1、第六章 平面向量及其应用 6.3 平面向量基本定理及坐标表示平面向量基本定理及坐标表示 6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示平面向量的正交分解及坐标表示 6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示平面向量加、减运算的坐标表示 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1了解平面向量的正交分解， 掌握向量的坐标表示
2、.(逻辑推理) 2理解向量坐标的概念，掌握 两个向量和、差的坐标运算法则 .(数学运算) 1平面向量运算的坐标表示依然可以 类比数的运算来学习，注意坐标运算的 二维特征. 2由于使用了正交分解，因此平面向 量的坐标运算其实是同名坐标之间的运 算. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 1平面向量正交分解的定义 把一个向量分解为两个_的向量，叫做把向量作正交分解. 2平面向量的坐标表示 (1)定义：在平面直角坐标系中，设与x轴、y轴方向相同的两个 _分别为i，j，取i，j作为基底
3、.对于平面内的任意一个向量 a，由平面向量基本定理可知，有且只有一对实数x，y，使得a _.我们把有序数对(x，y)叫做向量a的坐标，记作a(x，y).此式 叫做向量a的坐标表示. (2)特殊向量的坐标：i(1,0)，j(0,1)，0(0,0). 平面向量的正交分解及坐标表示 知识点 垂直 单位向量 (x，y) 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 知识解读 点的坐标与向量坐标的区别和联系 点的坐标反映的是点的位置，而向量的坐标反映的是向量的大小和 方向，向量仅由大小和方向决定，与位置无关. 1联系：(1)当且仅当向量的起点为原点时，向量终点的坐标等于 向量本身的坐标.
4、 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)两个向量相等，当且仅当它们的坐标相同.即 若 a(x1，y1)，b(x2，y2)，则 ab x1x2， y1y2. 注意：相等向量的坐标是相同的，但是两个相等向量的起点、终点 的坐标却可以不同. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 2区别：(1)书写不同，如a(1,2)，A(1,2). (2)给定一个向量，它的坐标是唯一的；给定一个有序实数对，由于 向量可以平移，故以这个有序实数对为坐标的向 量有无穷多个.因此，符号(x，y)在平面直角坐标系中有双重意义， 它既可以表示一个固定的点，又可以表示一个向
5、量.为了加以区分，在叙 述中，常说点(x，y)或向量(x，y). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 3平面向量的坐标运算 设向量a(x1，y1)，b(x2，y2)，R，则有下表： 文字描述 符号表示 加法 两个向量和的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的_ ab _ 减法 两个向量差的坐标分别等于这两 个向量相应坐标的_ ab _ 和 (x1x2，y1y2) 差 (x1x2，y1y2) 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 文字描述 符号表示 数乘 实数与向量的积的坐标等于用这个 实数乘原来向量的_ a_ 向量 坐标 公式 一个向量的坐标等于表
6、示此向量的 有向线段的终点的坐标减去起点的 坐标 已知 A(x1，y1)，B(x2，y2)， 则AB _ 相应坐标 (x1，y1) (x2x1，y2y1) 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型探究题型探究 题型一题型一 平面向量的坐标表示 典典例例 1 如图， 在平面直角坐标系 xOy 中， OA4， AB3， AOx 45 ，OAB105 ，OA a，AB b.四边形 OABC 为平行四边形. (1)求向量 a，b 的坐标. (2)求向量BA 的坐标. (3)求点 B
7、的坐标. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)作 AMx 轴于点 M， 则 OMOA cos 45 4 2 2 2 2，AMOA sin 45 4 2 2 2 2， 所以 A(2 2，2 2)，故 a(2 2，2 2). 因为AOC180 105 75 ，AOy45 ， 所以COy30 .又 OCAB3，所以 C 3 2， 3 3 2 ， 所以AB OC 3 2， 3 3 2 ，即 b 3 2， 3 3 2 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） (2)BA AB 3 2， 3 3 2 . (3)OB OA AB (2 2，2 2
8、) 3 2， 3 3 2 2 23 2，2 2 3 3 2 . B 2 23 2，2 2 3 3 2 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 求向量坐标的三个步骤： 平移将向量的始点移至坐标原点 求角 找出以x轴正向为始边，向量所在 射线为终边的角 求坐标 根据xrcos，yrsinr为向量的 模求终点坐标，即为向量坐标 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知向量 a 在射线 yx(x0)上，且起点为坐标 原点 O，又|a| 2，分别取与 x 轴、y 轴方向相同的两个单位向量 i，j 作为基底，则向量 a 的坐标为 (
9、) A(1,1) B(1，1) C( 2， 2) D( 2， 2) A 解析 由题意，a( 2cos 45 )i( 2sin 45 )jij(1,1). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 题型二题型二 平面向量的坐标运算 典典例例 2 已知平面上三个点 A(4,6)、 B(7,5)、 C(1,8)， 求AB 、 AC 、 AB AC 、AB AC . 分析 先计算出AB ，AC 的坐标，再进行向量的线性运算. 解析 A(4,6)、B(7,5)、C(1,8) AB (7,5)(4,6)(3，1)；AC (1,8)(4,6)(3,2)； AB AC (3，1)(3,2)
10、(0,1)； AB AC (3，1)(3,2)(6，3). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 平面向量坐标运算的技巧 (1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差的运算法则进行. (2)若已知有向线段两端点的坐标，则可先求出向量的坐标，然后再 进行向量的坐标运算. (3)向量的线性坐标运算可完全类比实数的运算进行. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)已知点 A(0,1)，B(3,2)，向量AC (4，3)， 则向量BC ( ) A(7，4) B(7,4) C(1,4) D(1,4) (2)已知 A(1，2
11、)，B(2,1)，C(3,2)和 D(2,3)，试用坐标来表示AD BD CD . A 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)解法 1：设 C(x，y)，则AC (x，y1)(4，3). 即 x4，y2，故 C(4，2)，则BC (7，4)，故选 A 解法 2：BC AC AB (7，4). (2)AD (3,5)，BD (4,2)，CD (5,1)， AD BD CD (3,5)(4,2)(5,1)(12，8). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 已知平面上三点的坐标分别为A(2,1)，B(1，3)， C(3,4)，求点D的坐标
12、，使这四点构成平行四边形的四个顶点. 分析 利用坐标形式下向量相等的条件，可以建立相等关系，进 而求出D点的坐标. 题型三题型三 平面向量坐标运算的综合应用 典典例例 3 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 设点 D 的坐标为(x，y)， 当平行四边形为 ABCD 时，由AB (1,2)，DC (3x，4y)，且AB DC ，得 D(2,2). 当平行四边形为 ACDB 时，由AB (1,2)，CD (x3，y4)，且AB CD ，得 D(4,6). 当平行四边形为 ACBD 时，由AC (5,3)，DB (1x,3y)，且AC DB ，得 D(6,0)，故点
13、D 的坐标为(2,2)或(4,6)或(6,0). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 平行四边形顶点坐标的求解 (1)已知平行四边形的三个顶点的坐标求第四个顶点的坐标主要是利 用平行四边形的对边平行且相等这个性质，则其对应的向量相等，即向 量的坐标相等. (2)当平行四边形的顶点顺序未确定时，要分类讨论. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如果将OA 3 2 ，1 2 绕原点 O 逆时针方向旋转 120 得到OB ，则OB 的坐标是 ( ) A 1 2， 3 2 B 3 2 ，1 2 C(1， 3) D 3 2 ，1
14、 2 D 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 因为OA 3 2 ，1 2 所在直线的倾斜角为 30 ，绕原点 O 逆时 针方向旋转 120 得到OB 所在直线的倾斜角为 150 ，所以 A，B 两点关于 y 轴对称，由此可知 B 点坐标为 3 2 ，1 2 ，故OB 的坐标是 3 2 ，1 2 . 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 易错警示易错警示 典典例例 4 误把向量的坐标当作点的坐标 已知点 A(2,3)，B(5,4)，C(7,10)，若AP AB AC (R)， 试求当点 P 在第三象限时， 的取值范围. 错解 由已知得AP
15、AB AC (52,43)(72,103)(3,1) (5,7)(35，17)，又点 P 在第三象限，所以 350， 170， 所以 3 5，故 的取值范围为(， 3 5). 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 错因分析 错解中误把向量AP 的坐标当作点 P 的坐标，混淆了点 的坐标与向量的坐标的概念. 正解 同错解得AP (35，17)， 设点 P(x，y)，则AP (x2，y3). 于是(x2，y3)(35，17)，即 x235， y317. 又点 P 在第三象限，所以 x550， y470， 解得 1 所以 的取值范围为(，1). 返回导航 第六章 平面向量及其
16、应用 数学（必修第二册RJA） 误区警示 向量的坐标反映的是向量的长度和向量的方向，与终 点坐标无关，只有当向量的始点是坐标原点时，向量的坐标与终点的坐 标才是一致的. 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知点 O 是ABC 内一点， AOB150 ， BOC 90 ，设OA a，OB b，OC c 且|a|2，|b|1，|c|3，求向量AB ， BC 的坐标.(以 O 为坐标原点，OA 所在直线为 x 轴建立平面直角坐标系) 返回导航 第六章 平面向量及其应用 数学（必修第二册RJA） 解析 建立如图所示的平面直角坐标系. 因为|OB |1，AOB150 ， 所以 B(cos30 ，sin30 )，所以 B( 3 2 ，1 2). 因为|OC |3，BOC90 ， 所以 C(3sin30 ，3cos30 )，即 C(3 2， 3 3 2 ). 所以BC (3 2， 3 3 2 )( 3 2 ，1 2)( 33 2 ，3 31 2 ，)， 易知 A(2,0)，所以AB ( 3 2 ，1 2)(2,0)( 3 2 2，1 2).
