1、第七章 复数 7.2 复数的四则运算复数的四则运算 7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义复数的加、减运算及其几何意义 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1掌握复数代数形式的加、减 运算法则，并会简单应用.(数学 运算) 2了解复数代数形式的加、减 运算的几何意义.(直观想象) 1类比向量加、减的坐标运算，感受和 把握复数的加、
2、减运算. 2类比向量运算的平行四边形法则与三 角形法则，感受和把握复数加、减法的 几何意义. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 设z1abi，z2cdi(a，b，c，dR)， 则z1z2_， z1z2_. 复数的加、减法运算法则 知识点1 (ac)(bd)i (ac)(bd)i (1)交换律：_； (2)结合律：(z1z2)z3_. 复数加法的运算律 知识点2 z1z2z2z1 z1(z2z3) 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 复数加、减法的几何意义 知识点3 如图， 设在复平面
3、内复数 z1， z2对应的向量分别为OZ1 ， OZ2 ， 以 OZ1， OZ2为邻边作平行四边形，则与 z1z2对应的向量是_，与 z1z2对 应的向量是_. OZ Z2Z1 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 知识解读 对复数的加法、减法运算应注意以下几点 (1)一种规定：复数代数形式的加法法则是一种规定，减法是加法的 逆运算； 特殊情形：当复数的虚部为零时，与实部的加法、减法法则一致. (2)运算律：实数加法的交换律、结合律在复数集中仍成立.实数的移 项法则在复数中仍然成立. (3)运算结果：两个复数的和(差)是唯一确定的复数. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJ
4、A） 关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） (1)计算：(23i)(42i)_. (2)已知z1(3x4y)(y2x)i，z2(2xy)(x3y)i，x，y为实 数，若z1z253i，则|z1z2|_. 分析 直接运用复数的加减运算法则进行计算. 题型探究题型探究 题型一题型一 复数代数表示式的加、减法运算 典典例例 1 2i 2 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)(23i)(42i)(24)(32)i2i. (2)z1z2(3x4y)(y2x)i(2xy)(x3y)i(3x4y) (2xy)(y2x)(x3y)i(5x5
5、y)(3x4y)i53i， 所以 5x5y5， 3x4y3， 解得 x1，y0， 所以 z132i，z22i，则 z1z21i，所以|z1z2| 2. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 复数加、减运算的法则 (1)复数代数形式的加、减法运算实质就是将实部与虚部相加减，虚 部与虚部相加减之后分别作为结果的实部与虚部，因此要准确地提取复 数的实部与虚部. (2)复数的运算可以类比多项式的运算(类似于合并同类项)：若有括 号，括号优先；若无括号，可以从左到右依次进行计算. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 (1)i(15i)(23i)(i1)_
6、. (2)已知复数z1a23i，z22aa2i，若z1z2是纯虚数，则实 数a_. 10i 3 解析 (1)i(15i)(23i)(i1)i15i23i i110i. (2)由条件知 z1z2a22a3(a21)i， 又 z1z2是纯虚数，所以 a22a30， a210， 解得 a3 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 如图，平行四边形OABC的顶点O，A，C对应复数分别为 0,32i，24i，试求 分析 要求某个向量对应的复数，只要找出所求向量的始点和终 点，或者用向量的相等直接给出所求的结论. 题型二题型二 复数加减法及复数模的几何意义 典典例例 2 (1)AO 所表示的复数
7、，BC 所表示的复数； (2)对角线CA 所表示的复数； (3)对角线OB 所表示的复数及OB 的长度. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)AO OA ，AO 所表示的复数为32i. BC AO ，BC 所表示的复数为32i. (2)CA OA OC . CA 所表示的复数为(32i)(24i)52i. (3)对角线OB OA OC ，它所对应的复数 z(32i)(24i)16i，|OB | 1262 37. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 利用复数加减运算的几何意义解题的技巧及常见结论 形转化为数：利用几何意义可以把几何图形的变换转化成
8、复数运 算去处理.数转化为形：对于一些复数运算也可以给予几何解释，使复 数作为工具运用于几何之中. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知四边形ABCD是复平面上的平行四边形，顶 点A，B，C分别对应于复数52i，45i,2，求点D对应的复数及对 角线AC，BD的长. 解析 如图，因为 AC 与 BD 的交点 M 是各自的中点， 所以有 zMz AzC 2 z BzD 2 ， 所以 zDzAzCzB17i， 因为AC ：zCzA2(52i)72i， 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 所以|AC |72i| 7222 53， 因为BD ：zDzB(1
9、7i)(45i)512i， 所以|BD |512i| 5212213 故点 D 对应的复数是 17i，AC 与 BD 的长分别是 53和 13 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 题型三题型三 复数加法、减法几何意义的应用 典典例例 3 (1)如果复数 z 满足|zi|zi|2，那么|zi1|的最小 值是 ( ) A1 B1 2 C2 D 5 (2)若复数 z 满足|z 3i|1，求|z|的最大值和最小值. 分析 涉及复数模的最值问题以及点的轨迹问题， 均可从两点间距离公式的复数表达形式入手进行分析判 断，然后通过几何方法进行求解. A 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册R
10、JA） 解析 (1)设复数i， i， 1i 在复平面内对应的点分别为 Z1， Z2， Z3，因为|zi|zi|2，|Z1Z2|2，所以点 Z 的集合为线段 Z1Z2 问题转化为： 动点 Z 在线段 Z1Z2上移动， 求|ZZ3|的最小值， 因为|Z1Z3| 1 所以|zi1|min1 (2)如图所示，|OM | 32122 所以|z|max213，|z|min211 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 两个复数差的模的几何意义 (1)|zz0|表示复数z，z0的对应点之间的距离，在应用时，要把绝对 值号内变为两复数差的形式. (2)|zz0|r表示以z0对应的点为圆心，
11、r为半径的圆. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 若本例(2)条件改为已知|z|1且zC，求|z2 2i|(i为虚数单位)的最小值. 解析 因为|z|1 且 zC，作图如图： 所以|z22i|的几何意义为单位圆上的点 M 到 复平面上的点 P(2,2)的距离， 所以|z22i|的最小值 为|OP|12 21 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） A，B分别是复数z1，z2在复平面内对应的点，O是原点， 若|z1z2|z1z2|，则三角形AOB一定是 ( ) A等腰三角形 B直角三角形 C等边三角形 D等腰直角三角形 错解 A 易错警示易错警示 典典例例
12、 4 B 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 错因分析 向量加法、 减法运算的平行四边形法则和三角形法则是 复数加法、减法几何意义的依据.利用加法“首尾相接”和减法“指向被 减数”的特点，在三角形内可求得第三个向量及其对应的复数.注意向量 AB 对应的复数是 zBzA(终点对应的复数减去起点对应的复数). 正解 根据复数加(减)法的几何意义，知以OA ，OB 为邻边所作的 平行四边形的对角线相等，则此平行四边形为矩形，故三角形 OAB 为直 角三角形. 返回导航 第七章 复数 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 ABC的三个顶点所对应的复数分别为z1，z2， z3，复数z满足|zz1|zz2|zz3|，则z对应的点是ABC的 ( ) A外心 B内心 C重心 D垂心 解析 由复数模及复数减法运算的几何意义，结合条件可知复数z 的对应点P到ABC的顶点A、B、C距离相等，P为ABC的外心. A
