1、1. 在ABC 中,B=90,A、B、C 对边分别为 a、b、c,则 a、b、c 的关系是( ) Ac 2=a2+b2 Ba2=(b+c) (b-c ) Ca2=c2-b2 Db=a+c 知识点:勾股定理 知识点的描述:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方,要正确的理解勾股定理 的条件和结论,要明确斜边和直角边在定理中的区别。 答案:B 详细解答:在ABC 中,B=90,B 的对边 b 是斜边,所以 b 2=a2+c2。a2=(b +c) (b-c ) 可变形为 b 2=a2+c2,所以选 B 1. 下列说法正确的是( ) A.若 a、b、c是ABC的三边,则a 2b2c2; B.若
2、a、b、c是 RtABC的三边,则a 2b2c2; C.若 a、b、c是 RtABC的三边, 90A,则a 2b2c2; D.若 a、b、c是 RtABC的三边, 90C,则c 2-b2a2。 答案:D 详细解答:A 是错的,缺少直角条件; B 也是错的,不明确哪一边是斜边,无法判断哪两边的平方和等于哪一边的平方; C 也是错的,既然 90A,那么 a 边才是斜边,应该是a 2c2b2 D 才是正确的, 90C,那么c 2a2+b2,即 c 2-b2a2. 2.小明量得家里新购置的彩电屏幕的长为 58cm,宽为 46cm,则这台电视机的尺寸(即电视机 屏幕的对角线长)是 ( ) A. 9 英寸
3、(23cm) B. 21 英寸(54cm) C. 29 英寸(74cm) D.34 英寸(87cm) 知识点:勾股定理的应用 知识点的描述:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。求某一条线段的长度的 一般方法是:把这条线段放在一个直角三角形中,作为三角形的边来求。 答案:C 详细解答: 如答图,四边形 ABCD 表示彩电屏幕,其长为 58cm,即 BC=58cm;宽为 46cm,即 AB=46cm。 在直角三角形 ABC 中,BC=58cm,AB=46cm,那么 AC 2=BC2+AB2=572+462=5365,所以 AC=74cm,选 C。 2.两只小鼹鼠在地下挖洞,一只朝前方挖,
4、每分钟挖 8cm,另一只朝左挖,每分钟挖 6cm, 10 分钟之后两只小鼹鼠相距( ) A. 50cm B. 80cm C. 100cm D. 140cm 答案:C 详细解答: 如答图,一只小鼹鼠从 B 挖到 C,BC=8cm10=80cm, 另一只小鼹鼠从 B 挖到 A,BA=6cm10=60cm, 由题意可知两个方向互相垂直, 所以 AC 2=AB2+BC2=602+802=10000,所以 AC=100 cm 3.已知一个三角形三个内角的比是 1:2:1,则它的三条边的比是( ) A.1:1:2 B.1:1:2 C.1:2:3 D.1:4:1 知识点:等腰直角三角形、含 30角的直角三角
5、形 知识点的描述:要求知道等腰直角三角形、含 30角的直角三角形的三边的比的来历,最 好能记住三边之比。 答案:A 详细解答: 三角形三个内角的比是 1:2:1,可以知道三个角分别为 45、90、 45, 如答图,假设 AB=1,那么 BC=1,AC 2=AB2+BC2=1+1=2,所以 AC= 2,三条边 的比是 1:1:2。 3已知ABC 中,A= 1 2 C= 1 3 B,则它的三条边之比为( ) A1:1:2 B1:3:2 C1:2:3 D1:4:1 答案:B 详细解答:ABC 中,A= 1 2 C= 1 3 B,可求出A=30, C=60,B=90,画出答图。 假设 BC=1,那么
6、AC=2,根据勾股定理得 AB 2=AC2-BC2=4-1=3,所 以 AB=3,因此三边的比为 1:3:2。 4 直角三角形中, 斜边的平方等于两直角边乘积的 2 倍, 这个三角形的最小锐角为 ( ) (A)15 (B)30 (C)45 (D)不能确定 知识点:勾股定理在数学中的应用 知识点的描述:直角三角形中,两直角边的平方和等于斜边的平方。 答案:C 详细解答: 由勾股定理得AC 2=BC2+AB2, 又已知斜边的平方等于两直角边乘积的2倍, 即AC2=2AB BC,所以 BC 2+AB2=2ABBC,得(BC-AB)2=0,所以 BC=AB,所以三角形 ABC 是等腰直角 三角形,最小
7、锐角为 45。 4.如图所示,RtABC 中,BC 是斜边,将ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与ACP重合,如果 AP=3,那么 PP长为( ) (A)4 (B)5 (C)6 (D)18 答案:D 详细解答: 由题意 “将ABP 绕点 A 逆时针旋转后,能与ACP重合” 知, ABPACP, 所以CAP=BAP,AP=AP,又因为BAC=90,所以PAP=90,AP=AP=3, P P C B A A B C 在直角三角形 APP中,PP 2= AP2+AP2=32+32=18,所以 PP= 18 5如图,数轴上的点 A 所表示的数为 x,则 x 的值为( ) A2 B-2 C2 D-2 知
8、识点:认识长度为无理数的线段 知识点的描述:在直角三角形中利用勾股定理,可以作出长度为无理数的线段 答案:B 详细解答:在 RtBCD 中,CB=BD=1,那么 CD 2=CB2+BD2=2,所以 CD= 2,CA=CD=2,因此 点 A 所表示的数为-2 5. 如图,正方形网格中,每个小正方形的边长为 1,则网格上的三角形ABC中,边长为无 理数的边数是( ) A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 答案:C 详细解答:在 RtABD 中,AD=5,BD=1,那么 AB 2=AD2+BD2=26,AB= 26 在 RtBCE 中,BE=3,CE=2,那么 BC 2=BE2+CE2=13,BC
9、= 13 在 RtACF 中,AF=4,CF=3,那么 AC 2=AF2+CF2=25,AC=5 所以边长为无理数的边是:AB 和 BC 6已知一个直角三角形的两边长分别为 3 和 4,则第三边长是( ) A5 B25 C7 D5 或7 知识点:两解问题 B 知识点的描述:在直角三角形中应用勾股定理要注意哪一边是斜边。 答案:D 详细解答:如果两直角边长分别为 3 和 4,那么第三边就是斜边,其长度为 5;如果 4 是斜 边,3 是直角边,那么另一条直角边为7。 6.ABC 中,若 AB=15,AC=13,高 AD=12,则ABC 的周长是( ) A.42 B.32 C.42 或 32 D.3
10、7 或 33 答案:C 详细解答:若高 AD 在ABC 内部,如图, 在 RtABD 中,AB=15,AD=12,那么 BD 2=AB2-AD2=81,BD=9 在 RtACD 中,AC=13,AD=12,那么 CD 2=AC2-AD2=25,CD=5 所以 BC=BD+CD=9+5=14,这时周长为 15+13+14=42 若高 AD 在ABC 外部,如图, 在 RtABD 中,AB=15,AD=12,那么 BD 2=AB2-AD2=81,BD=9 在 RtACD 中,AC=13,AD=12,那么 CD 2=AC2-AD2=25,CD=5 所以 BC=BD-CD=9-5=4,这时周长为 15
11、+13+4=32 所以选 C. 7如图,有两棵树,一棵高 8m,另一棵高 2 m,两树相距 8 m,一只小鸟从一棵树的树梢 飞到另一棵树的树梢,至少飞行( ) (A)6 m (B)8 m (C)10 m (D)18 m 知识点:构建直角三角形、勾股定理、实际问题 知识点的描述:在解决实际问题时,常常要构建直角三角形,构成勾股定理的模型,应用勾 股定理解决实际问题 答案:C 详细解答:把实际问题转化为数学问题,如图,AB 表示高 8m 的树,CD 表示高 2 m 的树,小 鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢的最短路径为 AD,过 D 点作 AB 的垂线,构成直角三 角形 AED。 在直角三角形
12、AED 中,DE=BC=8 m,AE=AB-EB=AB-CD=6m,从而 AD 2=AE2+DE2=62+82=100,所以 AB=10 m。 7.一根高 9 米的旗杆在离地 4 米高处折断, 折断处仍相连, 此时在 3.9 米远处玩耍的身高为 1 米的小明是否有危险 ( ) A没有危险 B有危险 C可能有危险 D无法判断 答案:B 详细解答:把实际问题转化为数学问题,如答图, AB 代表原旗杆的位置,AF 表示折段的旗杆,CD 表示小明,如果 AD 小于等于 AF,就有危险, 反之就没有危险。过 D 点作 AB 的垂线,构成直角三角形 AED。 在直角三角形 AED 中,DE=BC=3.9,
13、AE=AB-EB=AB-CD=3,从而 AD 2=AE2+DE2=32+3.92=24.21。 由题意知 AF=5,所以 AF 2=25,显然 AD 小于 AF,有危险。 8如图,AB 为一棵大树,在树上距地面 10m 的 D 处有两只猴子,它们同时发现地面上的 C 处有一筐水果,一只猴子从 D 处上爬到树顶 A 处,利用拉在 A 处的滑绳 AC,滑到 C 处, A D . . 另一只猴子从 D 处滑到地面 B,再由 B 跑到 C,已知两猴子所经路程都是 15m,求树高 AB ( ). A10 m B11 m C12 m D15 m 知识点:方程的思想、勾股定理的实际应用问题 知识点的描述:在
14、解决几何中的有关计算问题时,经常要用到代数中的方程,要形成用方程 解决几何问题的思想意识。 答案:C 详细解答:设 AD=x 米,则 AB 为(10+x)米,AC 为(15-x)米,BC 为 5 米, (x+10) 2+52=(15-x)2,解得 x=2,10+x=12(米) 所以树高 12 m 。 8.小刚准备测量河水的深度,他把一根竹竿插到离岸边 1.5m 远的水底,竹竿高出水面 0.5m, 把竹竿的顶端拉向岸边,如果竿顶和岸边的水平面刚好相齐,那么河水的深度为( ). A. 2m B. 2.5m C. 2.25m D. 3m 答案:A 详细解答:画出如图所示的示意图,AB 是竖直的竹竿,
15、CB 是拉向岸边的 竹竿,CD 是水面, 由题意知:CD=1.5 m,AD=0.5 m,假设河水的深度 BD 为 x m,那么竹竿的 高就是(x+0.5)m,所以 CB=(x+0.5)m,直角三角形 BDC 中应用勾股定 理得(x+0.5) 2=x2+1.52,解得 x=2,所以河水的深度为 2m 9.已知:如图,ABC 中,BC=4,A=45,B=60,那么 AC=( ) (A)24 (B)4 (C)6 (D)12 知识点:转化的数学思想、勾股定理 知识点的描述:在解决有关求线段长度问题时,常通过添加辅助线,把一般三角形的问题转 化为直角三角形的问题,利用勾股定理解决问题。 答案:A (26
16、也行) 分析:由于本题中的ABC 不是直角三角形,所以根据题设只能直接求得ACB=75,添置 AB 边上的高这条辅助线,就可以得到直角三角形,在直角三角形中就可以求得一些线段的 长度 详细解答:作 AB 边的高 CD,如图, 在 RtBDC 中,B=60,那么BCD=90-60=30, BC=4, 那么 BD=2,利用勾股定理可求出 CD=12; 在 RtADC 中,A=45,那么ACD=90-45=45,所以 AD=CD=12, 那么利用勾股定理得 AC 2=AD2+CD2=24,所以 AC= 24; 小结: 可见解一般三角形的问题常常通过作高转化为直角三角形的问题。 请你思考本题还可 以作
17、其它辅助线吗?为什么?(注意利用特殊角) 9.已知:如图,B=D=90,A=60,AB=4,CD=2。四边形 ABCD 的面积为( ) 。 (A)20 (B)310 (C)36 (D)16 答案:C(目前初二的学生还没学到二次根式的化简,做到 248-12就可以了) 分析:如何构造直角三角形是解本题的关键,可以连结 AC,或延长 AB、DC 交于 F,或延长 AD、 BC 交于 E, 根据本题给定的角应选后两种, 进一步根据本题给定的边选第三种较为简单。 不妨几种方法都尝试一下,你会有很多收获的。 详细解答:延长 AD、BC 交于 E。 A=60,B=90,E=30。 AE=2AB=8,CE=
18、2CD=4, C A B D A B C D E BE 2=AE2-AB2=82-42=48,BE= 48=34。 DE 2= CE2-CD2=42-22=12,DE= 12=32。 S四边形 ABCD=SABE-SCDE= 2 1 AB BE- 2 1 CD DE= 2 1 448- 2 1 212=248-12=36 小结:不规则图形的面积,可转化为特殊图形求解,本题通过将图形转化为直角三角形 的方法,把四边形面积转化为三角形面积之差。另外作辅助线要充分考虑利用条件,一般情 况下是不能把特殊角分割的。 10. 如图,有一块直角三角形纸片,两直角边 AC=6cm,BC=8cm,现将直角边 A
19、C 沿直线 AD 折 叠,使它落在斜边 AB 上,且与 AE 重合,则 CD 等于( ) A. cm2 B.cm3 C.cm4 D. cm5 知识点: “折叠”问题、勾股定理的应用 知识点的描述: “折叠”问题是数学中常见问题之一解决问题的关键就是一定要搞清是怎 样折叠的,尤其是原来的线段和角折叠到哪去了,理清已知和未知,找到能联系二者的直角 三角形,利用勾股定理问题就迎刃而解。 答案:B 详细解答:假设 CD=xcm,那么 DE=CD=xcm,BD=(8-x)cm。 因为直角三角形纸片的两直角边 AC=6cm,BC=8cm,所以利用勾股定理可得斜边 AB=10cm, 又 AE=AC=6cm,
20、所以 EB=AB-AE=4(cm), 在 RtEBD 中,EB=4cm,DE=xcm,BD=(8-x)cm ,那么(8-x) 2=x2+42, 解得 x=3 所以 CD=cm3 10.如下图,折叠长方形(四个角都是直角,对边相等)的一边 AD,点 D 落在 BC 边的点 F 处, 已知 AB8cm,AD10cm,求 EC 的长( ) (A)3cm (B)4cm (C)5cm (D)6cm 答案:A 详细解答: 由折叠的过程可知AFEADE、ADAF,DEEF,在 RtABF 中,AB8cm,AF10cm, A B E DC BF 2AF2AB21028262,BF6,FCBCBF1064cm,如果设 CExcm,DE(8 x)cm,所以 EF(8x)cm 在 RtCEF 中,EF 2CF2CE2,用这个关系建立方程:(8x)242x2 解得 x3,即 CE 的长为 3cm