1、高三数学寒假作业高三数学寒假作业 7 一、选择题一、选择题 1已知集合 Mx|2x1，Nx|x23，xZ，则（ ） AMN BNM CMN1，0 DMNM 2记 cos（80）k，那么 tan100（ ） A1; 2 B 12 C 1;2 D 12 3放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实 线所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该烟花模型的体积为（ ） A15 B41 3 C40 3 D14 4 黄金三角形有两种， 其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形， 它是顶角为 36的等腰三角形（另一种是顶角为 108的等腰三角形） ，例如，正
2、五角星 由 5 个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形 ABC 中， = 5;1 2 ，根据这些信息，可得 sin234（ ） A1;25 4 B 3+5 8 C 1+5 4 D 4+5 8 5“(2) 2+ (2) 2= 1表示焦点在y轴上的椭圆” 的一个充分不必要条件是 （ ） A0ab B1ab C2ab D1ba 6 已知函数 f （x） 10sinx+ 1 6 3在 x0 处的切线与直线 nxy0 平行， 则二项式 （1+x+x2） （1x）n展开式中 x4的系数为（ ） A120 B135 C140 D100 7执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 值是（ ）
3、 A1 2 B1 C2018 D2 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A（0，4） ，C（0，4） ，顶点 B 在椭圆 2 9 + 2 25 = 1上，则 (:) : =（ ） A3 5 B5 3 C4 5 D5 4 9在梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，AB4，ADCD2，将梯形 ABCD 沿对角线 AC 折叠成三棱锥 DABC，当二面角 DACB 是直二面角时，三棱锥 DABC 的外接 球的表面积为（ ） A4 B8 C12 D16 10已知函数 f（x）x2+2x（x0） ，若 f1（x）f（x） ，fn+1（x）f（fn（x） ） ，nN*，则 f2019（x）
4、在1，2上的最大值是（ ） A420181 B420191 C920191 D3 22019 1 11已知点 C 是抛物线 y24x 上的动点，以 C 为圆心的圆过抛物线的焦点 F，且圆 C 与直 线 x= 1 2相交于 A，B 两点，则|FA|FB|的取值范围是（ ） A4，+） B3，+） C2，+） D1，+） 12已知正实数 m，n，设 am+n，b= 2+ 14 + 2若以 a，b 为某个三角形的两边 长，设其第三条边长为 c，且 c 满足 c2kmn，则实数 k 的取值范围为（ ） A （1，6） B （2，36） C （4，20） D （4，36） 二、填空题二、填空题 13 若
5、 f （x） x4+3x3+x+1， 用秦九韶算法计算 f （） 时， 需要乘法和加法的总次数为 14 已知向量 ， 满足| | |2， 且 （ +2 ） （ ） 2， 则向量 与 的夹角为 15在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染 1；再染 3 个 偶数 2，4，6；再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7，9，11，13，15；再染 15 后面最邻 近的 7 个连续偶数 16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的 9 个连续奇数 29， 31，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13， 15，16，则在
6、这个红色子数列中，由 1 开始的第 2020 个数是 16已知 a，b0，1，则 S（a，b）= 1+ + 1+ +（1a） （1b）的最小值为 三、解答题三、解答题 17把函数 f（x）2sinx 的图象向左平移(0 2)个单位，得到函数 yg（x）的图象， 函数 yg（x）的图象关于直线 = 6对称，记函数 h（x）f（x） g（x） （1）求函数 yh（x）的最小正周期和单调增区间； （2）画出函数 yh（x）在区间, 2 ， 2-上的大致图象 18为了响应 2018 年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文 明创建知识的网络问卷调查每一位市民仅有一次参加机会，通过
7、随机抽样，得到参加 问卷调查的 1000 人的得分（满分：100 分）数据，统计结果如下表所示 组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 频数 25 150 200 250 225 100 50 （）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N（，210） ， 近 似为这 1000 人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表） ，请利用正态 分布的知识求 P（36Z79.5） ； （）在（）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （i）得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于
8、 的可以获赠 1 次随机话费； （ii）每次赠送的随机话费和对应的概率为 赠送的随机话费（单位：元） 20 40 概率 3 4 1 4 现市民小王要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列及数学期望 附：210 14.5，若 XN（，2） ，则P（X+）0.6827； P（2X+2）0.9544；P（3X+3）0.9973 19在平面直角坐标系中，点 F1、F2分别为双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右 焦点，双曲线 C 的离心率为 2，点（1，3 2）在双曲线 C 上不在 x 轴上的动点 P 与动点 Q 关于原点 O 对称，且四
9、边形 PF1QF2的周长为42 （1）求动点 P 的轨迹方程； （2） 在动点 P 的轨迹上有两个不同的点 M （x1， y1） 、 N（x2，y2） ，线段 MN 的中点为 G， 已知点（x1，x2）在圆 x2+y22 上，求|OG|MN|的最大值，并判断此时OMN 的形状 高三数学寒假作业高三数学寒假作业 7（答案解析）（答案解析） 一、选择题一、选择题 1已知集合 Mx|2x1，Nx|x23，xZ，则（ ） AMN BNM CMN1，0 DMNM 【解答】解： = *| 3 3 ， + = *1，0，1+，Mx|2x1； MN1，0 故选：C 2记 cos（80）k，那么 tan100（
10、 ） A1; 2 B 12 C 1;2 D 12 【解答】解：法一：80 = 1 280 = 1 2(80) = 1 2， 所以 tan100tan80= 80 80 = 12 法二： cos （80） kcos （80） k， 100 = 100 100 = (18080) (18080) = 80 80 = 12 故选：B 3放烟花是逢年过节一种传统庆祝节日的方式，已知一种烟花模型的三视图如图中的粗实 线所示，网格纸上小正方形的边长为 1，则该烟花模型的体积为（ ） A15 B41 3 C40 3 D14 【解答】解：由三视图可知几何体是半径为 2，高为 3 的圆柱，与半径为 1，高为 1
11、 的圆 柱，以及底面半径为 1，高为 2 的圆锥，组成的几何体 几何体的体积为：22 3 + 12 1 + 1 3 12 2 = 41 3 故选：B 4 黄金三角形有两种， 其中底和腰之比为黄金分割比的黄金三角形被认为是最美的三角形， 它是顶角为 36的等腰三角形（另一种是顶角为 108的等腰三角形） ，例如，正五角星 由 5 个黄金三角形和一个正五边形组成，如图所示，在一个黄金三角形 ABC 中， = 5;1 2 ，根据这些信息，可得 sin234（ ） A1;25 4 B 3+5 8 C 1+5 4 D 4+5 8 【解答】解：由图可知，ACB72，且 cos72= 1 2 = 51 4
12、cos1442cos2721= 5+1 4 则 sin234sin（144+90）cos144= 5+1 4 故选：C 5“(2) 2+ (2) 2= 1表示焦点在y轴上的椭圆” 的一个充分不必要条件是 （ ） A0ab B1ab C2ab D1ba 【解答】解：椭圆的标准方程为 2 1 2 + 2 1 2 =1，即 2 2 + 2 2 =1， 若焦点在 y 轴， 则 log2blog2a0，即 ba1 等价条件为 ba1， 则对应的充分不必要条件可以为 ba2， 故选：C 6 已知函数 f （x） 10sinx+ 1 6 3在 x0 处的切线与直线 nxy0 平行， 则二项式 （1+x+x2
13、） （1x）n展开式中 x4的系数为（ ） A120 B135 C140 D100 【解答】解：函数 f（x）10sinx+ 1 6 3在 x0 处的切线与直线 nxy0 平行，则 nf （0）10， 则二项式（1+x+x2） （1x）n（1+x+x2） （1x）10 （1x3） （1x）9， （1x）9 的展开式的通项公式为 Tr+1= 9 （x）r， 故分别令 r4，r1，可得展开式中 x4的系数为9 4 （9 1）135， 故选：B 7执行如图所示的程序框图，那么输出的 S 值是（ ） A1 2 B1 C2018 D2 【解答】解：依题意，执行如图所示的程序框图可知： 初始 S2，当 k
14、0 时，S01，k1 时，S1= 1 2， 同理 S22，S31，S4= 1 2， 可见 Sn的值周期为 3 当 k2007 时，S2007S01， k2008，退出循环输出 S1 故选：B 8在平面直角坐标系 xOy 中，已知ABC 的顶点 A（0，4） ，C（0，4） ，顶点 B 在椭圆 2 9 + 2 25 = 1上，则 (:) : =（ ） A3 5 B5 3 C4 5 D5 4 【解答】解：ABC 的顶点 A（0，4） ，C（0，4） ，顶点 B 在椭圆 2 9 + 2 25 = 1上 a2，即 AB+CB2a，AC2c 由正弦定理知 : = : = 2 2 = = 4 5，则 (:
15、) : = 4 5 故选：C 9在梯形 ABCD 中，ABCD，ADAB，AB4，ADCD2，将梯形 ABCD 沿对角线 AC 折叠成三棱锥 DABC，当二面角 DACB 是直二面角时，三棱锥 DABC 的外接 球的表面积为（ ） A4 B8 C12 D16 【解答】解：如图：AB4，ADCD2， AC= 22，BC= 22， 取 AC 的中点 E，AB 的中点 O，连结 DE，OE， 平面 DCA平面 ACB，DEAC DE平面 ACB， DE= 2，OE= 2， OD2， OBOAOCOD， OB2，即外接球的半径为 2， 此时三棱锥外接球的表面积为 42216 故选：D 10已知函数 f
16、（x）x2+2x（x0） ，若 f1（x）f（x） ，fn+1（x）f（fn（x） ） ，nN*，则 f2019（x）在1，2上的最大值是（ ） A420181 B420191 C920191 D3 22019 1 【解答】解：f（x）x2+2x 在（0，+）为增函数，且 f（x）0， 所以 f1（x）在1，2为增函数， 所以 f1（x）max8321，且 f1（x）0， 同理 f2（x）maxf（f1（x）max）3 22 1，且 f2（x）0， 同理 f3（x）maxf（f2（x）max）3 23 1，且 f3（x）0， 依此类推： f2019（x）maxf（f2018（x）max）3 2
17、2019 1， 故选：D 11已知点 C 是抛物线 y24x 上的动点，以 C 为圆心的圆过抛物线的焦点 F，且圆 C 与直 线 x= 1 2相交于 A，B 两点，则|FA|FB|的取值范围是（ ） A4，+） B3，+） C2，+） D1，+） 【解答】解：抛物线 y24x 的焦点为 F（1，0） ， 设圆 C 的方程为(0)2+ (0)2= (0 1)2+ 02， 令 x= 1 2，可得 y 22y0y+3x03 4 =0， 则40212x0+34x0+30 恒成立， 设 A（ 1 2，y1） ，B（ 1 2，y2） ，则 y1+y22y0，y1y23x0 3 4， 因为点 C（x0，y0
18、）在抛物线 y24x 上， 故02=4x0， 所以|FA|FB|=12+ 9 42 2+9 4 =(12)2+ 9 4 (12+22) + 81 16 =(30 3 4) 2+9 4 ,402 2(30 3 4)- + 81 16 = 902+ 180+ 9 =3|x0+1|， 因为 x00，所以|FA|FB|3， 即|FA|FB|的取值范围是3，+） 故选：B 12已知正实数 m，n，设 am+n，b= 2+ 14 + 2若以 a，b 为某个三角形的两边 长，设其第三条边长为 c，且 c 满足 c2kmn，则实数 k 的取值范围为（ ） A （1，6） B （2，36） C （4，20） D
19、 （4，36） 【解答】解法一：正实数 m，n， am+n 2，b= 2+ 14 + 2 4， 其第三条边长为 c，且 c 满足 c2kmn， c2a2+b22abcosC 4mn+16mn16mncosC， 1cosC1， 4kmnc236mn， 实数 k 的取值范围为（4，36） 解法二：a，b，c 是某个三角形的两边长， + + + ，成立， 又 b= 2+ 14 + 22+ 2 + 2=m+na， b+ca，成立， a+bc 为 m+n+2+ 14 + 2， +2+14+2 ， m+n 2，2+ 2+ 14 2 + 14 =4， m+n+2+ 14 + 22 + 4 =6， : 2:1
20、4:2 6，6，k36， 对于 a+cb 为 m+n+2+ 14 + 2， 2+14+2(+) = 2+2 + 14 (+) 2 = 2+2 + 14 (+) 2 = 2+2 +14 2+2 + 2， 令 2:2 =t，t2， 2+2 + 14 2+2 + 2 = + 14 + 2 = 12 +14+2为减函数， t 为 2 时，有最大值为 2， 2，k4， 综上，4k36 实数 k 的取值范围为（4，36） 故选：D 二、填空题二、填空题 13 若 f （x） x4+3x3+x+1， 用秦九韶算法计算 f （） 时， 需要乘法和加法的总次数为 6 【解答】解：由于函数 f（x）x4+3x3+
21、x+1（ （ （x+3）x）x+1）x+1， 分别算出 v01，v1+33+， v2（3+）3+2， v3（3+2）+132+3+1， v4（32+3+1）+1 由上述可得出乘法 3 次，加法 3 次； 乘法和加法的总次数 6 次 故答案为：6 14 已知向量 ， 满足| | |2， 且 （ +2 ） （ ） 2， 则向量 与 的夹角为 3 【解答】解：（ +2 ） （ ）2， 2 + 2 2 = 2 =2， cos ， = | | |= 1 2 向量 与 的夹角为 3 故答案为： 3 15在正整数数列中，由 1 开始依次按如下规则，将某些整数染成红色，先染 1；再染 3 个 偶数 2，4，6
22、；再染 6 后面最邻近的 5 个连续奇数 7，9，11，13，15；再染 15 后面最邻 近的 7 个连续偶数 16，18，20，22，24，26，28；再染此后最邻近的 9 个连续奇数 29， 31，45；按此规则一直染下去，得到一红色子数列：1，2，4，6，7，9，11，13， 15，16，则在这个红色子数列中，由 1 开始的第 2020 个数是 3995 【解答】解：设第 n 次染色的最后一个数字为 an，根据染色的最后一个数字，1，6，15， 28，可得 ann（2n1） ， 因为前 n 次染色数字的个数之和为 1+3+5+（2n1）n2，由 n22020（n+1）2， 可得 n44
23、每一次染色的数组成公差为 2 的等差数列（除第一次外） ，所以第 45 次染色的数字总共 有 245189 个， 第 2020 个数是第 45 次染色的第 202044284 个数，所以它为 45（2451）2 53995 故答案为：3995 16 已知 a， b0， 1， 则 S （a， b） = 1+ + 1+ + （1a） （1b） 的最小值为 13;55 2 【解答】解：a，b0，1， S（a，b）= 1+ + 1+ +（1a） （1b）1 (1) (1+)(1+)， 令 T= (1) (1+)(1+)，X= ， 则 T= (1) (1+)(1+) = (1) 1+ (1) 1+2+
24、= 2(12) (1+)2 = 2(1) 1+ ， 令 f（X）= 2(1) 1+ ，X0，1， 可得：f（X）= 2(2+1) (1+)2 ，X0，1， X0，5;1 2 ）时，f（X）0， X（5;1 2 ，1时，f（X）0， 故当 X= 51 2 时，f（X）取最大值55;11 2 ， 故 S（a，b）= 1+ + 1+ +（1a） （1b）的最小值为 1 5511 2 = 1355 2 ， 故答案为：13;55 2 三、解答题三、解答题 17把函数 f（x）2sinx 的图象向左平移(0 2)个单位，得到函数 yg（x）的图象， 函数 yg（x）的图象关于直线 = 6对称，记函数 h（
25、x）f（x） g（x） （1）求函数 yh（x）的最小正周期和单调增区间； （2）画出函数 yh（x）在区间, 2 ， 2-上的大致图象 【解答】解： （1）把函数 f（x）2sinx 的图象向左平移(0 2)个单位， 得到函数 g（x）2sin（x+）的图象 根据 yg（x）的图象关于直线 = 6对称，得 6 + = 2 + ( )， 即 = 3 + ( )，又0 2，所以 = 3，则() = 2( + 3) 则() = () () = 4 ( + 3) = 4( 1 2 + 3 2 ) = 22 + 23 = 1 2 + 32 = 2(2 6) + 1， 则函数 yh（x）的最小正周期 =
26、 2 2 = ， 令 2 + 2 2 6 2 + 2( )，得 6 + 3 + ( )， 故函数 yh（x）的单调增区间是, 6 + ， 3 + -( ) （2）在区间, 2 ， 2-上，2x 6 7 6 ，5 6 列表如下： 2x 6 7 6 2 0 2 5 6 x 2 5 12 6 12 3 2 h（x） 2 1 1 1 3 2 故 yh（x）在区间, 2 ， 2-上的大致图象是： 18为了响应 2018 年全国文明城市建设的号召，长沙市文明办对长沙市市民进行了一次文 明创建知识的网络问卷调查每一位市民仅有一次参加机会，通过随机抽样，得到参加 问卷调查的 1000 人的得分（满分：100
27、分）数据，统计结果如下表所示 组别 30，40） 40，50） 50，60） 60，70） 70，80） 80，90） 90，100） 频数 25 150 200 250 225 100 50 （）由频数分布表可以认为，此次问卷调查的得分 Z 服从正态分布 N（，210） ， 近 似为这 1000 人得分的平均值（同一组数据用该组区间的中点值作为代表） ，请利用正态 分布的知识求 P（36Z79.5） ； （）在（）的条件下，文明办为此次参加问卷调查的市民制定如下奖励方案： （i）得分不低于 的可以获赠 2 次随机话费，得分低于 的可以获赠 1 次随机话费； （ii）每次赠送的随机话费和对应的
28、概率为 赠送的随机话费（单位：元） 20 40 概率 3 4 1 4 现市民小王要参加此次问卷调查，记 X（单位：元）为该市民参加问卷调查获赠的话费， 求 X 的分布列及数学期望 附：210 14.5，若 XN（，2） ，则P（X+）0.6827； P（2X+2）0.9544；P（3X+3）0.9973 【解答】解： （）= 1 1000 （2535+15045+20055+25065+22575+10085+50 95）65， 210 =14.5， P（50.5z79.5）0.6287，p（36Z94）0.9545 p（36Z50.5） (3694)(50.579.5) 2 =0.1359，
29、 综上， p （36Z79.5） p （36Z50.5） +p （50.5Z79.5） 0.1359+0.62870.8186 （）由题意昨 X 的可能取值为 20，40，60，80， 由题意知 P（z）P（Z）= 1 2， P（X20）= 1 2 3 4 = 3 8， P（X40）= 1 2 1 4 + 1 2 3 4 3 4 = 13 32， P（X60）= 1 2 3 4 1 4 + 1 2 1 4 3 4 = 3 16， P（X80）= 1 2 1 4 1 4 = 1 32， X 的分布列为 X 20 40 60 80 P 3 8 13 32 3 16 1 32 X 的数学期望为 E（
30、X）= 20 3 8 + 40 13 32 + 60 3 16 + 80 1 32 = 75 2 19在平面直角坐标系中，点 F1、F2分别为双曲线 C： 2 2 2 2 = 1(0，0)的左、右 焦点，双曲线 C 的离心率为 2，点（1，3 2）在双曲线 C 上不在 x 轴上的动点 P 与动点 Q 关于原点 O 对称，且四边形 PF1QF2的周长为42 （1）求动点 P 的轨迹方程； （2） 在动点 P 的轨迹上有两个不同的点 M （x1， y1） 、 N（x2，y2） ，线段 MN 的中点为 G， 已知点（x1，x2）在圆 x2+y22 上，求|OG|MN|的最大值，并判断此时OMN 的形
31、状 【解答】解： （1）设 F1，F2分别为（c，0） ， （c，0） 可得 = 2，b2c2a23a2， 又点（1，3 2）在双曲线 C 上， 1 2 9 42 = 1， 解得 = 1 2，c1 连接 PQ，OF1OF2，OPOQ，四边形 PF1QF2的周长为平行四边形 四边形 PF1+PF2222，动点 P 的轨迹是以点 F1、F2分别为左右焦点的椭圆（除 左右顶点） ， 动点 P 的轨迹方程 2 2 + 2= 1（y0） ； （2）x12+x222，1 2 2 + 12= 1， 22 2 + 22= 1，y12+y221 |OG|MN|= (1 2)2+ (1 2)2(1+2 2 )2+ (1+2 2 )2= 1 23 212 212 3 + 212+ 212 1 2( 3212212+3+212+212 2 ) = 3 2 当 32x1x22y1y23+2x1x2+2y1y2x1x2+y1y20 时取最值， 此时 OMON，OMN 为直角三角形
