1、 高中数学必修高中数学必修 4 知识点总结知识点总结 平面向量平面向量 知识点归纳知识点归纳 新疆新疆 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 新疆新疆 一一.向量的基本概念与基本运算向量的基本概念与基本运算 1 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆向量的概念： 向量：既有大小又有方向的量 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆
2、向量一般用 cba ,来表示，或用有向线段的起点与终 点的大写字母表示，如：AB 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆几何表示法 AB，a ；坐标表示法),(yxyjxia 奎屯 王新敞 新疆 向 量的大小即向量的模（长度） ，记作|AB| 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆即向量的大小，记作a 奎屯 王新敞 新疆 向量不能比较大小，但向量的模可以比较大小 零向量： 长度为 0 的向量， 记为0 ，
3、 其方向是任意的，0 与任意向量平行 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆零向量a 0 a 0 奎屯 王新敞 新疆 由于0的方向是任意的，且规定0平行于任何向量，故在有关向量平行（共线） 的问题中务必看清楚是否有“非零向量”这个条件 （注意与（注意与 0 的区别）的区别） 单位向量：模为 1 个单位长度的向量 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 向量 0 a 为单位向量 0 a 1 奎屯 王新敞 新
4、疆 平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆任意一组平行向量都可以移到同一 直线上 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆方向相同或相反的向量，称为平行向量 奎屯 王新敞 新疆记作a b 奎屯 王新敞 新疆由于向量可以进行任意的平移 (即自由向量)，平行向量总可以平移到同一直线上，故平行向量也称为共线向量 奎屯 王新敞 新疆 数学中研究的向量是自由向量，只有大
5、小、方向两个要素，起点可以任意选取，现在必 须区分清楚共线向量中的“共线”与几何中的“共线” 、的含义，要理解好平行向量中的“平 行”与几何中的“平行”是不一样的 相等向量：长度相等且方向相同的向量 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆相等向量经过平移后总可以重合，记为 ba 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆大 小相等，方向相同),(),( 2211 yxyx 21 21 yy xx 新疆新疆 源
6、头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 2 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆向量加法 求两个向量和的运算叫做向量的加法 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 设,ABa BCb，则a +b=ABBC=AC 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小
7、屋源头学子小屋 新疆新疆 （1）aaa 00； （2）向量加法满足交换律与结合律； 向量加法有“三角形法则”与“平行四边形法则” ： （1）用平行四边形法则时，两个已知向量是要共始点的，和向量是始点与已知向量的 始点重合的那条对角线，而差向量是另一条对角线，方向是从减向量指向被减向量 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 （2） 三角形法则的特点是“首尾相接” ，由第一个向量的起点指向最后一个向量的终 点的有向线段就表示这些向量的和；差向量是从减向量的终点指向被减向量的终点 新疆新疆 源头学子小屋
8、源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 当两个向量的起点公共时，用平行四边形法则；当两向量是首尾连接时，用三角形法 则向量加法的三角形法则可推广至多个向量相加： ABBCCDPQQRAR，但这时必须“首尾相连” 3 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆向量的减法 相反向量：与a 长度相等、方向相反的向量，叫做a 的相反向量 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源
9、头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 记作a ,零向量的相反向量仍是零向量 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 关于相反向量有： （i）)( a =a ； (ii) a +(a )=(a )+a =0 ； (iii)若a 、b 是互为相反向量，则a =b ,b =a ,a +b =0 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 向量减法：向量a 加上b 的相反向量叫做a 与b 的差， 记作：)( baba 新
10、疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆求两个向量差的运算，叫做向量的减法 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 作图法：ba 可以表示为从b 的终点指向a 的终点的向量（a 、b 有共同起点） 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 4 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞
11、王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆实数与向量的积： 实数与向量a 的积是一个向量，记作a ，它的长度与方向规定如下： （）aa ； （）当0时，a 的方向与a 的方向相同；当0时，a 的方向与a 的方向相 反；当0时，0 a，方向是任意的 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 数乘向量满足交换律、结合律与分配律 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 5 新疆新疆 源头学子小屋
12、源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆两个向量共线定理： 向量b 与非零向量a 共线有且只有一个实数，使得b =a 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 6 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆平面向量的基本定理： 平面向量的基本定理： 如果 21,e e 是一个平面内的两个不共线向量，那么对这一平面内的任一向量a ，有且只 有
13、一对实数 21, 使： 2211 eea ，其中不共线的向量 21,e e 叫做表示这一平面内所有 向量的一组基底 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 7 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 特别注意: （1）向量的加法与减法是互逆运算 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 （2）相等向量与平行向量有
14、区别，向量平行是向量相等的必要条件 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 （3）向量平行与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合） ，而向量平行则包括共线 （重合）的情况 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 （4）向量的坐标与表示该向量的有向线条的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位置 有关 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源
15、头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 学习本章主要树立数形转化和结合的观点，以数代形，以形观数，用代数的运算处理几 何问题，特别是处理向量的相关位置关系，正确运用共线向量和平面向量的基本定理，计算 向量的模、两点的距离、向量的夹角，判断两向量是否垂直等 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆由于向量是一新的工具，它 往往会与三角函数、数列、不等式、解几等结合起来进行综合考查，是知识的交汇点 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源
16、头学子小屋 新疆新疆 例例 1 给出下列命题： 若|a|b|，则a=b； 若 A，B，C，D 是不共线的四点，则ABDC是四边形 ABCD 为平行四边形的充要 条件； 若a=b，b=c，则a=c， a=b的充要条件是|a|=|b|且a/b； 若a/b，b/c，则a/c， 其中正确的序号是 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 解：不正确两个向量的长度相等，但它们的方向不一定相同 正确 ABDC， | |ABDC且/ABDC， 又 A， B， C， D 是不共线的四点， 四边形 ABCD 为平行四边
17、形； 反之， 若四边形 ABCD 为平行四边形，则，/ABDC且| |ABDC， 因此，ABDC 正确 a=b， a，b的长度相等且方向相同； 又bc， b，c的长度相等且方向相同， a，c的长度相等且方向相同，故ac 不正确当a/b且方向相反时，即使|a|=|b|，也不能得到a=b，故|a|=|b| 且a/b不是a=b的充要条件，而是必要不充分条件 不正确考虑b=0这种特殊情况 综上所述，正确命题的序号是 点评：本例主要复习向量的基本概念向量的基本概念较多，因而容易遗忘为此，复 习一方面要构建良好的知识结构， 另一方面要善于与物理中、 生活中的模型进行类比和联想 例例 2 设 A、B、C、D
18、、O 是平面上的任意五点，试化简： ABBCCD，DBACBD OAOCOBCO 解：原式= ()ABBCCDACCDAD 原式= ()0DBBDACACAC 原式= ()()()0OBOAOCCOABOCCOABAB 例例 3 设非零向量a、b不共线，c=ka+b，d=a+kb (kR)，若cd，试求 k 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 解：cd 由向量共线的充要条件得：c =d (R) 即 ka+b=(a+kb) (k) a + (1k) b = 0 又a、b不共线 由平面向量的基本定理
19、 1 01 0 k k k 二二.平面向量的坐标表示平面向量的坐标表示 1 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆平面向量的坐标表示： 在直角坐标系中， 分别取与 x 轴、 y 轴方向相同的两个单位向量 , i j 作为基底 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆由平面向量的基本定理知， 该平面内的任一向量a可表示成a xiyj， 由于a与 数对(x,y)是一一对应的，因此把(x,y)叫做向量a的坐标，记
20、作a=(x,y)，其中 x 叫作a在 x 轴 上的坐标，y 叫做在 y 轴上的坐标 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 (1)相等的向量坐标相同，坐标相同的向量是相等的向量 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 (2)向量的坐标与表示该向量的有向线段的始点、终点的具体位置无关，只与其相对位 置有关 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源
21、头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 2 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆平面向量的坐标运算： (1) 若 1122 ,ax ybxy，则 1212 ,abxxyy (2) 若 2211 ,yxByxA，则 2121 ,ABxx yy (3) 若a=(x,y)，则a=(x, y) (4) 若 1122 ,ax ybxy，则 1221 /0abx yx y (5) 若 1122 ,ax ybxy，则 1212 a bx xyy 若ab，则0 2121 yyxx 3 奎屯 王新敞 新疆向量的运算向量的
22、加减法，数与向量的乘积，向量的数量（内积）及其各运算的坐标表示 和性质 运 算 类 型 几何方法 坐标方法 运算性质 向 量 的 加 法 1 奎屯 王新敞 新疆平行四边形法则 2 奎屯 王新敞 新疆三角形法则 1212 (,)a bxx yy abba )()(cbacba ABBCAC 向 量 的 减 法 三角形法则 1212 (,)a bxx yy )( baba ABBA OBOAAB 向 量 的 乘 法 a 是一个向量, 满足: 0时,a 与a 同向; 0时,a 与a 异向; =0 时, a =0 奎屯 王新敞 新疆 ),(yxa aa )()( aaa )( baba )( a ba
23、b 向 量 的 数 量 积 ba 是一个数 0 a或0 b时, ba =0 0 a且0 b时, bababa ,cos| 1 212 a bx xy y abba )()()(bababa cbcacba )( 22 | aa , 22 |yxa |baba 例例 1 已知向量(1,2),( ,1),2abxuab，2vab，且/uv，求实数x的值 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 解：因为(1,2),( ,1),2abxuab，2vab 所以(1,2)2( ,1)(21,4)uxx，2(1,
24、2)( ,1)(2,3)vxx 又因为/uv 所以3(21)4(2)0 xx，即105x 解得 1 2 x 例例 2 已知点) 6 , 2(),4 , 4(),0 , 4(CBA,试用向量方法求直线AC和OB（O为坐标原点）交 点P的坐标 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 解：设( , )P x y，则( , ),(4, )OPx y APxy 因为P是AC与OB的交点 所以P在直线AC上，也在直线OB上 即得/,/OPOB APAC 由点) 6 , 2(),4 , 4(),0 , 4(CBA
25、得，( 2,6),(4,4)ACOB 得方程组 6(4)20 440 xy xy 解之得 3 3 x y 故直线AC与OB的交点P的坐标为(3,3) 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 三平面向量的数量积三平面向量的数量积 1 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆两个向量的数量积： 已知两个非零向量a与b，它们的夹角为，则ab=a bcos 叫做a与b的数量积（或内积） 新疆新疆 源头学子小屋源头学
26、子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 规定0 0a 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 2 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆向量的投影：b cos= | a b a R，称为向量b在a方向上的投影 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆
27、新疆投影的绝对值称为射 影 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 3 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆数量积的几何意义： ab 等于a的长度与b在a方向上的投影的乘积 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 4 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特
28、级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆向量的模与平方的关系： 22 |a aaa 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 5 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆乘法公式成立： 2 2 22 abababab； 2 22 2abaa bb 2 2 2aa bb 6 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆平
29、面向量数量积的运算律： 交换律成立：a bb a 对实数的结合律成立： aba babR 分配律成立： abca cb c cab 特别注意： （1）结合律不成立： ab ca bc； （2）消去律不成立a ba c不能得到bc （3）a b=0不能得到a=0或b=0 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 7 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆两个向量的数量积的坐标运算： 已知两个向量 1122 (
30、 ,),(,)ax ybxy，则ab= 1212 x xy y 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 8 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 向 量 的 夹 角 ： 已 知 两 个 非 零 向 量a与b， 作OA=a, OB=b, 则 AOB= （ 00 1800）叫做向量a与b的夹角 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源
31、头学子小屋 新疆新疆 cos=cos, a b a b ab = 2 2 2 2 2 1 2 1 2121 yxyx yyxx 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 当且仅当两个非零向量a与b同方向时，=00，当且仅当a与b反方向时=1800，同时0 与其它任何非零向量之间不谈夹角这一问题 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 9 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王
32、新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆垂直：如果a与b 的夹角为 90 0则称a 与b垂直，记作ab 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 10 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆两个非零向量垂直的充要条件： a b a b O0 2121 yyxx 奎屯 王新敞 新疆平面向量数量积的性质 例例 1 1 判断下列各命题正确与否： （1）00a； （2）00a； （3）若0,
33、aa ba c，则bc； 若a ba c，则bc当且仅当0a 时成立； （5）()()a bcab c对任意, ,a b c向量都成立； （6）对任意向量a，有 2 2 aa 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 解：错； 对； 错； 错； 错；对 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 例例 2 2 已知两单位向量a与b的夹角为 0 120，若2,3cab dba，试求c与d的 夹角 新疆新疆 源头学
34、子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 解：由题意，1ab，且a与b的夹角为 0 120， 所以， 0 1 cos120 2 a ba b ， 2 cc c(2) (2)abab 22 447aa bb， 7c， 同理可得13d 而c d 22 17 (2) (3)732 2 abbaa bba ， 设为c与d的夹角， 则 182 9117 1372 17 cos 182 9117 arccos 点评：向量的模的求法和向量间的乘法计算可见一斑 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新
35、敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 例例 3 3 已知4,3a ，1,2b ，,mab2nab，按下列条件求实数的 值 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 （1）mn； （2）/mn；(3) mn 解：4,32,mab27,8nab （1）mn082374 9 52 ； （2）/mn072384 2 1 ； (3) mn0884587234 222 22 5 1122 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆 点评：此例展示了向量在坐标形式下的基本运算 新疆新疆 源头学子小屋源头学子小屋 特级教师特级教师 王新敞王新敞 王新敞王新敞 特级教师特级教师 源头学子小屋源头学子小屋 新疆新疆
