1、东城区东城区 2020-2021 学难度第一学期期末统一检测学难度第一学期期末统一检测 高三数学高三数学 2021.1 本试卷共 4 页，150 分.考试时长 120 分钟.考生务必将答案答在答题卡上，在试卷上作答无效.考试结束后， 将本试卷和答题卡一并交回. 第一部分（选择题第一部分（选择题 共共 40 分）分） 一、选择题共一、选择题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分分.在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项. 1.已知集合10Ax x ，0,1,2B ，则AB A. 0 B. 1 C. 2 D.1,2
2、2.已知 n a是公差为 d 的等差数列， n S为其前 n 项和.若 31 33Sa，则d A.2 B.1 C.1 D.2 3.下列函数中，既是奇函数，又在区间0,1上单调递增的是 A.2 x y B.lnyx C. 1 y x D.sinyx 4.将正方体去掉一个四棱锥，得到的几何体如图所示，该几何体的侧（左）视图为 A. B. C. D. 5.与圆 2 2 15xy相切于点2,2的直线的斜率为 A.2 B. 1 2 C. 1 2 D.2 6.函数 2sinf xx（0， 2 ）的部分图象如图所示，则 f A.3 B. 3 2 C. 3 2 D.3 7.设a，b是两个不同线向量，则“a与b
3、的夹角为锐角”是“ aab”的 A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件 D.既不充分又不必要条件 8.十二生肖，又叫属相，依次为鼠、牛、虎、兔、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪.现有十二生肖的吉祥 物各一个，甲、乙、丙三名同学从中各选一个，甲没有选择马，乙、丙二人恰有一人选择羊，则不同的选 法有 A.242 种 B.220 种 C.200 种 D.110 种 9.已知抛物线 2 2ypx（0p ）的焦点 F 到准线的距离为 2，过焦点 F 的直线与抛物线交于 A，B 两点， 且3AFFB，则点 A 到 y 轴的距离为（ ） A.5 B.4 C.3 D.2 10.某公园门票单
4、价 30 元，相关优惠政策如下： 10 人（含）以上团体购票 9 折优惠； 50 人（含）以上团体购票 8 折优惠； 100 人（含）以上团体购票 7 折优惠； 购票总额每满 500 元减 100 元（单张票价不优惠）. 现购买 47 张门票，合理地设计购票方案，则门票费用最少为 A.1090 元 B.1171 元 C.1200 元 D.1210 元 第二部分（非选择题第二部分（非选择题 共共 110 分）分） 二、填空题共二、填空题共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分分. 11.复数 34i i _. 12.函数 1lnf xxx 的定义域是_. 13.已知 1 si
5、n 3 ， 3 , 2 ，则cos_，cos2_. 14.已知双曲线 M： 22 22 1 xy ab （0a ，0b） ，ABC为等边三角形.若点 A 在 y 轴上，点 B，C 在双 曲线 M 上，且双曲线 M 的实轴为ABC的中位线，则双曲线 M 的离心率为_. 15.已知函数 sincos 23 xx f x ，0,2x，其中 x表示不超过 x 的最大整数. 例如： 11，0.50，0.51 . 2 3 f _； 若 f xxa对任意0,2x都成立，则实数 a 的取值范围是_. 三、解答题共三、解答题共 6 小题，共小题，共 85 分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程分，解答应写出
6、文字说明、演算步骤或证明过程. 16.（本小题 13 分） 如图，在四棱锥PABCD中，PD 平面ABCD，4PD ，底面ABCD是边长为 2 的正方形，E，F 分别为PB，PC的中点. （）求证：平面ADE 平面PCD； （）求直线BF与平面ADE所成角的正弦值. 17.（本小题 13 分） 已知函数 sin 6 g xx ， cosh xx，在从条件、条件这两个条件中选择一个作为已知，求： （） f x的最小正周期； （） f x在区间0, 2 上的最大值. 条件： f xg xh x； 条件： f xg xh x. 注：如果选择条件和条件分别解答，按第一个解答计分. 18.（本小题 14
7、 分） 为了解果园某种水果产量情况，随机抽取 100 个水果测量质量，样本数据分组为100,150，150,200， 200,250，250,300，300,350，350,400（单位：克） ，其频率分布直方图如图所示： （）用分层抽样的方法从样本里质量在250,300，300,350的水果中抽取 6 个，求质量在250,300 的水果数量； （）从（）中得到的 6 个水果中随机抽取 3 个，记 X 为质量在300,350的水果数量，求 X 的分布列 和数学期望； （）果园现有该种水果越 20000 个，其等级规则及销售价格如下表所示： 质量 m（单位：克） 200m 200300m 300
8、m 等级规格 二等 一等 特等 价格（元/个） 4 7 10 试估计果园该种水果的销售收入. 19.（本小题 15 分） 已知椭圆 C： 22 22 1 xy ab （0ab）过点2,0A ，2,0B，且离心率为 1 2 . （）求椭圆 C 的方程； （）设直线 l 与椭圆 C 有且仅有一个公共点 E，且与 x 轴交于点 G（E，G 不重合） ，ETx轴，垂足为 T，求证： TAGA TBGB . 20.（本小题 15 分） 已知函数 2 1 ex ax f x ，aR. （）若曲线 yf x在点 1,1f处的切线平行于直线yx，求该切线方程； （）若1a ，求证：当0 x时， 0f x ；
9、（）若 f x恰有两个零点，求 a 的值. 21.（本小题 15 分） 给定正整数 m， t （mt） ， 若数列 A： 12 , n a aa满足：0,1 i a ， ii t aa， 12t aaam， 则称数列 A 具有性质,E t m. 对于两个数列 B： 12 , n b bb；C： 12 , n c cc， 定义数列BC； 1122 , nn bc bcbc （）设数列 A 具有性质4,2E，数列B的通项公式为 n bn（ * nN） ，求数列AB的前四项和； （）设数列 i A（ * iN）具有性质4,Em，数列 B 满足 1 1b ， 2 2b ， 3 3b ， 4 4b 且
10、4jj bb （ * jN）.若存在一组数列 12 , k A AA，使得 12k AAAB为常数列，求出 m 所有可能的值； （） 设数列 i A（ * iN） 具有性质,1E t t （常数2t ） ， 数列 B 满足 12 1,2, t bbbt且 jj t bb （ * jN）.若存在一组数列 12 , k A AA，使得 12k AAAB为常数列，求 k 的最小值.（只需写 出结论） 东城区东城区 2020-2021 学年度第一学期期末统一检测学年度第一学期期末统一检测 高三数学高三数学参考答案及评分标准参考答案及评分标准 2021.1 一、选择题（共一、选择题（共 10 小题，每小
11、题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分）分） 1.D 2.C 3.D 4.B 5.A 6.A 7.B 8.C 9.C 10.B 二、填空题（共二、填空题（共 5 小题，每小题小题，每小题 5 分，共分，共 25 分）分） 11.43i 12.1, 13. 2 2 3 7 9 14.2 15. 4 3 3 ,2 2 三、解答题（共三、解答题（共 6 小题，共小题，共 85 分）分） 16.（共 13 分） 解： （）因为PD 平面ABCD， 所以PDAD. 因为底面ABCD是正方形， 所以ADCD. 因为PDCDD， 所以AD 平面PCD. 又因为AD 平面ADE， 所以平面ADE 平面PC
12、D. （）因为PD 底面ABCD， 所以PDAD，PDCD. 因为底面ABCD是正方形，所以ADCD. 如图建立空间直角坐标系Dxyz. 因为4PD ，底面ABCD为边长为 2 的正方形， 所以0,0,4P，2,0,0A，2,2,0B，0,2,0C，0,0,0D，1,1,2E，0,1,2F. 则2,0,0DA，1,1,2DE ，2, 1,2BF . 设平面ADE的法向量, ,mx y z， 由 0 0 m DA m DE ，可得 20 20 x xyz . 令1z ，则0 x，2y . 所以0,2, 1m . 设直线BF与平面ADE所成角为， 则 , 44 5 sincos, 1595 BF
13、m BF m BF m . 所以直线BF与平面ADE所成角的正弦值为 4 5 15 . 18.（共 14 分） 解： （）质量在250,300，300,350的该水果的频率分别为0.008 500.4， 0.004 500.2，其比为2:1， 所以按分层抽样从质量在250,300，300,350的这种水果中随机抽取 6 个， 质量在250,300的该种水果有 4 个. （）由（）可知，6 个水果中由 2 个质量在300,350， 所以 X 的所有可能取值为 0，1，2. 3 4 3 6 C1 0 C5 P X ， 21 42 3 6 C C3 1 C5 P X ， 12 42 3 6 C C1
14、 2 C5 P X . 所以 X 的分布列为 X 0 1 2 P 1 5 3 5 1 5 故 X 的数学期望 131 0121 555 E X . （）由频率分布直方图可知，质量在100,150，150,200，200,250，250,300，300,350， 350,400的该种水果的频率分别为 0.1，0.1，0.15，0.4，0.2，0.05. 所以估计 20000 个水果中，二等品有200000.1 0.14000个； 一等品有200000.150.411000个； 特等品有200000.20.055000个. 果园该种水果的销售收入为4000 4 11000 7 5000 10143
15、000 （元）. 19.（共 15 分） 解： （）依题意，得 222 2 1 2 a c a abc 解得 2 4a ， 2 3b . 所以椭圆 C 的方程为 22 1 43 xy . （）由题设知直线 l 的斜率存在，设直线 l 的方程为：ykxm（0k ）. 由 22 1 43 ykxm xy 消去 y，整理得 222 3484120kxkmxm. 依题意，有 2222 6416 3430k mkm ，解得 22 34mk. 设 1,0 G x， 00 ,E x y，则 1 m x k ， 0 2 44 34 kmk x km . 因为ETx轴，所以 4 ,0 k T m . 所以 4
16、2 422 2424 2 k TAkmmk m TBmkmkk m . 又因为 2 2 2 2 m GAmk k mGBmk k ， 所以 TAGA TBGB . 20.（共 15 分） 解： （）因为 2 ex ax x fx ，所以 11 e a f ，故ea. 所以 112 e a f . 所求切线方程为21yx，即1yx. （）当1a 时， 2 1 ex x f x ， 2 ex x x fx . 当0,2x时， 0fx；当2,x时， 0fx. 所以 f x在区间0,2上单调递减，在区间2,上单调递增. 所以 f x的最小值为 2 4 210 e f . 故0 x时， 0f x . （
17、）对于函数 2 1 ex ax f x ，aR. （i）当0a时， 0f x ， f x没有零点； （ii）当0a 时， 2 ex ax x fx . 当,0 x 时， 0fx，所以 f x在区间,0上单调递增； 当0,2x时， 0fx，所以 f x在区间0,2上单调递减； 当2,x时， 0fx，所以 f x在区间2,上单调递增. 所以 01f是 f x的极大值， 2 4 21 e a f 是 f x的极小值. 因为 2 1 11 1 11 111 e0 ee aa a a a f a ， 所以 f x在,0上有且只有一个零点. 由于 2 4 21 e a f ， 若 20f，即 2 e 4
18、a ， f x在区间0,上没有零点； 若 20f，即 2 e 4 a ， f x在区间0,上只有一个零点； 若 20f，即 2 e 4 a ，由于 01f，所以 f x在区间0,2上有一个零点. 21.（共 13 分） 解：选条件： f xg xh x； （） sincos 6 fxxx 31 sincoscos 22 xxx 2 31 sin coscos 22 xxx 3111 cos2 sin2 2222 x x 311 sin2cos2 444 xx 11 sin 2 264 x . 所以 f x的最小正周期是. （）因为0, 2 x ， 所以 5 2 666 x . 所以 1 sin
19、 21 26 x . 所以 1111 sin 2 22644 x . 当2 62 x ，即 3 x 时， f x有最大值 1 4 . 选条件： f xg xh x. （） sincos 6 f xxx 31 sincoscos 22 xxx 31 sincos 22 xx sin 6 x . 所以 f x的最小正周期是2. （）因为0, 2 x ， 所以 2 663 x . 所以 1 sin1 26 x ， 当 62 x ，即 3 x 时， f x有最大值 1. 由（）知，当0 x时， 2 exx， 所以 333 244 2 1616161 411110 e 2 e a a aaa fa a
20、a . 故 f x在区间2,4a上有一个零点. 因此 2 e 4 a 时， f x在区间0,上有两个零点. 综上，当 f x有两个零点时， 2 e 4 a . 22.（共 15 分） （）数列AB的前四项和为 A 的前四项和与 B 的前四项和之和，为2 1012. （）由题知4m，数列 i A（ iN）满足： 4jj aa ， 4jj bb （ * jN） ，所以只考虑数列 i A和 B 的前四项. 取 126 ,A AA为 1， 0， 0， 0； 1， 0， 0， 0； 1， 0， 0， 0； 0， 1， 0， 0； 0， 1， 0， 0； 0， 0， 1， 0， 可使 126 AAAB 的前四项为 4，4，4，4，所以1m成立； 取 1 A， 2 A， 3 A为 1，1，0，0；1，1，0，0；1，0，1，0，可使 123 AAAB的前四项为 4，4，4，4， 所以2m成立； 取 126 ,A AA为 1， 1， 1， 0； 1， 1， 1， 0； 1， 1， 0， 1； 1， 1， 1， 0； 1， 0， 1， 1； 1， 1， 0， 1， 可使 126 AAAB 的前四项为 7，7，7，7，所以3m成立； 当4m时， i A前四项是 1，1，1，1，所以对任意的 k， 12k AAAB不会是常数列； 综上，1m，2，3. （） 1 1 2 t t .
