1、 徐州市徐州市 20192019- -20202020 学年度第一学期期末抽测学年度第一学期期末抽测 高二年级数学试题高二年级数学试题 一、单项选择题：本题共一、单项选择题：本题共 8 8 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 4040 分，在每小题给出的四个分，在每小题给出的四个 选项中，只有一项是符合题目要求的。选项中，只有一项是符合题目要求的。 1. 命题“0 x，使得01 2 xx”的否定是( ) . A0 x,01 2 xx .B0 x,01 2 xx .C0 x,01 2 xx .D0 x,01 2 xx 【答案】C 2. 不等式1 2 1 x 的解集是( ) . A)3
2、 ,( .B), 2 （ .C), 3()2 ,( .D)3 , 2（ 【答案】C 3. 等差数列 n a前n项和为 n S，若8 14 a，9 9 S，则 18 S( ) . A162 .B1 .C3 .D81 【答案】D 4. 若平面,的法向量分别为)4 , 2 , 1(a ,)2, 1,( xb ,且,则x的值为( ) . A10 .B10 .C 2 1 .D 2 1 【答案】B 5. 已知方程1 25 22 m y m x 表示焦点在y轴上的椭圆，且焦距为2，则m的值为( ) . A4 .B5 .C7 .D8 【答案】A 6. 有同学用石子在沙滩上摆成各种形状来 研究数，如图 1 和图
3、 2 所示. 图 1 中的 1,3,6,10，由于这些数能够表示成 三角形，将其称为三角形数；类似地， 称图 2 中的 1,4,9,16，这样的数为 正方形数.下列数中既是三角形数又是正 方形数的是( ) . A289 .B1225 .C1024 .D1378 【答案】B 7. 已知ba,都是实数，那么“ba ”是“balnln”的( ) . A充分不必要条件 .B必要不充分条件 .C充要条件 .D既不充分也不必要条件 【答案】B 8.蒙娜丽莎是意大利文艺复兴时期画家列奥纳多达芬奇创作的油画，现收藏于法国罗 浮宫博物馆.该油画规格为：纵 77cm，横 53cm.油画挂 在墙壁上的最低点处B离地
4、面 237cm(如图所示).有一 身高为 175cm 的游客从正面观赏它(该游客头顶T到眼 睛C的距离为 15cm)，设该游客离墙距离为 xcm，视角 为.为使观赏视角最大，x 应为( ) . A77 .B80 .C100 .D277 【答案】D 二、多项选择题：本题共二、多项选择题：本题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。在每小题给出的选项分。在每小题给出的选项 中，有多项符合题目要求。全部选对的得中，有多项符合题目要求。全部选对的得 5 5 分，部分选对的得分，部分选对的得 3 3 分，有选分，有选 错的得错的得 0 0 分。分。 9. 下列说法正确的
5、有( ) . A若ba ，则 22 bcac .B若 22 c b c a ，则ba .C若ba ，则 ba 22 .D若ba ，则 22 ba 【答案】BC 10.若双曲线C的一个焦点)0 , 5(F，且渐近线方程为 xy 3 4 ，则下列结论正确的是( ) . AC的方程为1 169 22 yx .BC的离心率为 4 5 .C焦点到渐近线的距离为3 .D两准线间的距离为 5 18 【答案】AD 11.等差数列 n a的前n项和为 n S， 若0 1 a， 公差0d， 则下列命题正确的是( ) . A若 95 SS ，则必有0 14 S .B若 95 SS ，则必有 7 S是 n S中最大的
6、项 .C若 76 SS ，则必有 87 SS .D若 76 SS ，则必有 65 SS 【答案】A BC 12.下列命题中正确的是( ) .ANMBA,是空间中的四点，若BNBMBA,不能构成空间基底，则NMBA,共面 .B已知,cba 为空间的一个基底，若cam ，则,mba 也是空间的基底 .C若直线l的方向向量为)3 , 0 , 1 (e ，平面的法向量为) 3 2 , 0 , 2(n ，则直线/l .D若直线l的方向向量为)3 , 0 , 1 (e ， 平面的法向量为)2 , 0 , 2(n ， 则直线l与平面 所成角的正弦值为 5 5 【答案】ABD 三、填空题：本题共三、填空题：本
7、题共 4 4 小题，每小题小题，每小题 5 5 分，共分，共 2020 分。分。 13.若数列 n a满足1 1 a，1 1 naa nn ，则数列 1 n a 前项10的和为 . 【答案】 11 20 14.在长方体 1111 DCBAABCD 中，3 BCAB，5 1 AA，则 11 ACAB . 【答案】34 15.若P是抛物线:Cxy2 2 上一点，F为抛物线C的焦点，点A)2 , 2 7 (，则PFPA取最 小值时点P的坐标为 . 【答案】 )2 , 2( 16.已知正项等比数列 n a满足 201920182020 2aaa，若存在两项 nm aa ,使得 1 4aaa nm ，
8、则 mn mn4 的最小值是 ，此时 22 nm . 【答案】 2 3 20 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 6 小题，共小题，共 7070 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算分。解答应写出文字说明、证明过程或演算 步骤。步骤。 17.(10 分)已知:p032| 2 xxxA，:q0,| 22 mmxxB. （1）若2m，求BA； （2）若P是q的充分条件，求m的取值范围. 【解】 （1）由题意，得13Axx 当2m时，22Bxx 2 分 所以， 12ABxx 4 分 （2）由已知，p是q的充分条件，则AB 6 分 又Bxmxm 8 分 所以 1 3 m m 解得，3m ， 所
9、以m的取值范围是3m 10 分 18.(12 分)已知函数2)( 2 bxaxxf，且不等式0)(xf的解集是)2 , 3(. （1）求ba的值； （2）若不等式cxxxf 2 3)(3对于 1 , 1x恒成立，求实数c的取值范围. 【解】 （1）因为不等式 2 20axbx的解集是3,2 所以0a且 2 20axbx的解是 12 3,2xx ，2 分 所以 321 2 ( 3) 26 b a a ，所以， 1 3 ab ， 4 分 所以， 2 3 ab 6 分 （2）因为cxxxf 2 3)(3对于 1 , 1x恒成立 所以 2 11 2 1 2622 2 2 xxxc对1,1x 恒成立，
10、8 分 当1,1x 时， 2 11 2 11 2 1 2622 2 2 xxx ， 所以 2 11 )622( min 2 xx ， 10 分 所以 11 2 c12 分 19.(12 分)设 n S为等差数列 n a的前n项和，已知6 3 a，且 77 4aS . (1)求数列 n a的通项公式；(2)设 n n n a b 2 ，求数列 n b的n项和 n T. 【解】 （1）由已知， 3 6a ，且 77 4Sa， 所以 1 2,2ad，2 分 所以2 n an 4 分 （2）由（1）知， 1 2 222 n n nnn ann b ，6 分 所以， 0231 1234 22222 n
11、n n T 231 11231 222222 n nn nn T ， 两式相减得， 021 11111 222222 n nn n T 4 分 所以 2321 1 2 1 2 11112242 214 1 2222222 1 2 n n nnnn nnn T 所以 1 422 44 22 n nn nn T 12 分 20.(12 分)已知动点),(yxP)0( x到定点)0 , 1 (的距离比它到y轴的距离大1. （1）求动点P的轨迹E的方程； （2）设点)0 ,(mQ(m为常数)，过点Q作斜率分别为 21,k k的两条直线 1 l与 2 l， 1 l交曲 线E于BA,两点， 2 l交曲线E
12、于DC,两点，点NM,分别是线段CDAB,的中点，若 1 21 kk，求证：直线MN过定点. 【解】 （1）因为点P到定点(1,0)的距离比它到y轴的距离大 1， 所以，点P到定点(1,0)的距离等于它到1x 的距离， 所以点P的轨迹是以(1,0)为焦点，1x 为准线的抛物线， 所以，动点P的轨迹E的方程为 2 4yx 4 分 （2）由题意，直线AB的方程为 1( )yk xm， 设 1122 (,),(,)A x yB xy，由 1 2 () 4 yk xm yx ，得 2 11 440k yyk m ， 所以 1212 1 4 ,4yyy ym k ， 6 分 又线段AB的中点为M，所以
13、2 11 22 ,Mm kk ，同理 2 22 22 ,Nm kk 8 分 所以 12 12 12 MN MN MN yyk k kk k xxkk ， 所以直线 12 2 11 22 :MN yk kxm kk ， 即 12( )2yk kxm 10 分 所以，直线MN过定点( ,2)m 12 分 21.(12 分)如图，在三棱锥ABCP中，已知BCAC ，aBCAC2，平面PAB平 面ABC，点DO,分别是PBAB,的中点， ABPO ，连接CD. （1）若aPA2，并异面直线PA与CD 所成角的余弦值的大小； （2）若二面角CPBP的余弦值的大小 为 5 5 ，求PA的长. 【解】 （1
14、）连结 OC平面 PAB平面 ABC，POAB，PO平面 ABC，所以 POOC AC=BC，点 O 是 AB 的中点，OCAB且2OAOBOCa 如图，建立空间直角坐标系Oxyz2 分 2PAa，2POa (0,2 ,0)Aa，(0, 2 ,0)Ba，( 2 ,0,0)Ca， z y x D O A B C P (0,0, 2 )Pa， 22 (0,) 22 aa D 4 分 从而(02 ,2 )PAaa， 22 (2,) 22 CDaaa ， 2 23 cos, 323 PA CDa PA CD aaPA CD ， 异面直线 PA 与 CD 所成角的余弦值的大小为 3 3 6 分 （2）设
15、POh，则(0,0, )Ph POOC，OCAB，OC平面 PAB 从而( 2 ,0,0)OCa是平面 PAB 的一个法向量8 分 不妨设平面 PBC 的一个法向量为( , , )nx y z， (02 ,)PBah，( 22 ,0)BCaa， 0, 0. n PB n BC 2, . ayhz xy 不妨令 x=1，则 y=1， 2a z h ，则 2 (1,1,) a n h 10 分 由已知，得 2 2 52 5 2 22 OC n a OC na a h ，化简，得 22 2 3 ha 2222 22 6 2 33 PAPOOAaaa 12 分 22.(12 分)在直角坐标系xOy中，
16、 已知椭圆:C1 2 2 2 2 b y a x )0(ba的上顶点坐标为)2 , 0(， 离心率为 2 2 .（1）求椭圆的标准方程； （2）若椭圆上的点P的横坐标为2，且位于第 一象限，点P关于x轴的对称点为点Q，BA,是位于直线PQ异侧的椭圆上的动点. 若直线AB的斜率为 2 1 ，求四边形APBQ面积的最大值； 若动点BA,满足BPQAPQ，试探求直线AB的斜率是否为定值？说明理由. 【解】 （1）由题意 2 2, 2 c be a ，可得 222 8,4abc， 则椭圆的标准方程为 22 1 84 xy . 2 分 （2）由（1）可得P点坐标为(2, 2)P，则(2,2)Q. 设直线
17、AB方程为 1 : 2 AB lyxm，联立椭圆方程 22 1 84 xy ， 化简可得 22 3 2280 2 xmxm， 设 1122 (,),(,)A x yB xy，则 2 1212 4416 , 33 mm xxx x ， 22 2 121212 1114 2 68 68 6 ()42 2 222333 APBQ mm SPQ xxPQxxx x 所以当0m 时，四边形APBQ面积最大值为 8 6 3 . 6 分 由题意，因为APQBPQ ，则直线AP斜率与直线BP斜率互为相反数. 设直线AP的方程为:2(2) AP lyk x，联立椭圆方程 22 1 84 xy ， 化简可得 2222 12(4 28)88 240kxkkxkk，设 1133 ( ,), (,)A x yP xy， 则 2 13 2 84 2 12 kk xx k ，又 3 2x ，所以 2 1 2 44 22 12 kk x k ， 设 22 (,)B xy ，同理可得 2 2 2 44 22 12 +kk x k ， 所以 12121212 22 8 28 ,(2)2(2)24 1212 + kk xxyyk xk xk xxk kk ， 所以直线AB的斜率 2 12 12 2 8 2 12 28 2 12 k yy k k xxk k 为定值. 12 分
