1、第八章 立体几何初步 8.3 简单几何体的表面积与体积简单几何体的表面积与体积 8.3.1 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积 必备知识必备知识探新知探新知 关键能力关键能力攻重难攻重难 课堂检测课堂检测固双基固双基 素养作业素养作业提技能提技能 素养目标素养目标定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标素养目标 定方向定方向 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 素养目标 学法指导 1了解棱柱、棱锥、棱台的表面积与 体积的计算公式.(逻辑推理) 2理解并掌握侧面展开图与几何体的 表面积之间的关系.(逻辑推理)
2、 3能利用计算公式求几何体的表面积 与体积.(数学运算) 1求棱柱、棱锥、棱台的表面 积时，要充分利用侧面展开图与 原几何体的关系； 2求体积时，要准确把握底面 积和高，尤其是四面体.优先选面 积容易求出的面作为底面. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 必备知识必备知识 探新知探新知 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 多面体的表面积就是围成多面体_的面积的和.棱柱、棱 锥、棱台的表面积就是围成它们的_的面积的和. 棱柱、棱锥、棱台的表面积 知识点1 各个面 各个面 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 棱柱、棱锥、棱台的体积
3、知识点2 几何体 体积 说明 棱柱 V 棱柱Sh S 为棱柱的_， h 为棱柱 的_ 棱锥 V 棱锥1 3Sh S 为棱锥的_， h 为棱锥 的_ 棱台 V 棱台1 3(S SSS)h S，S 分别为棱台的 _， h 为棱台的 _ 底面积 高 底面积 高 上、下底面面积 高 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 知识解读 1棱柱、棱锥、棱台的侧面积与表面积 (1)将棱柱、棱锥、棱台的侧面展开分别是平行四边形、若干个三角 形、若干个梯形组成的平面图形，侧面展开图的面积就是棱柱、棱锥、 棱台的侧面积. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自的底面积的 和. 返回导
4、航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 2对于棱柱、棱锥、棱台的体积公式的几点认识 (1)等底、等高的两个棱柱的体积相同. (2)等底、等高的棱锥和棱柱的体积之间的关系可以通过实验得出， 等底、等高的棱柱的体积是棱锥的体积的3倍. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (3)柱体、锥体、台体的体积公式之间的关系 VSh SS V1 3(S SSS)h S0 V1 3Sh. (4)求棱台的体积可转化为求棱锥的体积.根据棱台的定义进行“补 形”，还原为棱锥，采用“大棱锥”减去“小棱锥”的方法求棱台的体 积. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA）
5、关键能力关键能力 攻重难攻重难 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 现有一个底面是菱形的直四棱柱，它的体对角线长为9和 15，高是5，求该直四棱柱的侧面积、表面积. 分析 利用体对角线的长求出底面对角线长，由此求出菱形的边 长. 题型探究题型探究 题型一题型一 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积 典典例例 1 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 如图，设底面对角线 ACa，BDb，交点为 O， 体对角线 A1C15，B1D9， a252152，b25292， a2200，b256 该直四棱柱的底面是菱形， AB2 AC 2 2 BD 2 2a 2
6、b2 4 20056 4 64， AB8 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 棱柱、棱锥、棱台的表面积求法 (1)多面体的表面积是各个面的面积之和. (2)棱柱、棱锥、棱台的表面积等于它们的侧面积与各自底面积的和. 直四棱柱的侧面积 S 侧485160 直四棱柱的底面积 S 底1 2AC BD20 7. 直四棱柱的表面积 S 表160220 716040 7. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 已知棱长均为5，底面为正方形 的四棱锥SABCD如图所示，求它的侧面积、表面积. 解析 四棱锥 SABCD 的各棱长均为 5， 各侧
7、面都是全等的正三角形. 设 E 为 AB 的中点，连接 SE，则 SEAB， S 侧4SSAB41 2ABSE25 52 5 2 225 3， S 表S侧S底25 32525( 31). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (1)已知高为3的三棱柱ABCA1B1C1的底面是边长为1的 正三角形，如图所示，则三棱锥B1ABC的体积为 ( ) 题型二题型二 棱柱、棱锥、棱台的体积 典典例例 2 D A1 4 B1 2 C 3 6 D 3 4 (2)正四棱台两底面边长分别为20 cm和10 cm，侧面面 积为780 cm2求其体积. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第
8、二册RJA） 分析 利用体积公式计算求解. 解析 (1)设三棱锥 B1ABC 的高为 h， 则 V 三棱锥 B1ABC1 3S ABCh1 3 3 4 3 3 4 . (2)正四棱台的大致图形如图所示，其中 A1B110 cm，AB20 cm，取 A1B1的中点 E1， AB 的中点 E，则 E1E 为斜高.设 O1，O 分别是上、 下底面的中心，则四边形 EOO1E1为直角梯形. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） S 侧41 2(1020)EE1780(cm 2)， EE113 cm. 在直角梯形 EOO1E1中， O1E11 2A1B15 cm，OE 1 2AB10
9、 cm， O1O 132105212(cm). 故该正四棱台的体积为 V1 312(10 22021020)2 800(cm3). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图，已知正方体ABCD A1B1C1D1的棱长为1，则四棱锥A1BB1D1D的体积为 _. 解析 由题意可知四棱锥 A1BB1D1D 的底面是矩形，边长为 1 和 2，四棱锥的高为1 2A1C1 2 2 ，则四棱锥 A1BB1D1D 的体积为 V1 3 1 2 2 2 1 3. 1 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (1)如图，已知ABCDA1B1C1D1是棱长为
10、a的正方体，E 为AA1的中点，F为CC1上一点，求三棱锥A1D1EF的体积. 题型三题型三 求体积的等积法与分割法 典典例例 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)如图，在多面体ABCDEF中，已知四边形ABCD是边长为4的正方 形，EFAB，EF2，EF上任意一点到平面ABCD的距离均为3，求该 多面体的体积. 分析 (1)适合用等积法；(2)适合用分割法. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 (1)由 V 三棱锥 A1D1EFV 三棱锥 FA1D1E， SA1D1E1 2EA1 A1D1 1 4a 2， 又三棱锥 FA1D1E 的
11、高为 CDa， V 三棱锥 FA1D1E1 3a 1 4a 2 1 12a 3， V 三棱锥 A1D1EF 1 12a 3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） (2)如图，连接 EB，EC，AC. V 四棱锥EABCD1 34 2316 AB2EF，EFAB， SEAB2SBEF. V 三棱锥FEBCV三棱锥CEFB 1 2V 三棱锥CABE1 2V 三棱锥EABC 1 2 1 2V 四棱锥EABCD4 多面体的体积 VV 四棱锥EABCDV三棱锥FEBC16420 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 归纳提升 求几何体体积的常用方法 公式法 直接代
12、入公式求解 等积法 例如四面体的任何一个面都可以作为底面，只需选用底 面积和高都易求的形式即可 补体法 将几何体补成易求解的几何体，如棱锥补成棱柱，三棱 柱补成四棱柱等 分割法 将几何体分割成易求解的几部分，分别求体积 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图，在棱长为a的正方体ABCDA1B1C1D1中， 求A到平面A1BD的距离d. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 解析 在三棱锥 A1ABD 中，ABADAA1a， A1BBDA1D 2a， VA1ABDVAA1BD， 1 3 1 2a 2a1 3 1 2 2a 3 2 2ad.
13、 解得 d 3 3 a.A 到平面 A1BD 的距离为 3 3 a. 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 已知一个正三棱柱的侧面展开图是一个长为9 cm，宽为6 cm的矩形，求此正三棱柱的体积. 易错警示易错警示 典典例例 4 忽略对侧面展开图的分类讨论而致错 错解 由题知正三棱柱的底面周长为 9 cm，宽为 6 cm，则底面等 边三角形的边长为 3 cm. S 底面1 233 3 2 9 3 4 (cm2). V 正三棱柱Sh9 3 4 627 3 2 (cm3). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 错因分析 若侧面展开图是一个长、宽不等的矩形，
14、其长和宽都 可能是正三棱柱的底面周长.该解法中忽略了另一种情况，导致答案不完 整. 正解 设正三棱柱的高为 h cm，底面等边三角形的边长为 a cm. 若正三棱柱的底面周长为 9 cm，则高 h6 cm,3a9 cm，a3 cm. S 底面1 233 3 2 9 3 4 (cm2). V 正三棱柱Sh9 3 4 627 3 2 (cm3). 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 误区警示 解答此类问题一定要注意侧面展开图的长、宽都可能 是底面的周长，不要漏解. 若正三棱柱的底面周长为 6 cm，则高 h9 cm,3a6 cm，a2 cm. S 底面1 222 3 2 3(cm2). V 正三棱柱Sh 399 3(cm3). 故该正三棱柱的体积为27 2 3 cm3或 9 3 cm3 返回导航 第八章 立体几何初步 数学（必修第二册RJA） 【对点练习】 如图所示，已知一个多面体的平面展开图由一个 边长为1的正方形和4个边长为1的正三角形组成，则该多面体的体积是 _. 解析 由题知该多面体为正四棱锥，底面边长为 1，侧棱长为 1， 斜高为 3 2 ，连接顶点和底面中心即为高，可求高为 2 2 ，所以体积为 V1 3 11 2 2 2 6 . 2 6
