1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”10 1.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 11 nn nanan n ，设 n n a b n （1）求数列 n b的通项公式； （2）若2 n b n cn，求数列 n c的前n项和 2.（本小题满分 12 分） 如图，四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形，ACBDO （1）证明： 1 BC平面 1 A BD； （2）设AB 1 2,AA 3 BAD ，若 1 AO 平面ABCD， 求三棱锥 11 BABD的体积 3.（本小题满分 12 分） 世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世
2、界性互联网 盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台， 让各国在争议中求共识、 在共识中谋合作、 在合作中创共赢 2019 年 10 月 20 日至 22 日， 第六届世界互联网大会如期举行， 为了大会顺利召开， 组委会特招募了 1 000 名志愿者 某 部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄的中 位数为 34 岁，年龄在40,45)岁内的人数为 15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布 直方图： A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D O （1）求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间
3、的中点值 代表） ； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方 式报名调查这 100 位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计 算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关 系”？ 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac bd ，其中nabcd. 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 4.（本小题满分 12 分）
4、 已知 2 2 ln3f xxxxax （1）当1a 时，求曲线 yf x在1x 处的切线方程； （2）若存在 0 1 ,e e x ，使得 0 0f x成立，求a的取值范围 频率/组距 年龄/岁 2 02 53 03 54 04 55 0 0.010 0.020 2m 2 n O 5.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0ab )的离心率为 6 3 ，以C的短轴为直径的圆与直线 :3450lxy相切 （1）求C的方程； （2）直线yxm交椭圆C于 11 ,M x y， 22 ,N xy两点，且 12 xx已知l上存在 点P，使得PMN是以PMN为顶角的等腰
5、直角三角形若P在直线MN右下方，求m 的值 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 6.（本小题满分 10 分）选修44：坐标系与参数方程 已知直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程为 3,xt yt （t为参数） 以O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 12 cos （1）写出 1 C的普通方程和 2 C
6、的直角坐标方程； （2）设点P为 2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 7.（本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲 已知 0,0,0abc ，且2abc （1）求 2 abc的取值范围； （2）求证： 149 18 abc 2020 届高三数学（文） “大题精练”10（答案解析） 1.（本小题满分 12 分） 已知数列 n a满足 1 1a ， 1 11 nn nanan n ，设 n n a b n （1）求数列 n b的通项公式； （2）若2 n b n cn，求数列 n c的前n项和 【解析】 （1）因为 n n a b n ，所以 nn anb， 1 分 又因为 1
7、11 nn nanan n ， 所以 1 111 nn n nbnnbn n ，即 1 1 nn bb ， 3 分 所以 n b为等差数列， 4 分 其首项为 11 1ba，公差1d 5 分 所以11 n bnn 7 分 （2）由（1）及题设得，2n n cn， 8 分 所以数列 n c的前n项和 23 2222123 n n Sn 9 分 1222 122 n nn 11 分 2 1 22 2 n nn 12 分 2.（本小题满分 12 分） 如图，四棱柱 1111 ABCDABC D的底面为菱形，ACBDO （1）证明： 1 BC平面 1 A BD； （2）设AB 1 2,AA 3 BAD
8、 ，若 1 AO 平面ABCD， 求三棱锥 11 BABD的体积 A B C D 1 A 1 B 1 C 1 D O 【解析】 （1）证明：依题意， 11/ A BAB，且/ABCD， 11/ ABCD， 1 分 四边形 11 ABCD是平行四边形， 2 分 11 BCAD， 3 分 1 BC 平面 1 A BD， 1 AD 平面 1 A BD， 1 BC平面 1 A BD 5 分 （2）依题意， 1 2,3AAAO， 在 1 RtAAO中， 22 11 1AOAAAO， 6 分 所以三棱锥 1 ABCD的体积 1 ABCD V 1 1 3 BCD SAO 2 13 21 34 3 3 8 分
9、 由（1）知 1 BC平面 1 A BD， 111 BA BDCA BD VV 10 分 1 ABCD V 11 分 3 3 12 分 3.（本小题满分 12 分） 世界互联网大会是由中国倡导并每年在浙江省嘉兴市桐乡乌镇举办的世界性互联网 盛会，大会旨在搭建中国与世界互联互通的国际平台和国际互联网共享共治的中国平台， 让各国在争议中求共识、 在共识中谋合作、 在合作中创共赢 2019 年 10 月 20 日至 22 日， 第六届世界互联网大会如期举行， 为了大会顺利召开， 组委会特招募了 1 000 名志愿者 某 部门为了了解志愿者的基本情况，调查了其中 100 名志愿者的年龄，得到了他们年龄
10、的中 位数为 34 岁，年龄在40,45)岁内的人数为 15，并根据调查结果画出如图所示的频率分布 直方图： （1）求m，n的值并估算出志愿者的平均年龄（同一组的数据用该组区间的中点值 代表） ； （2）这次大会志愿者主要通过现场报名和登录大会官网报名，即现场和网络两种方 式报名调查这 100 位志愿者的报名方式部分数据如下表所示，完善下面的表格，通过计 算说明能否在犯错误的概率不超过 0.001 的前提下，认为“选择哪种报名方式与性别有关 系”？ 男性 女性 总计 现场报名 50 网络报名 31 总计 50 参考公式及数据： 2 2 () ()()()() n adbc K ab cd ac
11、 bd ，其中nabcd. 2 0 P Kk 0.05 0.01 0.005 0.001 0 k 3.841 6.635 7.879 10.828 【解析】 （1）因为志愿者年龄在40,45)内的人数为15， 所以志愿者年龄在40,45)内的频率为： 15 0.15 100 ； 1 分 由频率分布直方图得：(0.020240.010) 50.151mn ， 即20.07mn， 3 分 由中位数为34可得0.020 5252(3430)0.5mn ， 即540.2mn， 4 分 由解得0.020m ，0.025n . 5 分 志愿者的平均年龄为 频率/组距 年龄/岁 2 02 53 03 54
12、04 55 0 0.010 0.020 2m 2 n O (22.5 0.02027.5 0.04032.5 0.05037.5 0.05042.5 0.03047.5 0.010) 5 34（岁） 7 分 （2）根据题意得到列联表： 男性 女性 总计 现场报名 19 31 50 网络报名 31 19 50 总计 50 50 100 9 分 所以 2 K的观测值 2 100(19 1931 31) 50505050 k 2 219311931 505050 5.7610.828， 11 分 所以不能在犯错误的概率不超过0.001的前提下，认为选择哪种报名方式与性别有关 系 12 分 说明：第（
13、1）小题中，方程列对一个给 2 分，两个都列对给 3 分 4.（本小题满分 12 分） 已知 2 2 ln3f xxxxax （1）当1a 时，求曲线 yf x在1x 处的切线方程； （2）若存在 0 1 ,e e x ，使得 0 0f x成立，求a的取值范围 【解析】 2 ln12fxxxa 1 分 （1）当1a 时， 2 2 ln3,f xxxxx 2 ln121fxxx， 所以 15,15f f ， 3 分 所以曲线 yf x在1x 处的切线方程为551yx，即5yx 5 分 （2）存在 0 1 ,e e x ，使得 0 0f x成立， 等价于不等式 2 2 ln3xxx a x 在 1
14、 ,e e 有解 6 分 设 2 2 ln3xxx h x x ，则 2 22 3123xxxx h x xx ， 7 分 当 1 1 e x时， 0h x， h x为增函数；当1ex时， 0h x， h x为减函数 8 分 又 2 13e2e1 ee h ， 2 e2e3 e e h ，故 1 e0 e hh 10 分 所以当 1 ,e e x 时， 2 13e2e1 ee h xh ， 11 分 所以 2 3e2e1 e a ，即a的取值范围为 2 3e2e1, e 12 分 5.（本小题满分 12 分） 已知椭圆 22 22 :1 xy C ab (0ab )的离心率为 6 3 ，以C的
15、短轴为直径的圆与直线 :3450lxy相切 （1）求C的方程； （2）直线yxm交椭圆C于 11 ,M x y， 22 ,N xy两点，且 12 xx已知l上存在 点P，使得PMN是以PMN为顶角的等腰直角三角形若P在直线MN右下方，求m 的值 【解析】 （1）依题意， 22 3 005 1 4 b ， 2 分 因为离心率 22 6 3 cab e aa ， 所以 2 16 3 a a ，解得3a ， 4 分 所以椭圆C的标准方程为 2 2 1 3 x y 5 分 （2） 因为直线yxm的倾斜角为45， 且P M N是以PMN为顶角的等腰直角三 角形，P在直线MN右下方，所以NPx轴 6 分
16、过M作NP的垂线，垂足为Q，则Q为线段NP的中点，所以 12 ,Q x y，故 122 2,Pxxy， 7 分 所以 122 3 2450 xxy， 即 122 3 2450 xxxm， x y P l M N O Q 整理得 12 6450 xxm 8 分 由 22 33,xy yxm 得 22 46330 xmxm. 所以 22 3648480mm ，解得22m ， 9 分 所以 12 3 2 xxm ， 2 12 3 1 4 x xm， 10 分 由-得， 1 1 2 m x ， 将代入得 2 1xm ， 11 分 将代入得 3 1111 24 m mmm ，解得1m 综上，m的值为1
17、12 分 （二）选考题：共（二）选考题：共 10 分请考生在第分请考生在第 22，23 两题中任选一题作答如果多做，则按所做两题中任选一题作答如果多做，则按所做 第一个题目计分，作答时请用第一个题目计分，作答时请用 2B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑 6.（本小题满分 10 分）选修44：坐标系与参数方程 已知直角坐标系xOy中， 曲线 1 C的参数方程为 3,xt yt （t为参数） 以O为极点， x轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线 2 C的极坐标方程为 2 12 cos （1）写出 1 C的普通方程和 2 C的直角坐标方程； （2）设点P为
18、2 C上的任意一点，求P到 1 C距离的取值范围 【解析】 （1） 1 C的普通方程为3xy ，即30 xy 2 分 曲线 2 C的直角坐标方程为 22 12xyx ，即 2 2 12xy 5 分 （2）由（1）知， 2 C是以1,0为圆心，半径 2r 的圆， 6 分 圆心 2 C1,0到 1 C的距离 103 2 22 2 d ， 7 分 所以直线 1 C与圆 2 C相离，P到曲线 1 C距离的最小值为 2 222dr； 最大值 2 2dr23 2， 9 分 所以P到曲线 1 C距离的取值范围为2,3 2 10 分 7.（本小题满分 10 分）选修45：不等式选讲 已知 0,0,0abc ，且2abc （1）求 2 abc的取值范围； （2）求证： 149 18 abc 【解析】 （1）依题意，2 0abc ，故0 2a 1 分 所以 2 abc 2 2 17 2 24 aaa ， 3 分 所以 22 7 2224 4 abc，即 2 abc的取值范围为 7 ,4 4 5 分 （2）因为 0,0,0abc ， 所以 1494949 14 bacacb abc abcabacbc 7 分 4949 14222 bacacb abacbc 8 分 142 42 92 3636 9 分 又因为2abc， 所以 149 18 abc 10 分
