1、 2020 届高三数学（文） “大题精练”13 17.已知数列 n a的前n项和为 n S，22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 21nnn balog a ，求数列 n b的前n项和 n T 18.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 面ABCD，E为PD的中点。 （1）证明：/ /PB平面AEC; （2）设1AP ，3AD ，三棱锥PABD的体积 3 4 V ，求 A 到平面 PBC 的距离。 19.下图是我国 2008 年至 2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以
2、说明； （）建立y关于t的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量. 附注： 参考数据： 7 1 9.32 i i y ， 7 1 40.17 ii i t y ， 7 2 1 ()0.55 i i yy ，72.646. 参考公式：相关系数 1 22 11 ()() ()(yy) n ii i nn ii ii ttyy r tt ， 回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii i n i i ttyy b tt ， =.a ybt 试题解析： （）由折线图中数据和附注中参考数据得 4t ， 7 2 1
3、 ()28 i i tt ， 7 2 1 ()0.55 i i yy ， ， . 因为与 的相关系数近似为 0.99， 说明与 的线性相关相当高， 从而可以用线性回归模型 拟合与 的关系. （）由 9.32 1.331 7 y 及（）得 7 1 7 2 1 ()() 2.89 0.103 28 () ii i i i ttyy b tt ， 1.331 0.103 40.92 aybt. 所以，关于 的回归方程为：. 将 2016 年对应的代入回归方程得：. 所以预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 20.已知抛物线 2 :2C xpy(0)p ，其焦点到准线的距离
4、为 2，直线l与抛物线C交于A， B两点，过A，B分别作抛物线C的切线 1 l， 2 l， 1 l与 2 l交于点M. （）求p的值； （）若 12 ll，求 MAB 面积的最小值. 21.已知1x 是函数 2 ( )ln 2 x f xaxxx的极值点. （）求实数a的值； （）求证：函数 ( )f x存在唯一的极小值点 0 x，且 0 3 0 4 f x. （参考数据：ln20.69） （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。 22.直
5、角坐标系中曲线C的参数方程为 4cos 3sin x y （为参数）. （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）经过点 (0,1)M 作直线l交曲线C于,A B两点（A在B上方） ，且满足2BMAM， 求直线l的方程. 23.已知函数f(x)|xa|x2|. (1)当a3 时，求不等式f(x)3 的解集； (2)若f(x)|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围 2020 届高三数学（文） “大题精练”13（答案解析） 17.已知数列 n a的前n项和为 n S，22 nn Sa （1）求数列 n a的通项公式； （2）设 21nnn balog a ，求数列 n b的前n项和 n T 试题解析
6、： （1）当1n 时， 1 2a ， 当2n时， 11 2222 nnnnn aSSaa 即： 1 2 n n a a ，数列 n a为以 2 为公比的等比数列 2n n a （2） 1 2 2log 21 2 nnn n bn 21 2 23 221 2 nn n Tnn 231 22 23 221 2 nn n Tnn 两式相减，得 2311 42221 22 nnn n Tnn 1 2n n Tn 18.如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为矩形，PA 面ABCD，E为PD的中点。 （1）证明：/ /PB平面AEC; （2）设1AP ，3AD ，三棱锥PABD的体积 3 4 V ，求
7、A 到平面 PBC 的距离。 试题解析：(1）设 BD 交 AC 于点 O，连结 EO。 因为 ABCD 为矩形，所以 O 为 BD 的中点。 又 E 为 PD 的中点，所以 EOPB 又 EO平面 AEC，PB平面 AEC 所以 PB平面 AEC。 （2） 13 66 VPA AB ADAB 由，可得. 作交于。 由题设易知，所以 故， 又 3 13 13 PA AB AH PB 所以到平面的距离为 法 2：等体积法 13 66 VPA AB ADAB 由，可得. 由题设易知,得 BC 假设到平面的距离为 d， 又因为 PB= 所以 又因为(或)， ，所以 19.下图是我国 2008 年至
8、2014 年生活垃圾无害化处理量（单位：亿吨）的折线图. （）由折线图看出，可用线性回归模型拟合y与t的关系，请用相关系数加以说明； （）建立y关于t的回归方程（系数精确到 0.01） ，预测 2016 年我国生活垃圾无害化处理 量. 附注： 参考数据： 7 1 9.32 i i y ， 7 1 40.17 ii i t y ， 7 2 1 ()0.55 i i yy ，72.646. 参考公式：相关系数 1 22 11 ()() ()(yy) n ii i nn ii ii ttyy r tt ， 回归方程yabt中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为： 1 2 1 ()() () n ii
9、i n i i ttyy b tt ， =.a ybt 试题解析： （）由折线图中数据和附注中参考数据得 4t ， 7 2 1 ()28 i i tt ， 7 2 1 ()0.55 i i yy ， ， . 因为与 的相关系数近似为 0.99， 说明与 的线性相关相当高， 从而可以用线性回归模型 拟合与 的关系. （）由 9.32 1.331 7 y 及（）得 7 1 7 2 1 ()() 2.89 0.103 28 () ii i i i ttyy b tt ， 1.331 0.103 40.92 aybt. 所以，关于 的回归方程为：. 将 2016 年对应的代入回归方程得：. 所以预测
10、2016 年我国生活垃圾无害化处理量将约 1.82 亿吨. 20.已知抛物线 2 :2C xpy(0)p ，其焦点到准线的距离为 2，直线l与抛物线C交于A， B两点，过A，B分别作抛物线C的切线 1 l， 2 l， 1 l与 2 l交于点M. （）求p的值； （）若 12 ll，求 MAB 面积的最小值. 【详解】()由题意知，抛物线焦点为：0, 2 p ，准线方程为： 2 p y 焦点到准线的距离为2，即2p . ()抛物线的方程为 2 4xy，即 2 1 4 yx，所以 1 2 yx 设 11 ,A x y， 22 ,B xy， 2 11 11 : 42 xx lyxx 2 22 22
11、: 42 xx lyxx 由于 12 ll，所以 12 1 22 xx ，即 12 4x x 设直线l方程为y kxm ，与抛物线方程联立，得 2 4 ykxm xy 所以 2 440 xkxm 2 16160km ， 1212 4 ,44xxk x xm ，所以 1m 即:1l ykx 联立方程 2 11 2 22 24 24 xx yx xx yx 得： 2 1 xk y ，即：2 , 1Mk M点到直线l的距离 2 22 21 21 1 11 k kk d kk 2 22 1212 144 1ABkxxx xk 所以 2 3 22 2 2 21 1 4 14 14 2 1 k Skk k
12、 当0k 时，MAB面积取得最小值4 21.已知1x 是函数 2 ( )ln 2 x f xaxxx的极值点. （）求实数a的值； （）求证：函数 ( )f x存在唯一的极小值点 0 x，且 0 3 0 4 f x. （参考数据：ln20.69） 【详解】()因为 1 2ln 2 fxaxx，且1x 极值点 所以 1 120 2 fa，所以 1 4 a 此时 1 ln 22 x fxx 设 g xfx ，则 112 22 x gx xx 则当02x时， 0gx ， g x为减函数 又 1 102ln20 2 gg， 当01x时， 0g x ，则 f x为增函数 当12x 时， 0g x ，则
13、f x为减函数 此时1x 为 f x的极大值点，符合题意 ()由()知，02x时，不存在极小值点 当2x 时， 0gx ， g x为增函数，且 3 42ln20 2 g ， 20g 所以存在 00 2,4 ,0 xg x 结合()可知当 0 1xx时， 0g x ， f x为减函数； 0 xx 时， 0g x ， f x为 增函数，所以函数 f x存在唯一的极小值点 0 x 又 31 ln30g ，所以x 0 34 且满足 0 0 1 ln0 22 x x . 所以 22 000 0000 ln 424 xxx f xxxx 由二次函数图象可知： 0 43ff xf 又 93 33 44 f
14、， 16 440 4 f 0 3 0, 4 f x （二）选考题：共（二）选考题：共 1010 分。请考生在第分。请考生在第 2222、2323 题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第题中任选一题作答。如果多做，则按所做的第 一题计分。一题计分。 22.直角坐标系中曲线C的参数方程为 4cos 3sin x y （为参数）. （1）求曲线C的直角坐标方程； （2）经过点 (0,1)M 作直线l交曲线C于,A B两点（A在B上方） ，且满足2BMAM， 求直线l的方程. 试题解析:（1）由题意：曲线C的直角坐标方程为： 22 1 169 xy . （2）设直线l的参数方程为 1 xtcos y
15、sin （为参数）代入曲线C的方程有： 22 7sin932sin1280tt ，设点,A B对应的参数分别为 12 ,t t，则 21 2tt ， 则 121 2 32sin 97sin ttt ， 2 121 2 128 2 97sin ttt ， 2 sin1 ， 直线l的方程为：0 x . 23.已知函数f(x)|xa|x2|. (1)当a3 时，求不等式f(x)3 的解集； (2)若f(x)|x4|的解集包含1，2，求a的取值范围 试题解析： （1）当 a3 时，f（x） 25,2 1,23 25,3 xx x xx 当 x2 时，由 f（x）3 得2x53，解得 x1； 当 2x3 时，f（x）3 无解； 当 x3 时，由 f（x）3 得 2x53，解得 x4. 所以 f（x）3 的解集为x|x1 或 x4 6 分 （2）f（x）|x4|x4|x2|xa|. 当 x1，2时，|x4|x2|xa|（4x）（2x）|xa| 2ax2a， 由条件得2a1 且 2a2，解得3a0， 故满足条件的实数 a 的取值范围为3，0 考点：绝对值不等式的解法；带绝对值的函数
