1、黄冈市部分普通高中协作体高三数学试卷（共 4 页）第 1 页黄冈市部分普通高中协作体高三数学试卷（共 4 页）第 2 页 2020 年秋季黄冈市部分普通高中协作体 12 月份联考 高三数学试卷 考试时间：2020 年 12 月 14 日上午试卷满分：150 分 一、单项选择题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的） 1. 已知集合 2 =ln(1) ,20Mx yxNxxx，则MN （） A0 +（ ， ）B(2 +， ）C0,1D1,2 2. 复数z在复平面内对应点的点是( 1,1)，则复数 1 i z （i是虚数单位）的虚部为
2、（） A 2 5 i B 2 5 C 1 5 D 1 5 i 3.ABC中， “ 6 B ”是“ 1 sin 2 B ”的（） A 必要不充分条件B充分不必要条件 C 充要条件D既不充分也不必要条件 4. 已知 1 3 2 log 23 1 log 5,( ),log 6 2 abc，则（） AcbaBcabCbcaDbac 5. 公差不为 0 的等差数列an中，它的前 31 项的平均值是 12，现从中抽走 1 项，余下的 30 项的 平均值仍然是 12，则抽走的项是（） Aa12Ba14Ca16Da18 6. 如图是一个装有水的倒圆锥形杯子，杯子口径 6cm，高 8cm（不含杯脚） ，已 知
3、水的高度是 4cm，现往杯子中放入一种直径为 1cm 的珍珠，该珍珠放入水 中后直接沉入杯底，且体积不变如果放完珍珠后水不溢出，则最多可以放 入珍珠（） A98 颗B106 颗C120 颗D126 颗 7. 已知函数 f （x） ? ?，? ? ? ? ? ? ? ? ?，? t ? （aR） 在 R 上没有零点， 则实数 a 的取值范围是 （） A （1，+）?B （0，+）C ? ，?D ? ，? 8已知 F 是椭圆? ? ? ? ? ? ? ?的一个焦点，若直线 ykx 与椭圆相交于 A，B 两点，且 AFB120，则椭圆离心率的取值范围是（） A ? ? ，?B?， ? ? C? ?
4、? ，?D?， ? ? 二、多项选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得 5 分，部分选对的得 3 分，有选错的得 0 分） 9. 如图， 在正方体 ABCDA1B1C1D1中， M， N 分别为棱 C1D1， C1C 的中点， 其中正确的结论为 （） A直线 AM 与 C1C 是相交直线 B直线 AM 与 BN 是平行直线 C直线 BN 与 MB1是异面直线 D直线 MN 与 AC 所成的角为 60 10. 已知Sn是公比q的正项等比数列an的前n项和， 若a1+a23， a2a416， 则下列说法正确的是 （） A
5、q2B数列Sn+1是等比数列 CS8255D数列lgan是公差为 2 的等差数列 11. 已知函数 f（x）（|sinx|cosx） （sinx+cosx） ，xR，则（） Af（x）在（0，? ?）上单调递减 Bf（x）是周期为 2的函数 Cf（x）有对称轴D函数 f（x）在（0，2）上有 3 个零点 12. 已知函数 f（x）ex+alnx，其中正确结论的是（） A当 a1 时，f（x）有最大值 B对于任意的 a0，函数 f（x）是（0，+）上的增函数 C对于任意的 a0，函数 f（x）一定存在最小值 D对于任意的 a0，都有 f（x）0 三、填空题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共
6、20 分） 黄冈市部分普通高中协作体高三数学试卷（共 4 页）第 3 页黄冈市部分普通高中协作体高三数学试卷（共 4 页）第 4 页 13. 已知向量? ?，? ? 的夹角为 60，|? ?|2，|? ? |? ?，则|? ? 2? ? | 14. 已知直线yxm与圆 22 4xy相交于AB、两点O，为坐标原点， ? ? ? ? ? ? 且AOB 的面积为3，则实数=m. 15. 综合实践课中，小明为了测量校园内一棵樟树的高度，如图，他选取了与 樟树树根部 C 在同一水平面的 A、B 两点（B 在 A 的正西方向） ，在 A 点测得樟 树根部 C 在西偏北 30的方向上，步行 40 米到 B
7、处，测得树根部 C 在西偏北 75的方向上，树梢 D 的仰角为 30，则这棵樟树的高度为米. 16. 四棱锥 PABCD 各顶点都在球心为 O 的球面上，且 PA平面 ABCD，底面 ABCD 为矩形，PA AB2，AD4，则球 O 的体积是；设 E、F 分别是 PB、BC 中点，则平面 AEF 被球 O 所截得 的截面面积为 四、解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 17. 已知 2 1 ( 3sin, ),(cos,12cos) 2 222 xxx mn, 函数 ? ? ? ? ? （1）求函数 f（x）的最小正周期； （2）将函数 yf（x）的
8、图象上的各点_得到函数 yg（x）的图象，当 ? ? ? ? ， ? ? 时， 方程 g（x）a 有解，求实数 a 的取值范围 在以下、中选择一个，补在（2）中的横线上，并加以解答，如果、都做，则按给分. 向左平移? ? 个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半； 纵坐标保持不变，横坐标缩小为原来的一半，再向右平移? ?个单位 18. 已知等差数列an的前 n 项和为 Snpn2+n+q， p， qR， nN+， 且 a36 数列bn满足 an2log2bn （1）求 p、q 的值； （2）设数列（1）n（an+bn）的前 2n 项和为 T2n，证明：T2nt3 19. 在ABC 中，
9、a，b，c 分别为角 A，B，C 所对的边，且满足 2sin2 ? ? ?cos2A1， （1）求角 A 的大小； （2）若 a?，? ? ? ? ?3，A 的平分线交边 BC 于点 T，求 AT 的长 20. 如图，在四棱锥 PABCD 中，四边形 ABCD 为菱形，BAD60，PAD 为正三角形，平面 PAD 平面 ABCD，且 E，F 分别为 AD，PC 的中点 （1）求证：DF平面 PEB； （2）求直线 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值 21. 如图，点 C 为某沿海城市的高速公路出入口，直线 BD 为海岸线，? ? ? ?，BDAB， ? ?是以 A 为圆心，半径为 1km 的
10、圆弧型小路该市拟修建一条从 C 通往海岸的观光专线? ? ?h，其中 P 为? 上异于 B，C 的一点，PQ 与 AB 平行，设? ? ? ? ? （1）证明：观光专线? ? ?h 的总长度随的增大而减小； （2）已知新建道路 PQ 的单位成本是翻新道路? ?的单位成本的 2 倍当取 何值时，观光专线? ? ?h 的修建总成本最低？请说明理由 22. 已知曲线 f（x）（x3）ex+a（2lnxx） （其中 e 为自然对数的底数）在 x1 处的切线方程为 y（1e）x+b （1）求 a，b 值； （2）证明：f（x）存在唯一的极大值点 x0，且2e? ? f（x0）5 2020 年秋季黄冈市部
11、分普通高中协作体 12 月份联考 高三数学试卷参考答案 1.D = 1,(0,2)MN（），1,2MN （） 2.B ( 2)12 1, 12( 2)( 2)55 iiii zii ziii ,虚部为 2 5 3. B ABC中， 15 sin 266 BBB 或，“ 6 B ”是“ 1 sin 2 B ”的充分不必要条件 4. D 1 3 2 log 23 1 2log 53,( )3,1log 62 2 bac 5. C S31= 31(1+31) 2 = 31a163112，a1612，从中抽走 1 项，余下的 20 项的平均值 仍然是 12，则抽走的项 3112301212a16 6.
12、D 作出在轴截面图如图，由题意，OP8，O1P4， OA3，设 O1A1x，则4 8 = 3，即 x= 3 2 则最大放入珍珠的体积 V= 1 3 3 2 8 1 3 （ 3 2） 2 4 = 21 一颗珍珠的体积是4 3 (1 2) 3 = 6由 21 6 = 126最多可以放入珍珠 126 颗 7. A 设 g（x）= 2 ， 0 1 2(+1)， 0 , 图象如图， 已知问题可以转化为 g（x） 图象与函数 y=a 图象没有交点， 数形结合可得 a1 或 a=0 8. C 连接 A，B 与左右焦点 F，F的连线，由AFB120， 由椭圆及直线的对称性可得四边形 AFBF为平行四边形，FA
13、F60， 在三角形 AFF中，FF2AF2+AF22AFAFcosFAF（AF+AF）23AFAF， 所以（AF+AF）2FF23AFAF 3(+ 2 )2，即1 4（AF+AF） 2FF2， 即1 44a 24c2，可得 e= 1 2，所以椭圆的离心率e 1 2，1） 9. CD 在 A 中，直线 AM 与 C1C 是异面直线，故 A 错误；在 B 中，直线 AM 与 BN 是异面直线，故 B 错 误；在 C 中，直线BN 与 MB1是异面直线，故 C 正确；MN/CD1, 1 ACD是等边三角形，直线 MN 与AC 所成的角为 60，D 正确 10. ABC 公比 q 为正数a34，a1q
14、24，又 a1+a1q3，解得 a11， q2an2n-1，Sn= 1(12) 12 =2n 1Sn+12n，数列Sn+1是公比为 2 的等比数列S8281255lgan（n-1）lg2，数列lgan是 公差为 lg2 的等差数列 11.BD 作出函数 f（x） = 2，2 +2 1 sin2， + 2 2 +2的图象， 由图，函数 f（x）在（0， 3）上单调递增，故 A 错误；f（x+2）f（x） ，所以函数 f（x）的周期为 2， 故 B 正确；无对称轴，C 错误，在（0，2）上有 3 个零点，D 正确 12. BC 当 a1 时，f（x）ex+lnx，易知函数f（x）在（0，+）上单调
15、递增，无最大值，故A 错误， 对于任意的 a0，函数 f（x）是（0，+）上的增函数，当 x0 时，ex1，lnx，故 f（x）， 故 B 正确，D 错误，对于任意的 a0，() = + ，易知 f （x）在（0，+）单调递增， 当 x+时，f（x）+，当 x0 时，f（x），存在 f （x0）0， 当 0 xx0时，f（x）0，函数单调递减，x0 x+，f（x）0，函数单调递增， f（x）minf（x0） ，故C 正确 13. 2 | 2 | 2= 2+424 =4+4421cos600=4,| 2 |=2 14. 2 13 2 2 sin= 3sin= 22 AOB SAOBAOB ， 3
16、. .12 分 19. 解： （1）2sin2+ 2 +cos2A1，即为 cos2Acos（B+C）0，.2 分 可得 2cos2A+cosA10，解得 cosA= 1 2 或 cosA=1（舍去） ，. 4 分 由 0A，可得 A= 3； . 6 分 （2） = 3，即为 cbcos2 3 = 3，可得 bc6， 由 a2b2+c22bccosA（b+c）22bcbc7， 可得 b+c= 7 +3 6 =5 .9 分 由 SABC=SABT+ SACT得，1 2bcsin60 0=1 2bATsin30 0+1 2c ATsin30 0 AT= 600 (+)300 = 63 2 51 2
17、 = 63 5 .12 分 20. （1）证明：取 PB 中点 G，因为 F 是 PC 中点，FGBC，且FG= 1 2BC E 是 AD 的中点，则 DEBC，且DE= 1 2BCFGDE，且 FGDE 四边形 DEGF 是平行四边形，DFEG 又DF平面 PEB，EG平面 PEB，DF平面 PEB .4 分 （2）解：E 是正三角形 PAD 边为 AD 的中点，PEAD 平面 PAD平面ABCD，平面 PAD平面 ABCDAD，PE平面 PAD， PE平面 ABCD，四边形 ABCD 为菱形，BAD60， 正三角形 BAD 中，BEAD， 以 E 为原点，EA，EB，EP 分别为 x，y，
18、z 轴建立空间直角坐标系.6 分 不妨设菱形 ABCD 的边长为 2，则 AEED1，PA2， PE= 3，BE= 22= 3， 则点(0，0， 0) ，(1，0， 0) ，(2， 3 ， 0) ， (0，0， 3) ，(1， 3 2 ， 3 2 )， =（1，3，0） ， =（1，0，3） ， .8 分 设平面 PDC 的法向量为 =（x，y，z） ， 则 = 0 = 0 ，即 +3= 0 +3 = 0，解得 = 3 = 3， 不妨令 z1，得 =（3，1，1） ； .10 分 又 = (1， 3 2 ， 3 2 )，设 EF 与平面 PDC 所成角为 ， = | ， |=3 55 2 =
19、6 5 EF 与平面 PDC 所成角的正弦值为 6 5 .12 分 21. （1）证明：由题意， = 4 ，所以 = 4 ， 又 PQABAPcos1cos， .2 分 观光专线的总长度 () = 4 +1 = + 4 +1，0 4， .4 分 当0 4时，f（）1+sin0，f（）在(0， 4)上单调递减， 即观光专线 的总长度随 的增大而减小.6 分 （2）解：设翻新道路的单位成本为 a（a0） ，则总成本 () = ( 4 +22) = ( 2+ 4 +2)，0 4，.7 分 g（）a（1+2sin） ， .8 分 令 g（）0，得 = 1 2，因为0 4，所以 = 6， .9 分 当0
20、 6时，g（）0，g（）单调递减； 当 6 4时，g（）0，g（）单调递增， 所以，当 = 6时，g（）取得最小值， .11 分 故当 = 6时，观光专线 的修建总成本最低 12 分 22. 解： （1）f（x）（x3）ex+a（2lnxx） ，f（x）（x2）ex+a（2 1） ， 故 f（1）e+a1e，解得：a1， 2 分 故 f（x）（x3）ex+2lnxx，f（1）2e1， 故切线方程是：y（1e）xe2，故 be2； 4 分 （2）证明：f（x）（x2） （ex 1 ） ， （x0）, 5 分 令 h（x）ex 1 ，显然h（x）在（0，+）递增， 而 h（1 2）0，h（1）0，
21、故x0（ 1 2，1） ，使得 h（x0）0， 即0= 1 0，则 lnx0 x0， 7 分 故 x（0，x0）时，f （x）0，f（x）递增，x（x0，2）时，f （x）0，f（x）递减， x（2，+）时，f （x）0，f（x）递增，故 x0是 f（x）唯一的极大值点，9 分 且 f（x0）（x03）0+2lnx0 x01 3 0 3x012 3 0 30= 5，10 分 令 g（x）1 3 3x，x（1 2，1） ，则 g（x）= 3(12) 2 0， g（x）在（1 2，1）递增，故 g（x）g（ 1 2）6.52e 6 5， 综上，f（x）存在唯一的极大值点 x0，且2e6 5 f（x0）5 12 分
