叫相等向量 C零向量的长度为0 D共线向量是在一条直线上的向量 解析 平行向量所在直线可以平行也可以重合，故A错；长度相 等，方向不同的向量不是相等向量，故B错；共线向量即平行向量，不 一定在同一条直线上，故D错.故选C C
